等腰三角形讲义1.docx

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等腰三角形讲义1

等腰三角形目标认知

学习目标：

　　通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法

重点：

　　等腰三角形的性质与判定。

难点：

　　比较复杂图形、题目的推理证明

一、知识要点梳理

知识点一：

等腰三角形、腰、底边

　　有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角

　　如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

知识点二：

等腰三角形的性质

　　1、性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

　　　性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

　　2、这两个性质证明如下：

　　　在△ABC中，AB=AC，如图所示．

　　　作底边BC的高AD，则有

　　　∴Rt△ABD≌Rt△ACD．

　　　∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．

　　　于是性质1、性质2均得证．

　　3、说明：

（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：

∵AB=AC，∴∠B=∠C；

　　　　②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．

（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：

∵AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴BD=CD；

　　　　　或∵AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴AD⊥BC．

　　　　②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

　　（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情

　　　　况只有一条对称轴．

知识点三：

等腰三角形的判定定理

　　1、定理内容及证明

　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示．

　　证明：

在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则

　　　　　所以△ABD≌△ACD（AAS）．

　　　　　所以，AB=AC．

　　2、注意：

　　①本定理的符号表示为：

在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．

　　②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．

　　　另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．

知识点四：

等边三角形

　　1、等边三角形定义：

三边都相等的三角形叫等边三角形

　　如图所示．

　　2、注意：

　　①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．

　　②等边三角形具有等腰三角形的一切性质．

知识点五：

等边三角形的性质

　　1、等边三角形的性质：

等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

　　2、理由如下：

如上图所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．

　　　而∠A+∠B+∠C=180°．则有∠A=∠B=∠C=60°．

　　注意：

这条性质只有等边三角形具有．

知识点六：

等边三角形的判定

　　1、等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

　　2、证明如下：

（1）如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC．

　　　于是判定

（1）成立．

（2）如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C．

　　　由判定

（1）得△ABC是等边三角形；

　　　若∠B=60°，则∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C．

　　　由判定

（1）得△ABC是等边三角形。

所以判定

（2）成立．

知识点七：

直角三角形性质定理

　　1、定理内容：

在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

　　2、证明：

如图所示，∠ACB=90°，∠A=30°．延长BC至

使

，则有AC垂直平分

，　故

．又可得∠B=60°．于是△

是等边三角形，故

，所以

．即定理成立．

二、规律方法指导

1．等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。

　　2．常用的辅助线有：

（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。

（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

经典例题透析

类型一：

探究型题目

1．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。

（在等腰三角形的两个底角处标明度数）

　　思路点拨:

在三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑。

下面提供四种分割方法供大家参考。

　　解析：

　　总结升华：

对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一。

　　举一反三：

　　【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：

AD⊥BC。

　　请你先阅读下面的证明过程。

　　证明：

在△AEB和△AEC中，

　　　　　所以△ABE≌△AEC（第一步），

　　　　　所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），

　　　　　所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。

　　上面的证明过程是否正确？

如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程。

　　【答案】第一步错误。

因为在△ABE和△AEC中有两边和其中一边的对角对应相等，不能判定它们全等。

　　　　　　正确的证明过程是：

　　　　　　因为EB=EC，

　　　　　　所以∠EBD=∠ECD，

　　　　　　所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2，

　　　　　　即：

∠ABC=∠ACB，

　　　　　　所以AB=AC。

　　　　　　在△AEB和△AEC中，

　　　　　　所以△ABE≌△AEC，

　　　　　　所以∠3=∠4，

　　　　　　所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。

　　【变式2】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。

（1）请猜一猜：

图4中∠BQM等于多少度？

（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件下不变，如图5所示，

（1）中的结论是否仍

　　　　然成立？

如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。

　　【答案】

（1）题通常猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°，而且这一结论在图形发生变化后仍然成立。

（2）题的证明过程如下：

　　因为△ABC为等边三角形，

　　所以AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

　　所以∠ACM=∠BAN。

　　在△ACM和△BAN中，

　　所以ΔACM≌ΔBAN，

　　所以∠M=∠N，

　　所以∠BQM=∠N＋∠QAN=∠M＋∠CAM=∠ACB=60°。

类型二：

与度数有关的计算

2．如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数。

　　思路点拨:

解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=∠B，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。

