中考数学找规律题型汇总及解析doc.docx
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中考数学找规律题型汇总及解析doc
中考数学找规律题型扩展及解析
“有比较才有鉴别”。
通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找
到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：
一、基本方法——看增幅
（一）如增幅相等（实为等差数列）：
对每个数和它的前一个数进行比较，
如增幅相等，则第n个数可以表示为：
a1+（n-1）b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，（n-1）b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+（n-1）b。
例：
4、10、16、22、28，求第n位数。
分析：
第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数
是：
4+（n-1）6＝6n－2
（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即
增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此
种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：
1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：
2、3、5、
9,17增幅为1、2、4、8.
（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧
（一）标出序列号：
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：
0，3，8，15，24，。
试按此规律写出的第100
个数是1002
1，第n个数是n21。
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第
100个数。
我们
把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：
0，3，8，15，24，。
序列号：
1，2，3，4，5，。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减
1。
因此，第n项
是n2-1，第100项是1002—1
（二）公因式法：
每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,
或2n、3n有关。
例如：
1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（（2n1）2），
1，2，3，4，5．。
。
。
。
。
。
，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。
（三）看例题：
A：
2、9、28、65.....增幅是
7、19、37....，增幅的增幅是
12、18
答案与
3有关且是
n的
3次幂，即：
n3+1
B：
2、4、8、16.......增幅是
2、4、8.......答案与
2的乘方有关即：
2n
（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后
用
（一）、
（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。
再在找出的规律上加
上第一位数，恢复到原来。
例：
2、5、10、17、26，同时减去2后得到新数列：
0、3、8、15、24，
序列号：
1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2
时，2*2-1
得
3，3*3-1=8，以此类推，得到第
n个数为
n2
1。
再看原数列是同
时减
2得到的新数列，则在
n2
1的基础上加
2，得到原数列第
n项n2
1
（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。
例：
4，16，36，64，，144，196，（第一百个数）
同除以4后可得新数列：
1、4、9、16，很显然是位置数的平方，得到新数列
第n项即
n2，原数列是同除以
4得到的新数列，所以求出新数列
n的公式后再
乘以
4即，4n2，则求出第一百个数为
4*1002=40000
（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。
当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。
（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。
三、基本步骤
1、先看增幅是否相等，如相等，用基本方法
（一）解题。
2、如不相等，综合运用技巧
（一）、
（二）、（三）找规律
3、如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧
（一）、
（二）、（三）找出新数列的规律
4、最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法
（二）解题四、练习题
例1：
一道初中数学找规律题
0，3，8，15，24，·2，5，10，17，26，·0，6，16，30，48·
（1）第一组有什么规律
答：
从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。
（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系
答：
第一组是位置数平方减一，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可
以看出都等于
2，说明第二组的每项都比第一组的每项多
2，则第二组第n项是：
位置数平方减
1加2，得位置数平方加
1即n2
1。
第三组可以看出正好是第一组每项数的
2倍，则第三组第n项是：
2n2
1
（3）取每组的第7个数，求这三个数的和
答：
用上述三组数的第
n项公式可以求出，第一组第七个数是
7的平方减一得
48，第二组第七个数是
7的平方加一得50，第三组第七个数是
2乘以括号7的
平方减一得96，48+50+96=194
2、观察下面两行数
2，4，8，16，32，64，．．．
（1）
5，7，11，19，35，67．．．
（2）
根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。
（要求写出最后的计算结果和详细解题过程。
）
解：
第一组可以看出是2n，第二组可以看出是第一组的每项都加3，即2n+3，
则第一组第十个数是210=1024，第二组第十个数是210+3得1027，两项相加得
2051。
3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中有几个是黑的
解：
从数列中可以看出规律即：
