人教版版高中数学选修45知识点清单7页.docx
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人教版版高中数学选修45知识点清单7页
高中数学选修4-5知识点
不等式选讲
1、不等式的基本性质
①（对称性）abba
②（传递性）ab,bcac
③（可加性）abacbc
（同向可加性）ab,cdacbd
（异向可减性）ab,cdacbd
④（可积性）ab,c0acbc
a,0
bcacbc
⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd
ab
ab0,0cd（异向正数可除性）
cd
⑥（平方法则）0（,1）
ababnN且n
nn
⑦（开方法则）0nn（,1）
ababnN且n
1111
ab0;ab0
⑧（倒数法则）abab
2、几个重要不等式
ab
①a2b22aba，bR,（当且仅当ab时取""号）.变形公式：
（当且仅当ab时取""号）.变形公式：
ab
22
2
.
ab
ab
a，bR
②（基本不等式）2
（当且仅当ab时取到等号）.
变形公式：
ab2ab
ab
ab
2
2
.
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）
abc
3
3
abc
（a、b、cR）
（当且仅当
abc时取到等号）.
④
abcabbccaa，bR
222
（当且仅当abc时取到等号）.
a3b3c33abc（a0,b0,c0）
⑤
（当且仅当abc时取到等号）.
ba
若则
ab0,2
ab
⑥
（当仅当a=b时取等号）
ba
若ab0,则2
ab
（当仅当a=b时取等号）
bbmana
1
⑦abnb
am
，（其中ab0，m0，n0）
规律：
小于1同加则变大，大于1同加则变小.
当0时，或;
axax2a2xaxa
⑧
xax2a2axa.
ababab.
⑨绝对值三角不等式
3、几个著名不等式
2aba2b2
ab
ab22（
11，a,bR
①平均不等式：
，当且仅当ab时取""
号）.
（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.
变形公式：
ab
abab
222
22
;
22（ab）
ab
2
2
.
②幂平均不等式：
1
aa...a（aa...a）.
222212n12n
n③二维形式的三角不等式：
x2y2x2y2xx2yy2
1122（12）（12）
（x,y,x,yR）.
1122
④二维形式的柯西不等式：
（ab）（cd）（acbd）（a,b,c,dR）.
22222
当且仅当adbc时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
（aaa）（bbb）（ababab）.
2222222
123123112233
⑥一般形式的柯西不等式：
（22...2）（22...2）
aaabbb（abab...ab）2.
12n12n1122nn
⑦向量形式的柯西不等式：
设,是两个向量，则,
当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，
等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设12...,12...
aaabbb
nn
为两组实数.c1,c2,...,c
n
是b1,b2,...,b
n
的任一排列，则
a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancn
1122...nn.
ababab
（反序和乱序和
顺序和），当且仅当12...
aaa
n
或b1b2...b
n
时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:
（特例:
凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数f（x）,对于定义域中任意两点xxxx有
1,2（12）,
xxfxfxxxfxfx
12
（1）
（2）12
（1）
（2）
或
f（）f（）.
2222
则称f（x）为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：
比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：
换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
131
（a）（a）;
22
242①舍去或加上一些项，如
②将分子或分母放大（缩小），
如
1111
kk（k1）
（1）
2k2kk
2212
2kkkkkk1
12
（*,1）
kNk
kkk1
等.
5、一元二次不等式的解法
ax2bxc0（或0）
求一元二次不等式
（a0,b24ac0）
解集的步骤：
一化：
化二次项前的系数为正数.
二判：
判断对应方程的根.
三求：
求对应方程的根.
四画：
画出对应函数的图象.
五解集：
根据图象写出不等式的解集.
规律：
当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
6、高次不等式的解法：
穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，
写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：
先移项通分标准化，则
f（x）
g（x）
0f（x）g（x）0
f（x）
g（x）
fxgx
（）（）0
0
g（x）0
（“或”时同理）
规律：
把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法：
转化为有理不等式求解
⑴
f（x）a（a0）
f（x）0
f（x）a2
⑵
f（x）a（a0）
f（x）0
f（x）a
2
⑶
f（x）0
f（x）0
f（x）g（x）g（x）0
或
g（x）0
2
f（x）[g（x）]
⑷
f（x）0
f（x）g（x）g（x）0
f（x）[g（x）]
2
⑸
fx
（）0
f（x）g（x）g（x）0
f（x）g（x）
规律：
把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法：
⑴当a1时,
afxagxfxgx
（）（）（）（）
⑵当0a1时,
af（x）ag（x）f（x）g（x）
规律：
根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
⑴当a1时,
f（x）0
logf（x）logg（x）g（x）0
aa
f（x）g（x）
⑵当0a1时,
f（x）0
logf（x）logg（x）g（x）0.
aa
f（x）g（x）
规律：
根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法：
⑴定义法：
a
a（a0）
.
a（a0）
⑵平方法：
f（x）g（x）f（x）g（x）.
22
⑶同解变形法，其同解定理有：
xaaxa（a0）;
①
xaxa或xa（a0）;
②
f（x）g（x）g（x）f（x）g（x）（g（x）0）
③
④f（x）g（x）f（x）g（x）或f（x）g（x）（g（x）0）
规律：
关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：
找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
解形如
ax2bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论a与0的大小；
⑵讨论与0的大小；
⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题
ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
⑴不等式
①当a0时b0,c0;
a0
0.②当a0时
ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
⑵不等式
①当a0时b0,c0;
a
0
0.②当a0时
⑶f（x）a恒成立
f（x）a;
max
f（x）a
恒成立f（x）maxa;
⑷f（x）a恒成立
f（x）a;
min
f（x）a
恒成立f（x）mina.
15、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：
取点定域法：
由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号
相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（x0,y0）（如原点），由
AxByC
00
的正负即可判断出AxByC0（或0）表示直线哪一侧的平面区域.
即：
直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：
根据AxByC0（或0），观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，
AxByC0（
或0）表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：
同号
上方，异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数zAxBy（A,B为常数）的最值：
法一：
角点法：
如果目标函数zAxBy（x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则
这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值法二：
画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0:
AxBy0，平移直线
0（据
l
可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解（x,y）；第四步，将最优解
（x,y）代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值.
第二步中最优解的确定方法：
利用z的几何意义：
Az
yx
BB
z
B为直线的纵截距.
①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，
使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；
②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，
使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：
zAxBy;
②“斜率”型：
z
y
x
或
z
yb
xa
;
③“距离”型：
zx2y2
或
zx2y2;
z（xa）2（yb）2zxa2yb2
（）（）.
或
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问
题简单化.
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