第一章 集合.docx
《第一章 集合.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章 集合.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第一章集合
1.1 集合与集合的表示方法
【学习目标】 1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系.2.掌握集合中元素的三个特性.3.记住常用数集的表示符号并会应用.4.掌握集合的三种表示方法（列举法、描述法、Venn图）并能够运用于表示一些简单集合.
[预习导引]
1.元素与集合的概念
（1）集合：
把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.
（2）元素：
构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.
（3）集合元素的特性：
确定性、互异性、无序性.
2.元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a∉A
a不属于集合A
3.集合的分类
（1）空集：
不含任何元素的集合，记作∅.
（2）非空集合：
①有限集：
含有有限个元素的集合.
②无限集：
含有无限个元素的集合.
4.常用数集的表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
5.集合的表示方法
列举法：
把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法.
描述法：
（1）集合的特征性质
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有性质p（x），则性质p（x）叫做集合A的一个特征性质.
（2）特征性质描述法
集合A可以用它的特征性质p（x）描述为{x∈I|p（x）}，它表示集合A是由集合I中具有性质p（x）的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.
（3）Venn图
A
【学习过程】
要点一 集合的基本概念
例1 下列每组对象能否构成一个集合：
（1）我们班的所有高个子同学；
（2）不超过20的非负数；
（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；
（4）
的近似值的全体.
解
（1）“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.
（2）任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；（3）“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；（4）“
的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“
的近似值”不能构成集合.
规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.
跟踪演练1 下列所给的对象能构成集合的是________.
（1）所有正三角形；
（2）必修1课本上的所有难题；
（3）比较接近1的正整数全体；
（4）某校高一年级的16岁以下的学生.
要点二 元素与集合的关系
例2 所给下列关系正确的个数是（ ）
①－
∈R；②
∉Q；③0∈N*；④|－3|∉N*.
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 －
是实数，
是无理数，∴①②正确.N*表示正整数集，∴③和④不正确.
规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a∉A”这两种情况中必有一种且只有一种成立.
2.符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系.
3.“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合.
跟踪演练2 设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系中正确的是（ ）
A.0∈M,2∈MB.0∉M,2∈M
C.0∈M,2∉MD.0∉M,2∉M
要点三 集合中元素的特性及应用
例3 已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值.
解 ∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.
此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意.
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
规律方法 1.由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验.
2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.
跟踪演练3 已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________.
要点四 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
解
（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
（2）设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.
规律方法 对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：
①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复.
跟踪演练1 用列举法表示下列集合：
（1）绝对值小于3的整数的集合；
（2）一次函数y＝x－1与y＝－
x＋
的图象交点组成的集合.
要点五 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
（1）正偶数集；
（2）被3除余2的正整数的集合；
（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解
（1）偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}.
（2）设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.
（3）坐标轴上的点（x，y）的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{（x，y）|xy＝0}.
规律方法 用描述法表示集合时应注意：
①“竖线”前面的x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p（x）可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一.
跟踪演练2 用描述法表示下列集合：
（1）所有被5整除的数；
（2）方程6x2－5x＋1＝0的实数解集；
（3）集合{－2，－1,0,1,2}.
例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
解
（1）当k＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}.
（2）当k≠0时，由集合A中只有一个元素，
∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根.
则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}.
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}.
规律方法 1.
（1）本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解.
（2）kx2－8x＋16＝0的二次项系数k不确定，需分k＝0和k≠0展开讨论，从而做到不重不漏.
2.解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点.
跟踪演练3 把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合.
1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定.若研究对象不确定，则不能构成集合.
2.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.
3.集合中元素的两种特性：
确定性、互异性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.
4.表示集合的要求：
（1）根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.
（2）一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.
5.在用描述法表示集合时应注意：
（1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数、还是有序实数对（点）、还是集合或其他形式？
（2）元素具有怎样的属性？
当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
【当堂检测】
1.下列能构成集合的是（ ）
A.中央电视台著名节目主持人
B.我市跑得快的汽车
C.上海市所有的中学生
D.香港的高楼
2.集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是（ ）
A.0∈AB.a∉A
C.a∈AD.a＝A
3.已知①
∈R；②
∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.正确的个数为________.
4.已知1∈{a2，a}，则a＝________
5.集合{x∈N*|x－3＜2}用列举法可表示为（ ）
A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}
6.已知集合A＝{x∈N|－
≤x≤
}，则有（ ）
A.－1∈AB.0∈A
C.
∈AD.2∈A
7.用描述法表示方程x＜－x－3的解集为________.
8.已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________.
9.用适当的方法表示下列集合.
（1）方程x（x2＋2x＋1）＝0的解集；
（2）在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；
（3）不等式x－2＞6的解的集合；
（4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.
1.2.1 集合之间的关系
【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集.2.能使用Venn图表示集合间的关系.3.理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能简单应用.
[预习导引]
1.集合相等、子集、真子集的概念
（1）集合相等：
①定义：
如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B.
②符号表示：
A＝B.
③图形表示：
（2）子集
①定义：
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集.
②符号表示：
A⊆B或B⊇A.
③图形表示：
或
（3）真子集
①定义：
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集.
②符号表示：
AB或BA.
③图形表示：
2.集合关系与其特征性质之间的关系
设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则有
集合间的关系
特征性质间的关系
A⊆B
p（x）⇒q（x）
A⊇B
q（x）⇒p（x）
A＝B
p（x）⇔q（x）
3.∅与其它集合之间的关系
（1）∅是任意一个集合的子集；
（2）∅是任意一个非空集合的真子集.
【学习过程】
要点一 有限集合的子集确定问题
例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集.