1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，.，每
二项中后项减前项为
0，1，2，3，4，5，正好是等差数列，并且数列中偶项
位置全部为黑色珠子，因此得出
2002除以2得1001，即前2002个中有1001
个是黑色的。
4、32
12=852
32=16
72
52=24用含有N的代数式表示规律
解：
被减数是不包含
1的奇数的平方，减数是包括
1的奇数的平方，差是8的
倍数，奇数项第n个项为2n-1，而被减数正是比减数多
2，则被减数为2n-1+2,
得2n+1，则用含有n的代数式表示为：
2n12
2n
12=8n。
写出两个连续自然数的平方差为
888的等式
解：
通过上述代数式得出，平方差为
888即8n=8X111,得出n=111，代入公式：
（222+1）2-（222-1）2=888
五、对于数表
1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律
2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差六、数字推理基本类型
按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：
1.和差关系。
又分为等差、移动求和或差两种。
（1）等差关系。
12，20，30，42，（56）
127，112，97，82，（67）
3，4，7，12，（19），28
（2）移动求和或差。
从第三项起，每一项都是前两项之和或差。
1，2，3，5，（8），13
选C。
1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=130，1，1，2，4，7，13，（24）
选C。
注意此题为前三项之和等于下一项。
一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。
5，3，2，1，1，（0）
选C。
前两项相减得到第三项。
2.乘除关系。
又分为等比、移动求积或商两种
（1）等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数
列。
8，12，18，27，后项与前项之比为。
6，6，9，18，45，（135）后项与前项之比为等差数列，分别为1，，2，，3
（2）移动求积或商关系。
从第三项起，每一项都是前两项之积或商。
2，5，10，50，（500）
100，50，2，25，（2/25）
3，4，6，12，36，（216）从第三项起，第三项为前两项之积除以2
1，7，8，57，（457）第三项为前两项之积加1
3.平方关系
1，4，9，16，25，（36），49为位置数的平方。
66，83，102，123，（146），看数很大，其实是不难的，66可以看作64+2，83可以看作81+2，102可以看作100+2，123可以看作121+2，以此类推，可以看出是8，9，10，11，12的平方加2
4.立方关系
1，8，27，（81），125位置数的立方。
3，10，29，（83），127位置数的立方加2
0，1，2，9，（730）后项为前项的立方加1
5.分数数列。
关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案
1
4
9
16
25
（
36
）分子为等比即位置数的平方，分母为等差数
2
3
4
5
6
7
列，则第n项代数式为：
n
2
n
1
2/3
1/2
2/5
1/3
（1/4）
将1/2化为2/4，1/3化为2/6，可得到如下数
列：
2/3,2/4,2/5,2/6,2/7,2/8
.可知下一个为2/9，如果求第n项代数式即：
2
，分解后得：
1
n
n
2
n2
6.、质数数列
2，3，5，（7），11
质数数列
4，6，10，14，22，（26）
每项除以2得到质数数列
20，22，25，30，37，（48）
后项与前项相减得质数数列。
7.、双重数列。
又分为三种：
（1）每两项为一组，如
1，3，3，9，5，15，7，（21）第一与第二，第三与第四等每两项后项与前项之比为3
2，5，7，10，9，12，10，（13）每两项中后项减前项之差为3
1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，（104）两项为一组，每组的后项
等于前项倒数*2
（2）两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。
22，39，25，38，31，37，40，36，（52）由两个数列，22，25，31，40，（）和39，38，37，36组成，相互隔开，均为等差。
34，36，35，35，（36），34，37，（33）由两个数列相隔而成，一个递增，一个递减
（3）数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数
列。
，，，，整数部分为等比，小数部分为移动求和数列。
双重数列难题也较少。
能看出是双重数列，题目一般已经解出。
特别是前两种，当数字的个数超过7个时，为双重数列的可能性相当大。
8.、组合数列。
最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。
需要熟悉前面的几种关系后，才能较好较快地解决这类题。
1，1，3，7，17，41，（99）
选B。
此为移动求和与乘除关系组合。
第三项为第二项
*2
加第一项，即
1X2+1=3、3X2+1=7，7X2+3=17，17X2+7=41，则空中应为
41X2+17=99
65，35，17，3，
（1）
选A。
平方关系与和差关系组合，分别为8的平方加
1，6
的平方减
1，4
的平方加1，2的平方减1，下一个应为0的平方加1=14，6，10，18，34，（66）
选C。
各差关系与等比关系组合。
依次相减，得2，4，8，16（），可推知下一个为32，32+34=66
6，15，35，77，（）
选D。
此题看似比较复杂，是等差与等比组合数列。
如果拆分开来可以看出，
6=2X3、15=3x5、35=7X5、77=11X7，正好是质数2、3，5，7、11数列的后项
乘以前项的结果，得出下一个应为13X11=143
2，8，24，64，（160）
选A。
此题较复杂，幂数列与等差数列组合。
2=1X21的1次方，8=2X22的
平方，24=3*X23，64=4X24，下一个则为5X25=160
0，6，24，60，120，（210）
选B。
和差与立方关系组合。
0=1的3次方-1，6=2的3次方-2，24=3的3
次方-3，60=4的3次方-4，120=5的3次方-5。
空中应是6的3次方-6=2101，4，8，14，24，42，（76）
B.66
选A。
两个等差与一个等比数列组合依次相减，原数列后项减前项得3，4，
6，10，18，（34），得到新数列后，再相减，得1，2，4，8，16，（32），此为等比数列，下一个为32，倒推到3，4，6，8，10，34，再倒推至1，4，8，14，24，42，76，可知选A。
9.、其他数列。
2，6，12，20，（30）
选C。
2=1*2，6=2*3，12=3*4，20=4*5，下一个为5*6=30
1，1，2，6，24，（120）
选C。
后项=前项X递增数列。
1=1*1，2=1*2，6=2*3，24=6*4，下一个为
