华东理工大学线性代数第2册.docx

1、华东理工大学线性代数第2册华东理工大学线性代数作业簿（第二册）12526001-0-700A2B2 一008200206 一B1二鹉A2 一 B2 一625 0 0 00 625 0 0I 0 0 16 0.0 0 64 16 一-0022 .设 A =000040-10001_3，则 A00-000110010A -14A =斗 A = =1一A2200001003解:3.已知分块矩阵心除駕，则宀）解:1 0 14.求满足AX -X +1 = A2的矩阵X，其中A= 0 2 01 0 1 一解：由原式，整理得(A-l)X二A2 - I = (A-l)(A T),而0 0 1 2 0 1A-1

2、 = 0 1 0可逆，故由上式可得X =A + I = 0 3 0 .1 0 0一 J 0 2 一5.设n阶矩阵A,B满足A - B=AB .（1） 证明A _I可逆，且AB =BA;1 -3 0（2） 若已知B = 2 1 0，求矩阵A.0 0 2一解：（1 ）由A AB,移项得AB 一 A 一 B = 0 ,即AB-A-B I =1，亦即（A-I）（B -1） =1,从而得到 A-I 可逆；且由上式可得（B 一1 ）（A 一1） =1 ,展开得BA A B=：O,即BA B，结合条件知 AB =BA.（2）由（1）知 A - I = （B - I），即 A = （B - I） I,而1 .

3、1J-1100100-30122(B -1 宀200100,故A =11033i001 _00100216.设 A = j）是一个 m n矩阵，（1）计算 A, Aq , eT Aej，其中e为m阶单位矩阵的第i列，ej为n阶单位矩阵的第j列；试证：对任一 m维列向量x,灭丁人=0= A=0 ；试证：对任一 m维列向量x和任一 n维列向量y，xTAy=O= A = O.解: （ 1）录人二心无,a 1, Aq二“”由向量x的任意性，取x =ei(i =1,2,.m,且为m阶单位矩阵的第i列)，则由得eA= 1,32,am】 = O，即A的第i行为零向量，取遍 1,2,.m,知A的每一行均为零向

4、量，即 A=0.二”显然；=”由 x与 y 的任意性，取 x =e, y = ej (i =1,2,.m, j =1,2,.;与ej分别为m, n阶单位阵的第i, j列)，则由(1)得eAej = = 0，即A的每一个元素都为零，亦即 A=O.7设n阶矩阵A=a訂，n维向量二1,1, ,1T，(1)计算A ;(2)若A可逆，其每一行元素之和都等于常数c，试证：AJ的每 一行元素之和也都相等，且等于1.c解：(1)设ei为n阶单位矩阵的第i列，则有:珂1,1, ,1T e2 en又设:i为A的第i列，则有G a.n为a2kkmA = Ae( Aq Aen = *2 川用込=n-J ank* _d

5、 1 A 由题设及(1)的结论可得：A =1 = A即卩A的c每一行元素之和都等于丄.1.5初等变换与初等矩阵1.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.210 1 .-1 -1(1)r 2iL-3 4 一；(2)-11 246解：(1)构造分块阵13011,并对其进行初等行变换1 2-3 40 ri2(3)1 21 101%)121001丄41031010110(2)J-11-4.621一1，即得_-34丄410 |(3-21120-112138_22.已知A = 1】2110，2j2：020-1-3145，且有 XA=X - B,求 X .解：；XA二X_1 -1 1-:10011-11-:100

6、11 1 0 01002-1 -110.2 1 1-001 一1 P3-1 -201BX(A_I) =BXAll二二 B(A-I)-li1121112101231-1-12-1-3-n12_1 2-312-n_29-51204-1-1i=-2860-15 一-I-32 一L-4-149 J222J.X 二 B(A-I)U - |AB(B(Ct)-1)：计(BA，)tA-(B )tAt_|A(CT)-AB丁 (AB4)t-I 00Yi 0 n一-10 -1 10-111I0i0=1_12：02-i上i02 一-I2-2 J-c4at(Bj)tAt4.已知_123-00 I1 -1 456P0IQ

7、=0,0则789 10 J0 0 1 一A =10 1p1 Aq01 3 2解： 4 6 5J 9 8ja11a12a13a21a22a23a21a22a23,B =a11a12a13一a31a32a33 -a31 + 耳1a32 *a12833+430105.设 A -0 1 011 0 0,P2= C0 0 1JP =010，则有1(A) ARP2 =B ; (B) ARR =B ; (C) RPzAB ; ( D) F2RA = B. 解：C.6.解矩阵方程:1 0 1 0 0 0X00 0 1 一 卫 1-4 30 -1-2 0解：X左右的两个矩阵均为初等矩阵，故而可逆且其逆也是初等

8、矩阵，于是有-4 3 1 0 0，0 -10 0 1-2 O 1 0 一0=1-4 30 -1-2 O 1 0 1014一27.已知代B为三阶方阵，且满足2AB=B-4I.1 -2 0（1）证明A-21可逆；（2）若B= 1 2 0，求矩阵A.0 0 2 J解:(1) 2AB =B-41 = 2B =AB4A= (AB -2B) - (4A-81) = 81=(A -21 )(B -41 ) =811 1所以 A-2I 可逆且(A-21) (B -41 ).8 1(A2I)蔦(B41)8-2201一0201n A=8(B-4l)-*+2l = -1-30+ 21=1-100一4 一0-2rj8.设矩阵A可逆，且AB.试证：（1）矩阵B可逆;（2）求AB1; （3）试证AJ交换第i、j列后可得矩阵B.解：（1）依题意，有B=RjA，其中&为对应于初等变换rj的行 初等矩阵，则由&及A均可逆知B必可逆.（2） 由（1），得 B=（RjjA）4=ARj=A*Rj ,故而AB=A（ARj）二 Rj .Cj（3） 由（1）,得 B二 ARj，而 R 亍 iC，故 ACij 二 B，即 A ： B，.