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不等式选讲

第三节不等式选讲（选修4-5）

考纲解读

1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式

和求最值.

2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位

3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值

4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式

命题趋势探究

本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档知识点精讲

一、不等式的性质

1.同向合成

（1）ab,b.c=ac；

（2）ab,c.d=acbd；

（3）ab0,cd0二acbd.

（合成后为必要条件）

2.同解变形

（1）ab=acbc；

（2）ab：

=c0,acbc：

=c：

：

0,ac：

：

bc；

（3）ab00二a、b0.

（变形后为充要条件）

3.作差比较法

ab二a一b•0,a：

：

b二a一b：

：

二、含绝对值的不等式

（1）a0,|x卜：

a=-a：

：

x：

：

a；a0,|x|auxa,或x：

：

-a

（2）|a||ba2b2

（3）|xa||xbc零点分段讨论

三、基本不等式

（1）a2-b22ab（当且仅当等号成立条件为a=b）

（2）a0,b0,ab-2-,ab（当且仅当等号成立条件为a=b）；

a+b+c3

a0,b0,c0,3abc（当且仅当a=b=c时等号成立）

（3）柯西不等式

22222

（ab）（cd）_（ac・bd）（当且仅当ad=be时取等号）

1几何意义：

|ab|w|a||b|=|adbc|_.a2b2pc2d2

2推广：

（a；+a；+ill+a：

）（bi2+b2+HI+b2）A（aibi+a2b2出H+ab）2.当且仅

当向量a=（印，a2,|l（,aj与向量b=（bi,b2,|l|,bn）共线时等号成立.

四、不等式的证明

（1）作差比较法、作商比较法.

（2）综合法一一由因到果.

（3）分析法——执果索因•

（4）数学归纳法•

（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式•

（6）反证法•

（7）放缩法•

题型归纳即思路提示

题型201含绝对值的不等式

一、解含绝对值的不等式

思路提示

对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值•常用的去绝

对值方法是零点分段法•特别用于多个绝对值的和或差不等式问题•若单个绝对值的不等式

常用以下结论：

If（X）卜:

g（x）u-g（x）：

：

f（x）：

：

g（x）；

|f（x）|g（x）=f（x）g（x）或f（x）：

：

-g（x）；

|f（x）||g（x）|二f2（x）g2（x）=（f（x）g（x））（f（x）-g（x））0.

有时去绝对值也可根据|x|2=x2来去绝对值•

A.[一5,7]B.[一4,6]C.（一心,-5]U【7,：

：

）D.（v,-4匕[6,：

：

）

变式2已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.

（1）证明：

-3_f（x）_3;

（2）求不等式f（x）_x2-8x15的解集

二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题

例16.15若不等式|2x—1|+|x+2|>a2+空玄+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值

范围为.

变式1不等式x+x>|a—2|+siny对一切非零实数x,y均成立，求实数a的取入

值范围•

变式2若不等式|kx—4|<2的解集为｛x|1

变式3（2017•石家庄调研）设函数f（x）=|x—3|-|x+1|,x€R.

（1）解不等式f（x）<—1；

（2）设函数g（x）=|x+a|—4,且g（x）wf（x）在x€[—2,2]上恒成立，求实数a的取值范围.

三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题

例16.16（2016深圳模拟）若关于x的不等式|2014—x|+|2015—x|

范围.

变式2已知a•R，关于x的方程x2x■|■|a|=0有实根，求a的取值范围

四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围

例16.17（全国卷I卷（理））已知函数f（x）=-<2+ax+4，g（x）=x+1I+x-1|.

（1）当a=1时，求不等式f（x）司（x）的解集；

（2）若不等式f（x）司（x）的解集包含［-1，1］，求a的取值范围

变式1设函数f（x）=|x-a|3x，其中a0.

（1）当a=1时，求不等式f（x）_3x・2的解集；

⑵若不等式f（x）乞0的解集为fx|x辽，求a的值.