120=24*5
1，4，8，13，16，20，（25）
选B。
每4项为一重复，后期减前项依次相减得
3，4，5。
下个重复也为
3，
4，5，推知得25。
27，16，5，（0），1/7
选B。
依次为3的3次方，4的2次方，5的1次方，6的0次方，7的-1次方。
四、解题方法
数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。
1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前
三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。
2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。
3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项在中间的可以两边同时推导。
（一）等差数列
相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。
等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。
它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式：
自然数数列：
1，2，3，4，5，6
偶数数列：
2，4，6，8，10，12
奇数数列：
1，3，5，7，9，11，13
例题1：
103，81，59，（37），15。
解析：
答案为C。
这显然是一个等差数列，前后项的差为22。
例题2：
2，5，8，（11）。
解析：
从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的
数字与前面数字之间的差等于一个常数。
题中第二个数字为5，第一个数字为2，两者的差为3，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即8+3=11，第四项应该是11，即答案为B。
例题3：
123，456，789，（1122）。
解析：
答案为A。
这题的第一项为123，第二项为456，第三项为789，三项中相邻两项的差都是333，所以是一个等差数列，未知项应该是789+333=1122。
注意，解答数字推理题时，应着眼于探寻数列中各数字间的内在规
律，而不能从数字表面上去找规律，比如本题从123，456，789这一排列，便选择101112，肯定不对。
例题4：
11，17，23，（29），35。
解析：
答案为C。
这同样是一个等差数列，前项与后项相差6。
例题5：
12，15，18，（21），24，27。
解析：
答案为B。
这是一个典型的等差数列，题中相邻两数之差均为3，未知项即18+3=21，或24-3=21，由此可知第四项应该是21。
（二）等比数列
相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减。
等比数列在数字推理测验中，也是排列数字的常见规律之一。
例题1：
2，1，1/2，（B）。
48
解析：
从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列，即后面的数字与前面数字之间的比值等于一个常数。
题中第二个数字为1，第一个数字为2，两者的比值为1/2，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在
此基础上对未知的一项进行推理，即（1/2）/2，第四项应该是1/4，即答案为B。
例题2：
2，8，32，128，（512）。
解析：
答案为C。
这是一个等比数列，后一项与前一项的比值为4。
例题3：
2，-4，8，-16，（32）。
解析：
答案为A。
这仍然是一个等比数列，前后项的比值为-2。
（三）平方数列
1、完全平方数列：
正序：
1，4，9，16，25
逆序：
100，81，64，49，36
2、一个数的平方是第二个数。
1）直接得出：
2，4，16，（256）
解析：
前一个数的平方等于第二个数，答案为256。
2）一个数的平方加减一个数等于第二个数：
1，2，5，26，（677）前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。
3、隐含完全平方数列：
1）通过加减一个常数归成完全平方数列：
0，3，8，15，24，（35）
前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案35
2）相隔加减，得到一个平方数列：
例：
65，35，17，（3），1
解析：
不难感觉到隐含一个平方数列。
进一步思考发现规律是：
65等于8
的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，再观察时发现：
奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。
例：
1，4，16，49，121，（169）。
（2005年考题）
解析：
从数字中可以看出1的平方，2的平方，4的平方，7的平方，11的平方，正好是1，2，4，7，11.。
。
。
。
，可以看出后项减前项正好是1，2，3，4，5，。
。
。
。
。
。
。
，从中可以看出应为11+5=16，16的平方是256，所以选A。
例：
2，3，10，15，26，（35）。
（2005年考题）
解析：
看数列为2=1的平方+1，3=2的平方减1，10=3的平方加1，15=4的平方减1，26=5的平方加1，再观察时发现：
位置数奇时都是加1，位置数偶
时都是减1，因而下一个数应该是6的平方减1=35，前n项代数式为：
n2
（1）n
所以答案是。
（四）立方数列
立方数列与平方数列类似。
例题1：
1，8，27，64，（125）
解析：
数列中前四项为
1，2，3，4的立方，显然答案为
5的立方，为125。
例题2：
0，7，26，63
，（124）
解析：
前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。
例3：
-2，-8，0，64，（）。
（2006年考题）D250
解析：
从数列中可以看出，
-2，-8，0，64都是某一个数的立方关系，
3，-8=（2-3）X23
，0=（3-3）X33，64=（4-3）X43，前n项代数式为：
-2=（1-3）×1
3
，因此最后一项因该为（5-3）
3＝250选D
n3n
×5
例4：
0，9，26，65，124，（239
）（2007年考题）
解析：
前五项分别为1，2，3，4，5的立方加1或者减1，规律为位置数是
偶数的加1
，则奇数减1。
即：
前n项=n
3
+（-1）
n。
答案为239。
在近几年的考试中，也出现了n次幂的形式
例5：
1，32，81，64，25，（6），1。
（2006年考题）
解析：
逐项拆解容易发现
1=16，32=25，81=34，64=43，25=52
，则答案已
经很明显了，6的1次幂，即6
选B。
（五）、加法数列
n1+n2=n3
数列中前两个数的和等于后面第三个数：
例题1：
1，1，2，3，5，（8）。
A8
B7
C9
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