解 由0个元素构成的子集：
∅；
由1个元素构成的子集：
{1}，{2}，{3}；
由2个元素构成的子集：
{1,2}，{1,3}，{2,3}；
由3个元素构成的子集：
{1,2,3}.
由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.
在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集.
规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
（1）确定所求集合；
（2）合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
（3）注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
跟踪演练1 已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数.
要点二 集合间关系的判定
例2 指出下列各对集合之间的关系：
（1）A＝{－1,1}，B＝{（－1，－1），（－1,1），（1，－1），（1,1）}；
（2）A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
（3）A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
（4）M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
解
（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
（2）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
（3）集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.
（4）由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM.
规律方法 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示.
跟踪演练2 集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|2x＋7＞0}，试判断集合A和B的关系.
要点三 由集合间的关系求参数范围问题
例3 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A.
求实数m的取值范围.
解 ∵B⊆A，
（1）当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
（2）当B≠∅时，有
解得－1≤m＜2，综上得{m|m≥－1}.
规律方法 1.
（1）分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合.
（2）利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.
2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.
跟踪演练3 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
（1）若A⊆B，求a的取值范围；
（2）若B⊆A，求a的取值范围.
解
（1）若A⊆B，由图可知a＞2.
（2）若B⊆A，由图可知1≤a≤2.
【课堂小结】
1.对子集、真子集有关概念的理解
（1）集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法.
（2）不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
（3）在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
2.集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：
含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.
【当堂检测】
1.集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为（ ）
2.设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是（ ）
3.已知M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的Venn图是（ ）
4.已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝________.
1.2.2 集合的运算
第1课时 并集、交集
[学习目标] 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表示集合的关系及运算，体会直观图对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.
[预习导引]
1.并集与交集的概念
运算
自然语言
符号语言
图形语言
交集
对于两个给定的集合A、B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
并集
对于两个给定的集合A、B，由两个集合的所有元素构成的集合
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
2.交集与并集的运算性质
（1）A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅；
（2）A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A；
（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
【学习过程】
要点一 集合并集的简单运算
例1
（1）设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于（ ）
A.{3,4,5,6,7,8}B.{5,8}
C.{3,5,7,8}D.{4,5,6,8}
（2）已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于（ ）
A.{x|－1≤x＜3}B.{x|－1≤x≤4}
C.{x|x≤4}D.{x|x≥－1}
答案
（1）A
（2）C
解析
（1）由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}.
（2）在数轴上表示两个集合，如图.
规律方法 解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点值不在集合中时，应用“空心点”表示.
跟踪演练1
（1）已知集合A＝{x|（x－1）（x＋2）＝0}；B＝{x|（x＋2）（x－3）＝0}，则集合A∪B是（ ）
A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}
C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}
（2）若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________.
要点二 集合交集的简单运算
例2
（1）已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于（ ）
A.{2}B.{4}
C.{0,2,4,6,8,16}D.{2,4}
（2）设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于（ ）
A.{x|0≤x≤2}B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4}D.{x|1≤x≤4}
答案
（1）D
（2）A
解析
（1）观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}.
（2）在数轴上表示出集合A与B，如下图.
则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}.
规律方法 1.求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似.
2.当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合.
跟踪演练2 已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥
}，求A∩B，A∪B.
要点三 已知集合交集、并集求参数
例3 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围.
解 由A∩B＝∅，
（1）若A＝∅，有2a＞a＋3，∴a＞3.
（2）若A≠∅，如下图：
∴
解得－
≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是{a|－
≤a≤2，或a＞3}.
规律方法 1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解.若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.
2.建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到.最好是把端点值代入题目验证.
跟踪演练3 设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求实数a的取值范围.
【课堂小结】1.对并集、交集概念的理解
（1）对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“可兼”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：
x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由两个集合A，B的所有元素组成的集合.
（2）A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.
2.集合的交、并运算中的注意事项
（1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
（2）对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.
【当堂检测】
1.若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于（ ）
A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}
C.{1,2}D.{0}
2.设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.{2}B.{3}C.{－3,2}D.{－2,3}
3.集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于（ ）
A.{1,2}B.{0,1,2}
C.{x|0≤x≤3}D.{x|0≤x＜3}
4.已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－
＜x＜
}，则（ ）
A.A∩B＝∅B.A∪B＝R
C.B⊆AD.A⊆B
5.设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.
第2课时 补集及集合运算的综合应用
[学习目标] 1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题.
[预习导引]
全集与补集的概念
（1）全集
如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示.
（2）补集
定义
如果给定集合A是全集U的一个子集.由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作∁UA，读作A在U中的补集.
图形语言
性质
对于任意集合A，有A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U（∁UA）＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U
【学习过程】
要点一 简单的补集运算
例1
（1）设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA等于（ ）
A.{1,2}B.{3,4,5}
C.{1,2,3,4,5}D.∅
（2）若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁UA＝________.
答案
（1）B
（2）{x|x＜1}
解析
（1）∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}.
（2）由补集的定义，结合数轴可得∁UA＝{x|x＜1}.
规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.
2.解题时要注意使用补集的几个性质：
∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪∁UA＝U.
跟踪演练1 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁UA＝________.
要点二 交、并、补的综合运算
例2
（1）已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB等于（ ）
A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅
（2）设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则∁RS∪T等于（ ）
A.{x|－2＜x≤1}B.{x|x≤－4}
C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}
答案
（1）A
（2）C
解析
（1）利用所给条件计算出A和∁UB，进而求交集.
∵U＝{1,2,3,4}，∁U（A∪B）＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}.
又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2
升级会员 