华东理工大学线性代数第2册.docx
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华东理工大学线性代数第2册
华东理工大学
线性代数
作业簿（第二册）
1
25
26
0
01
-
0
-7
0
0
A2B2一
0
0
8
2
0
0
20
6一
B1二鹉
A2一B2一
625000
062500
I00160
.006416一
-
0
0
2
2.设A=
0
0
0
0
4
0
-
1
0
0
01
_3，则A—
0
0
-
0
0
0
11
0
0
1
0
A-
"1
4
A=
斗A=」
=
1
一
〔A2
■
2
0
0
0
0
1
0
0
3
解:
3.
已知分块矩阵心除駕，则宀）
解:
101
4.求满足AX-X+1=A2的矩阵X，其中A=020
101一
解：
由原式，整理得（A-l）X二A2-I=（A-l）（AT）,而
001201
A-1=010可逆，故由上式可得X=A+I=030.
'100一J02一
5.设n阶矩阵A,B满足A-B=AB.
（1）证明A_I可逆，且AB=BA;
1-30
（2）若已知B=210，求矩阵A.
002一
解：
（1）由AAB,移项得AB一A一B=0,即
AB-A-B•I=1，亦即（A-I）（B-1）=1,从而得到A-I可逆；
且由上式可得（B一1）（A一1）=1,展开得BA—A—B=：
O,即
B^AB，结合条件知AB=BA.
（2）由
（1）知A-I=（B-I）'，即A=（B-I）'I,而
1.
1
J
-
1
1
0
—
0
1
—
0
0
-3
01
2
2
（B-1宀
2
0
0
1
0
0
故A=
1
1
0
3
3
i
0
0
1_
0
0
1
0
0
2
1
\
6.设A=@j）是一个mn矩阵，
（1）计算^A,Aq,eTAej，其
中e为m阶单位矩阵的第i列，ej为n阶单位矩阵的第j列；
⑵试证：
对任一m维列向量x,灭丁人=0=A=0；
⑶试证：
对任一m维列向量x和任一n维列向量y，
xTAy=O=A=O.
解:
（1）
录人二心⑴无,…,a^1,Aq二
“”由向量x的任意性，取x=ei（i=1,2,...m,且为m阶单位矩
阵的第i列），则由⑴得e「A=©1,32,…,am】=O，即A的第i行为
零向量，取遍^1,2,...m,知A的每一行均为零向量，即A=・0.
⑶二”显然；
=”由x与y的任意性，取x=e,y=ej（i=1,2,...m,j=1,2,.』;©
与ej分别为m,n阶单位阵的第i,j列），则由
（1）得e^Aej==0，
即A的每一个元素都为零，亦即A=O.
7•设n阶矩阵A=[a訂，n维向量〉二[1,1,,1]T，
（1）计算A;
（2）若A可逆，其每一行元素之和都等于常数c，试证：
AJ的每一行元素之和也都相等，且等于1.
c
解：
（1）设ei为n阶单位矩阵的第i列，则有
:
珂1,1,,1]Te2en
又设:
i为A的第i列，则有
Ga.]
n
为a2k
km
A=Ae（■Aq■Aen=*2川…用込=
n
-Jank
*」
—_d1A
⑵由题设及
（1）的结论可得：
A=1=A即卩A的
c
每一行元素之和都等于丄.
1.5初等变换与初等矩阵
1.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.
21
01.
-1-1
（1）r2i
L-34一
；
（2）
-112
—4
6
解：
（1）
构造分块阵
13
01
1
并对其进行初等行变换
12
-34
0ri2（3）12
1•10
1
%）
1
2
10
01
丄
4
10
3
10
10
1
10
（2）
J-11
-4
'.6
2
1
一1
，即得
_-3
4」
丄4
10|（3
-2
1
■1
2
0
-1
1
21
3
8
_2
2.已知A=1
】2
11
0，
2
j
2
：
0
2
0
-1
-31
4
5
，且有XA=X-B,求X.
解：
；XA二X
_1-11
-
:
1
0
01
■1
-1
1
-
:
1
0
01
110
'0
1
0
〜0
2
-1
'-1
1
0
.211
-0
0
1一
1P
3
-1
'-2
0
1」
B
X（A_I）=B
X
―
―
[All]二
二B（A-I）‘
-
li
1
1
2
1
1
1
2
1
0
1
2
3
1
-1
-1
2
-1
-3
-n
1
2
_12
-3]「1
2
-n
_2
9
-51
2
0
4
-1
-1
i
=
-2
—8
6
■0
-1
5一
-I
-3
2一
L
-4
-14
9J
2
2
2
J
.X二B（A-I）
U-||AB‘（B（Ct）」-1）：
计（BA，）t
A-（B）tAt
_||A（CT）」-AB」丁（AB4）t
"-I0
0Y
i0n
一-1
0-11
0
-1
11I
0
i
0
=
1
_1
2
：
0
2
-i上
i
0
2一
-I
2
-2J
-c4at
（Bj）tAt
4.已知
_1
2
3
-0
0I
1-
1〕
4
5
6P〒
0
IQ
=0
0则
7
8
9'
1
0J
0'
01一
A=
1
01
p1Aq0
132
解：
465
J98j
a11
a12
a13
[
a21
a22
a23
a21
a22
a23
B=
a11
a12
a13
一a31
a32
a33-
a31+耳1
a32*a12
833+43」
01
0
5.设A-
010]
■1
100
P2=C
001
J
P=
0
1
0，则有
1
（A）ARP2=B;（B）ARR=B;（C）RPzA^B;（D）F2RA=B.解：
C.
6.解矩阵方程:
101000X0001一卫1
-43
0-1
-20
解：
X左右的两个矩阵均为初等矩阵，故而可逆且其逆也是初等矩阵，于是有
-43100，
0-1001
-2O'10一
0
=1
-43
0-1
-2O'10…1
01
—4
一2
7.已知代B为三阶方阵，且满足2A‘B=B-4I.
1-20
（1）证明A-21可逆；
（2）若B=120，求矩阵A.
■002J
解:
（1）2A」B=B-41=2B=AB—4A=（AB-2B）-（4A-81）=81
=（A-21）（B-41）=81
11
所以A-2I可逆且（A-21）（B-41）.
8
」1
⑵（A—2I）」蔦（B—41）
8
■-2
2
01
一0
2
01
nA=8（B-4l）-*+2l=-1
-3
0
+21
=—1
-1
0
0
一4一
0
-2」
rj
8.设矩阵A可逆，且A〜B.试证：
（1）矩阵B可逆;
（2）求AB1;（3）试证AJ交换第i、j列后可得矩阵B」.
解：
（1）依题意，有B=RjA，其中&为对应于初等变换rj的行初等矩阵，则由&及A均可逆知B必可逆.
（2）由
（1），得B」=（RjjA）4=A」Rj」=A"*Rj,故而
AB」=A（A」Rj）二Rj.
Cj
（3）由
（1）,得B'二A’Rj，而R亍iC，故A’Cij二B'，即A‘：
B，.
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