解析：

∵AB=AC

　　　　　∴∠B=∠C

　　　　　∵AB=BD

　　　　　∴∠2=∠3

　　　　　∵∠2=∠1+∠C

　　　　　∴∠2=∠1+∠B

　　　　　∵∠2+∠3+∠B=180°

　　　　　∴∠B=180°－2∠2

　　　　　∴∠2=∠1+180°－2∠2

　　　　　∴3∠2=∠1+180°

　　　　　∵∠1=30°

　　　　　∴∠2=70°

　　总结升华：

关于角度问题可以通过建立方程进行解决。

　　举一反三：

　　【变式1】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度数。

【答案】∵BE=BA

　　　　　　∴∠2=∠BAE

　　　　　　∵CD=CA

　　　　　　∴∠1=∠CAD

　　　　　　∵∠1+∠CAD+∠C=180°

　　　　　　∴∠1=

　　　　　　∵∠2+∠BAE+∠B=180°

　　　　　　∴∠2=

　　　　　　∴∠1+∠2=

　　　　　　∵∠B+∠C=180°－∠BAC

　　　　　　∴∠1+∠2=

　　　　　　∵∠DAE=180°－（∠1+∠2）

　　　　　　∴∠DAE=90°－

=90°－61°=29°。

　　【变式2】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度数。

　　【答案】∵AB=AC，AD=AE

　　　　　　∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED

　　　　　　∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD

　　　　　　∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD

　　　　　　∵∠AED=∠C+∠EDC

　　　　　　∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD

　　　　　　∴∠EDC=

∠BAD=15°。

类型三：

等腰三角形中的分类讨论　

3．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论

（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。

（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。

　　思路点拨:

由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。

　　解析：

（1）因为8+8＞10，10+10＞8，则在这两种情况下都能构成三角形；

　　　　　　　当腰长为8时，周长为8+8+10=26；

　　　　　　　当腰长为10时，周长为10+10+8=28；

　　　　　　　故这个三角形的周长为26cm或28cm。

（2）当腰长为3时，因为3+3＜7，所以此时不能构成三角形；

　　　　　　　当腰长为7时，因为7+7＞3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：

7+7+3=17；故这个三角形的周长为17cm。

　　总结升华：

对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形

　　举一反三：

　　【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论

　　等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数

　　【答案】

（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x，

　　　　　　　　　∴4x+4x+x=180°，∴x=20°，∴4x=80°，

　　　　　　　　　于是三角形的各个内角的度数为：

20°，80°，80°。

（2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为

4x，

　　　　　　　　　∴x+x+4x=180°，∴x=30°，∴4x=120°，

　　　　　　　　　于是三角形的各个内角的度数为：

30°，30°，120°。

　　　　　　　　故三角形各个内角的度数为20°，80°，80°或30°，30°，120°。

　　【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论

　　等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。

　　【答案】设AB=AC，BD⊥AC；

（1）高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，

　　　　如右图，∵∠DBC=25°，∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°，

　　　　∴∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-2×65°=50°。

图1

（2）当高与另一腰的夹角为250时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　①如图2，高在△ABC内部时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　当∠ABD=25°时，∠A=90°-∠ABD=65°，

　　　　∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=57.5°；　　　　　　　　

　　　　②如图3，高在△ABC外部时，∠ABD=25°，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

　　　　∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°，∴∠BAC=180°-65°=115°，

　　　　∴∠ABC=∠C=（180°-115°）÷2=32.5°

　　　　故三角形各内角为：

65°，65°，50°或

　　　　65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图3

　　【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论

　　在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角B的度数。

　　分析：

题目中AB边上的垂直平分线与直线AC

　　相交有两种情形；

　　解：

（1）如图，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，

　　　　　　∠ADE=40°，

　　　　　　则∠A=900-∠ADE=50°，

　　　　　　∵AB=AC，∴∠B=（180°-50°）÷2=65°。

（2）如图，AB边的垂直平分线与直线AC的反向

　　　　　　延长线交于点D，∠ADE=40°，则∠DAE=50°

　　　　　　∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-130°）÷2=25°，

　　　　　　故∠B的大小为65°或25°。

　　【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论

　　等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长。

　　【答案】如图，∵BD为AC边上的中线，∴AD=CD，

（1）当（AB+AD）-（BC+CD）=3时，则AB-BC=3，

　　　　　　　　∵BC=5∴AB=BC+3=8；

（2）当（BC+CD）-（AB+AD）=3时，则BC-AB=3，

　　　　　　　　∵BC=5∴AB=BC-3=2；

　　　　　　　　但是当AB=2时，三边长为2，2，5；

　　　　　　　　而2+2＜5，不合题意，舍去；

　　　　　　　　故腰长为8。

类型四：

证明题

4．已知：

如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。

　　求证：

BD＋EC＝DE。

　　思路点拨:

因为DE＝DF＋FE，即结论为BD＋EC＝DF＋FE，分别证明BD＝DF，CE＝FE即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。