变式2（2017•开封模拟）设函数f（x）=|x—a|,a<0.

（1）证明：

f（x）+f—1>2;

1一

⑵若不等式f（x）+f（2x）<2的解集非空，求a的取值范围.

变式3（2012山东理13）若不等式|kx-4|乞2的解集为Cx|1乞X乞3?

，则实数k=

题型202不等式的证明

一、比较法（差值法和比值法）思路提示

将待比较的两个代数式通过作差或作商，与0与1进行比较，得到大小关系

例16.18（2014常州期末）已知x>1y>1求证：

x2y+xy2+1

变式1（2015徐州、连云港、宿迁三检）已知a,b,c都是正数，求证:

a2b2b2c2c2a2

為be.

二、利用函数的单调性证明思路提示

使用对象：

在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成

的•

解题程序：

（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为0，另一端为所

作辅助函数f（x）.

（2）求f（x）并验证f（x）在指定区间上的单调性•

（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为0或已知符号，作比较即

得所证.

例16.19已知0：

：

x：

：

1，求证：

x-sinxx3.

变式1证明：

当0：

：

x时，sinx：

：

2兀

三、综合法与分析法

思路提示

字母代A,A2」山An,B分别表示一组不等式，其中B为已知不等式，A为待证不等式若有A=A=A?

—川一人=B，综合法是由B前进式地推导A，分析法是由A倒退式地分析到B.用分析法时，必须步步可逆.

1.综合法（由因到果）

例16.20已知a,b,c>0且互不相等,

111

abc=1.试证明：

a+b+・cv§+石+g

变式1已知a,b,c,d均为正数，且ad=be.

（1）证明：

若a+d>b+e,贝U|a—d|>|b—e|;

（2）t•a2+b2,e2+d2=a4+e4+b4+d4,求实数t的取值范围.

16.21（2017•沈阳模拟）设

b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:

2.分析法（由果索因）

a+b+c

■'abc

变式1已知a>b>c,且a+b+c=0,求证：

，b2—ac<3a.

四、反证法

思路提示

从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假•

例16.22设二次函数f（x）=x+px+q，求证:

（1）|,|f

（2）|,|f（3）I中至少有一个不小

于2.

变式1已知a,b,•R，a3•b3=2，求证：

a•b乞2.

五、放缩法

思路提示

预证A_B,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得

B辽^B2,||（,Bk辽A或A—A^A_A2,||（,Ak_B，再利用传递性，达到证明目的，

常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩•

例16.23（2015安徽卷）设n€N*,Xn是曲线y=x2n+2+1在点（1,2）处的切线与x轴交

点的横坐标.

（1）求数列｛Xn｝的通项公式；

222

⑵记Tn=X1X3••••X2n-1，求证:

Tn>4n.

变式1证明：

nn.（n•1）n」（n_2,nN）.

变式2若a,b€R，求证:

la+b|<_JOJ_+|b|

1+|a+b广1+|a|1+|b|.

例16.24

求证:

1：

：

bCda2（a,b,c,d：

二R）.

abcbcdcdadab

例16.25设a.b.c.mr•，且满足am=bm-cm，问m取何值时，以a,b,c为边可构成

三角形，并判断该三角形的形状•

六、三角换元法思路提示

若宀y2",宀专"等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易,

但是务必注意换元前后参数的范围变化•

例16.26（2017江苏卷）已知a,b,c,d为实数，且a2+『=4,c2+d2=16,证明ac+bd_8.

变式1设x,yR，x2y2=1，求证：

上|5.

3412

七、构造法

思路提示

一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：

（1）构造辅助函数.

（2）构造辅助数列.

（3）构造几何图形.

