高考数学理一轮复习分层演练91分类加法计数原理与分步乘法计数原理含答案.docx

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高考数学理一轮复习分层演练91分类加法计数原理与分步乘法计数原理含答案

知识点

考纲下载

两个计数原理

理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．

排列、组合

1.理解排列、组合的概念．

2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．

3．能解决简单的实际问题．

二项式定理

1.能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

随机事件的概率

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．

2．了解两个互斥事件的概率加法公式．

古典概型、随机数与几何概型

1.理解古典概型及其概率计算公式．

2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．

3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．

4．了解几何概型的意义．

离散型随机变量及其分布列、期望与方差

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．

2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．

3．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

二项分布及其应用

了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．

正态分布

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

两个计数原理

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

条件

完成一件事有两类方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法

完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法

结论

完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法

完成这件事共有N＝mn种不同的方法

1．辨明两个易误点

（1）切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．

（2）分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．

2．两个计数原理应用的步骤

第一步，由于计数问题一般是解决实际问题，故首先要审清题意，弄清完成的事件是怎样的；

第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类四类中的哪一种；

第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数；

第四步，根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数．

1．从3名女同学2名男同学中选一人，主持本班的“感恩老师，感恩父母”主题班会，则不同的选法种数为（　　）

A．6　　　　B．5　　　　

C．3　　D．2

[答案]B

2．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，不同取法的种数为（　　）

A．182　　B．14

C．48D．91

[答案]C

3．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（　　）

A．504　　B．210

C．336D．120

　A　[解析]三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7，8，9种方法，所以不同的插法种数为7×8×9＝504.

4．4名学生参加三个体育运动项目的比赛，每名学生可以参加任何一项比赛，每个项目产生一名冠军，则各项冠军获得者的不同情况有________种．

[答案]64

5．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法数为________，从第1，2，3层分别各取1本书，不同的取法数为________．

[解析]由分类加法计数原理知，从书架上任取1本书，不同的取法总数为4＋5＋6＝15.由分步乘法计数原理知，从1，2，3层分别各取1本书，不同的取法总数为4×5×6＝120.

[答案]15　120

　分类加法计数原理[学生用书P188]

[典例引领]

（1）某位同学逛书店，发现有三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买的方案有________种．

（2）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．

【解析】　

（1）至少买其中一本的实质是买一本或买两本或买三本，故分三类完成．第一类：

买一本有3种；第二类：

买两本有3种；第三类：

买三本有1种．共有3＋3＋1＝7（种）买法．

（2）根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．

由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个）．故共有36个．

【答案】　

（1）7　

（2）36

若本例

（2）条件变为“个位数字不小于十位数字”，则两位数的个数为________．

[解析]分两类：

一类：

个位数字大于十位数字的两位数，由本例

（2）知共有36个；另一类：

个位数字与十位数字相同的有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个．由分类加法计数原理知，共有36＋9＝45（个）．

[答案]45

分类加法计数原理的两个条件

（1）根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；

（2）完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．　

　椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为________．

[解析]因为焦点在x轴上，所以m＞n，以m的值为标准分类，分为四类：

第一类：

m＝5时，使m＞n，n有4种选择；第二类：

m＝4时，使m＞n，n有3种选择；第三类：

m＝3时，使m＞n，n有2种选择；第四类：

m＝2时，使m＞n，n有1种选择．由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有10个．

[答案]10

　分步乘法计数原理[学生用书P188]

[典例引领]

（1）（2016·高考全国卷甲）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）

A．24　　　　　　　　　B．18

C．12D．9

（2）有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．

【解析】　

（1）由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B．

（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120（种）．

【答案】　

（1）B　

（2）120

利用分步乘法计数原理解题的策略

（1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．

（2）将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．　

　已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P（a，b）（a，b∈M）表示平面上的点，则

（1）P可表示平面上________个不同的点；

（2）P可表示平面上________个第二象限的点．

[解析]

（1）确定平面上的点P（a，b）可分两步完成：

第一步确定a的值，共有6种确定方法；

第二步确定b的值，也有6种确定方法．

根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.

（2）确定第二象限的点，可分两步完成：

第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；

第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．

由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.

[答案]

（1）36　

（2）6

　两个计数原理的综合应用（高频考点）[学生用书P189]

两个计数原理在高考中一般是结合在一起出题，经常是先分类再分步，以选择题或填空题的形式出现．

高考对两个计数原理的考查主要有以下三个命题角度：

（1）与数字有关的问题；

（2）涂色问题；

（3）方程解的个数问题．

[典例引领]

（1）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　）

A．243　　　　　　　　B．252

C．261D．279

（2）

（2017·大同质检）如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（　　）

A．72种　　B．48种

C．24种D．12种

【解析】　

（1）由分步乘法计数原理知：

用0，1，…，9十个数字组成三位数（可有重复数字）的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.

（2）法一：

首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法．

法二：

按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：

一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24（种）涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24（种），D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72（种）．

【答案】　

（1）B　

（2）A

与两个计数原理有关问题的解题策略

（1）在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理．

（2）对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．　

[题点通关]

角度一　与数字有关的问题

1．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275等），那么所有凸数的个数为（　　）

A．240　　B．204

C．729D．920

　A　[解析]若a2＝2，则凸数为120与121，共1×2＝2个．若a2＝3，则凸数有2×3＝6个．若a2＝4，则凸数有3×4＝12个，…，若a2＝9，则凸数有8×9＝72个．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．

角度二　涂色问题

2.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（　　）

A．400种　　B．460种

C．480种D．496种

　C　[解析]完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：

从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360（种）方法；当使用3种颜色时：

A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120（种）方法．由分类加法计数原理可知：

不同涂法有360＋120＝480（种）．

角度三　方程解的个数问题

3．（2017·河北省高阳中学月考）已知ax2－b＝0是关于x的一元二次方程，其中a，b∈{1，2，3，4}，则解集不同的一元二次方程的个数为________．

[解析]从集合{1，2，3，4}中任意取两个不同元素作为a，b，方程有A个；当a，b取同一个数时方