　　解析：

∵DE∥BC，

　　　　∴∠3＝∠2（两直线平行，内错角相等）

　　　　又∵BF平分∠ABC

　　　　∴∠1＝∠2

　　　　∴∠1＝∠3

　　　　∴DB＝DF（等角对等边）

　　　　同理：

EF＝CE，

　　　　∴BD＋EC＝DF＋EF

　　　　即BD＋EC＝DE。

　　总结升华：

在三角形中，利用“等角对等边”证明线段相等，是一种常用的方法。

　　举一反三：

　　【变式1】如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。

　　求证：

（1）∠AOB＝120°；

（2）CM＝CN；

　　　　（3）MN∥AB。

　　【答案】

（1）∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE

　　　　　　　　∠BCD＝∠BCE＋∠DCE

　　　　　　　　且∠ACD＝∠BCE＝60°

　　　　　　　　∴∠ACE＝∠BCD

　　　　　　　　在△ACE和△BCD中

　　　　　　　　∴△ACE≌△DCB（SAS）

　　　　　　　　∴∠3＝∠2

　　　　　　　　∵∠1＋∠3＝60°，∴∠1＋∠2＝60°

　　　　　　　　∴∠AOB＝∠1＋∠ADC＋∠2＝60°＋60°＝120°

（2）∵∠ACD＝∠BCE＝60°

　　　　　　　　∴∠MCN＝60°

　　　　　　　　在△CMA和△CND中

　　　　　　　　∴△CMA≌△CND（ASA）

　　　　　　　　∴CM＝CN

　　　　　　（3）∵CM＝CN且∠MCN＝60°

　　　　　　　　∴△CMN是等边三角形

　　　　　　　　∴∠NMC＝60°

　　　　　　　　又∵∠DCA＝60°

　　　　　　　　∴∠NMC＝∠DCA

　　　　　　　　∴MN∥AB

　　【变式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）。

　　求证：

（1）AB＝2BC；

（2）CE＝AE＝EB。

　　【答案】

（1）∵CE、CD三等分∠ACB

　　　　　　　　∴∠1＝∠2＝∠3＝30°

　　　　　　　　又∵CD⊥AB，∴∠B＝60°，∠A＝30°

　　　　　　　　在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2BC

（2）∵∠A＝∠1＝30°

　　　　　　　　∴CE＝EA

　　　　　　　　又∵∠B＝∠BCE＝60°

　　　　　　　　∴△BCE是等边三角形，∴EC＝EB

　　　　　　　　∴CE＝EA＝EB

学习成果测评

基础达标：

　　一、填空：

　　1、等腰三角形的的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为______cm。

　　2、等腰三角形的的两边长为3cm和5cm，则该等腰三角形的周长为______cm。

　　3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角为_____。

　　4、在△ABC中，AC＝BC，且∠B＝∠C，则△ABC是____________三角形。

　　5、若直角三角形斜边上的中线垂直于斜边，则它的两个锐角的度数是____________。

　　6、等腰三角形的一个角是80°，则其他两个角的度数是____________。

　　二、选择题

　　1.若一个三角形的三个外角度数比为2：

3：

3，则这个三角形是（）

　　A.等腰三角形　　　B.等边三角形

　　C.直角三角形　　　D.等腰直角三角形

　　2.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如图1所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则

　　　图中等腰三角形的个数是（）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1

　　A.4个　　　B.3个　　　C.2个　　　D.1个

　　3.在以①30°，120°；②25°，75°；③38°，52°；④55°，70°；⑤42°，96°；⑥28°，

　　　62°；⑦56°，68°；⑧45°，45°；⑨60°，60°为两内角可以构成的三角形中，有等腰三角

　　　形（）

　　A.3个　　　B.4个　　　C.5个　　　D.6个

　　4.具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（）

　　A.顶角、一腰对应相等

　　B.底边、一腰对应相等

　　C.两腰对应相等

　　D.一底角、底边对应相等

　　三、解答题

　　1、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。

　　2、

（1）等腰三角形的一个角为50°，求另外两个角的度数。

（2）等腰三角形的一个外角为100°，求该等腰三角形的顶角。

　　3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成8cm和10cm的两部分，求该等腰三角形的各边长。

　　4、如图2所示，△ABC和△BDE都是等边三角形。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

　　求证：

AE＝CD。

　　5、如图3所示，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F，且BF＝CE。

判断△ABC的形状并证明。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图3

　　6、“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对与否，甲、乙、丙三位同学给出了如下论断：

　　甲：

正确。

因为若两边都是直角边，则用（SAS）全等识别法就可以证它们全等。

　　乙：

正确。

因为若其中一边是直角边，另一边是斜边，则可用（HL）定理证全等。

　　丙：

不正确。

若一个三角形较长的直角边与另一三角形斜边相等，较短的直角边与另一三角形较长的直角边相等，则显而易见两个三角形不全等。

　　请你就这三个同学的见解发表自己的意见。

　7、如图所示，是城市部分街道示意图，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A、B、C、D、E、F、G为“公共汽车”停靠点，“甲公共汽车”从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，“乙公共汽车”从B站出发，沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站。

如果甲、乙分别同时从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先到达指定站？

为什么？

答案与解析：

　　一、填空题

　　1。

12（2cm不能为腰长，只能为底边长（2+2＜5），所以周长为2+5+5=12（cm）。

）

　　2。

13或11（3cm既能为腰长，又能为底边长（5+5＞3、3+3＞5），

　　　　　　　∴周长为3+5+5=13（cm）或3+3+5=11（cm）。

）

　　3。

50°或130°（等腰三角形一腰上的高可能是在三角形内，也可能在三角形外，因此要分类讨论。

）

　　4。

等边

　　5。

45°；45°

　　　点拨：

等腰三角形三线合一。

　　6。

80°，20°或50°，50°