121例16.27设x,yR，b=0，若0：

：

a，求证：

b「b:

ba+1

例16.28已知a,b,c为三角形的三边长，求证：

abc

1a1b1c

变式1证明：

|ab|:

「旦•旦

1+|a+b|1+|a|1+|b|

变式2已知x-0且x=1,m•n・0,求证：

X+AX+

mn-

例16.29证明：

当x•-1且x=0时，有（1x）n-1nx（nN）.

变式1设x,y三R，求证：

，x2-3x3.y2—3y3：

：

」。

x2—；3xyy2_.6.

八、利用柯西不等式证明不等式思路提示

柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它

与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等

式，不过它的特点更明显应用更直接.

1.二维形式的柯西不等式

_22222

设xnX2,yi,y2R，（洛y）（X2y?

）-（x^?

y*2）.等号成立=x』2二x?

2.一般形式的柯西不等式

设ai,a2」l（,an及bid丨1（,6为任意实数,

则（aibi-a?

b2IIIanbn）2空（a；•a；||「a；）（bi2b2IIIbn），

当且仅当也=电=111=色（规定ai=0时b=0，i=i,2」11,n）时等号成立

bib2bn

证法一：

当ai全为0时，命题显然成立.

否则7a20，考查关于x的二次函数f（x）=（a/-bi）2，显然f（x）一0恒成立.

izii=i

nnnn

注意到f（x）=（'■a：

）x-2（vaQJx、bi2，而f（x）_O恒成立，且7ai20,

i=177i4

nnn

故f（x）的判别式不大于零，即F：

i4i4i」

nnn

整理后得7a2、b2_（'•aibi）2.

i4i4i4

证法二：

向量的内积证法•

令a=（a1,a2^|,an），b=（db」l（,bn），寸为a与b的夹角.

因为ab-|a||b|cosa,b，且|cos;a,b|_1，所以|ab|二|a||b||cosa,b：

a||b|

=■|ab|2_|a|2|b|2，即（曲abb；|l（anbn）2_佝2a；||（bbn）,

等号成立=-=0或180=a,b平行=岂=更=色.

bib2bn

柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明

许多复杂的不等式，下面举例说明•

例16.31已知x，y，z均为实数.

（1）若x+y+z=1,求证：

，3x+1+3y+2+3z+3<3,3;

变式1已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=3书.求证

⑵若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.

例16.32

设实数a，b，c满足『2b23八I,

求证:

3」9“27』_1.

变式2已知a.0,b.0,c.0,acosv-bsin「：

：

求证：

、、acos2J-\bsin2）：

：

、一c.

变式2已知正实数a,b,c满足abc=1，求证:

1113

-O+—Z+—Z>—

333一

a（bc）b（ca）c（ab）2

最有效训练题61（限时45分钟）

1.不等式|2x-1|：

：

2-3x的解集是（）

13c

3’

A.XIX:

：

xC.

x|x

12J

11L

I5J

2.设a,b,c（-：

：

0）,

则a

111

-,b-,c-

（

）

bca

A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2

3.若：

0~1，Q二F~3..a4（a_0），贝UP,Q的大小关系是（）

6.若正数a,b满足a^ab3，则①ab的取值范围是:

②ab的取值范围

是.

7.在实数范围内，不等式|2x-1||2x1^16的解集为.

8.若存在实数x使|x_a||x_1^3成立，则实数a的取值范围是

9.已知a.0,b0,c.0,abc求证:

10.已知函数f（x）=|xa||x_2|.

（1）当a=-3时，求不等式f（x）_3的解集;

⑵若f（x）」x—4|的解集包含1,21,求a的取值范围

11.已知函数f（x）二m_|x_2|,m・R，且f（x•2）_0的解集为[-1,1].

1求m的值；

444

2若a,b,c•一R，且一'——二m，求证：

a■2b■3c-9.

a2b3c

12.已知函数fa）^—3（X=-1）.设数列N?

满足a1=1，=f（an），数列心满

X+1

足bn=|an-3，Snb2|l（bn（nN）.

（1）用数学归纳法证明：

bn<（‘3二1）；

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