高中数学第二章 数列22 第2课时.docx
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高中数学第二章数列22第2课时
第2课时 等差数列的性质
学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．
知识点一 等差数列通项公式的变形及推广
①an＝dn＋（a1－d）（n∈N*），
②an＝am＋（n－m）d（m，n∈N*），
③d＝
（m，n∈N*，且m≠n）．
其中①的几何意义是点（n，an）均在直线y＝dx＋（a1－d）上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③即斜率公式k＝
，可用来由等差数列任两项求公差．
知识点二 等差数列的性质
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
知识点三 由等差数列衍生的新数列
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列（c为任一常数）
{c·an}
公差为cd的等差数列（c为任一常数）
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N*）
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列（p，q为常数）
1．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则{an}是公差为k的等差数列．（ √ ）
2．等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.（ × ）
3．若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．（ √ ）
4．若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…是等差数列．（ × ）
题型一 an＝am＋（n－m）d的应用
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
解 因为a8＝a2＋（8－2）d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋（n－2）d，所以an＝5＋（n－2）×2＝2n＋1，n∈N*.
反思感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋（n－m）d即变为an＝a1＋（n－1）d，可以减少记忆负担．
跟踪训练1 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝.
★答案★ 8
解析 方法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，
则d＝
＝
＝2，
∴bn＝b3＋（n－3）d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
方法二 由
＝
＝d，
得b8＝
×5＋b3
＝2×5＋（－2）＝8.
题型二 等差数列性质的应用
例2 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
解 方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
所以（a4－2d）（a4＋2d）＝9，即（5－2d）（5＋2d）＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋（n－4）d＝2n－3，n∈N*；
若d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝13－2n，n∈N*.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5.①
由a2a4a6＝45，
得（a1＋d）（a1＋3d）（a1＋5d）＝45，
将①代入上式，得
（5－2d）×5×（5＋2d）＝45，
即（5－2d）（5＋2d）＝9，②
联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2（n－1）＝2n－3，n∈N*；
或an＝11－2（n－1）＝－2n＋13，n∈N*.
引申探究
1．在例2中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?
解 设公差为d，则am＝a1＋（m－1）d，
an＝a1＋（n－1）d，
ap＝a1＋（p－1）d，
aq＝a1＋（q－1）d，
ar＝a1＋（r－1）d，
as＝a1＋（s－1）d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋（m＋n＋p－3）d，
aq＋ar＋as＝3a1＋（q＋r＋s－3）d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝.
★答案★ 20
解析 ∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2（a3＋a8）＝20.
反思感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：
一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练2 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．
解 方法一 ∵（a2＋a5＋a8）－（a1＋a4＋a7）＝3d，
（a3＋a6＋a9）－（a2＋a5＋a8）＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．
∴a3＋a6＋a9＝2（a2＋a5＋a8）－（a1＋a4＋a7）
＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a1＋a4＋a7＝a1＋（a1＋3d）＋（a1＋6d）
＝3a1＋9d＝39，
∴a1＋3d＝13，①
∵a2＋a5＋a8＝（a1＋d）＋（a1＋4d）＋（a1＋7d）
＝3a1＋12d＝33.
∴a1＋4d＝11，②
联立①②解得
∴a3＋a6＋a9＝（a1＋2d）＋（a1＋5d）＋（a1＋8d）
＝3a1＋15d＝3×19＋15×（－2）＝27.
题型三 等差数列的设法与求解
例3 已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
由题意可得
解得
或
∵d>0，∴a＝6，d＝2.
∴这个数列是4,6,8.
反思感悟 设等差数列的三个技巧
（1）对于连续奇数项的等差数列，可设为：
…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.
（2）对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：
…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.
（3）等差数列的通项可设为an＝pn＋q.
跟踪训练3 三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d.
由题意可得
解得
或
∴所求三个数为－2,2,6或6,2，－2.
数列问题如何选择运算方法
典例 等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.
解 方法一 设{an}的公差为d.
则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2（a1＋14d）
＝4a1＋36d＝4（a1＋9d）
＝4a10＝40，
∴a10＝10.
方法二 ∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，
∴a10＝10.
[素养评析] 等差数列中的计算大致有两条路：
一是都化为基本量（a1，d，n）然后解方程（组）；二是借助等差数列性质简化计算．前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法.
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于（ ）
A．3B．－6C．4D．－3
★答案★ B
解析 由等差数列的性质得a8－a3＝（8－3）d＝5d，
所以d＝
＝－6.
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于（ ）
A．32B．－32C．35D．－35
★答案★ C
解析 由a8－a4＝（8－4）d＝4d＝14－2＝12，得d＝3，
所以a15＝a8＋（15－8）d＝14＋7×3＝35.
3．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于（ ）
A．3B．－3
C.
D．－
★答案★ A
解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
4．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于（ ）
A．－182B．－78C．－148D．－82
★答案★ D
解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝（a1＋2d）＋（a4＋2d）＋（a7＋2d）＋…＋（a97＋2d）
＝（a1＋a4＋…＋a97）＋2d×33
＝50＋2×（－2）×33
＝－82.
5．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N*，则am＋n的值为．
★答案★ 0
解析 设等差数列的公差为d，
则d＝
＝
＝－1，
从而am＋n＝am＋（m＋n－m）d＝n＋n·（－1）＝0.
1．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
一、选择题
1．已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a9＝18，则公差d为（ ）
A．1B．3C．2D．4
★答案★ C
解析 因为数列{an}为等差数列，所以a9＝a3＋6d，即18＝6＋6d，所以d＝2.
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于（ ）
A．45B．75C．180D．300
★答案★ C
解析 ∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7
＝（a3＋a7）＋（a4＋a6）＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
3．已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为（ ）
A．12B．8C．6D．4
★答案★ B
解析 由等差数列的性质，得
a3＋a6＋a10＋a13＝（a3＋a13）＋（a6＋a10）
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
4．已知数列
是等差数列，且a3＝2，a15＝30，则a9等于（ ）
A．12B．24C．16D．32
★答案★ A
解析 令bn＝
，由题意可知b3＝
＝
，b15＝
＝2，则等差数列{bn}的公差d＝
＝
，则b9＝b3＋（9－3）d＝
，所以a9＝9b9＝12，故选A.
5．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan（a2＋a12）的值为（ ）
A.
B．±
C．－
D．－
★答案★ D
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝
.
∴tan（a2＋a12）＝tan（2a7）＝tan
＝tan
＝－
.
6．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
★答案★ D
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝（a＋c）2－4ac＝（a－c）2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
7．（2018·河南省实验中学期末）已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为（ ）
A．105B．120C．90D．75
★答案★ A
解析 由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝5，所以a1＋a3＝10.又a1a2a3＝80，所以a1a3＝16，所以a1＝2，a3＝8或a1＝8，a3＝2.又等差数列{an}的公差为正数，所以{an}是递增数列，所以a1＝2，a3＝8，所以等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝5－2＝3，所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3（a1＋11d）＝105.
8．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21.则a7等于（ ）
A．7B．10C．20D．30
★答案★ C
解析 ∵a3＋a7－a10＋a11－a4
＝a3＋a7＋a11－（a10＋a4）
＝3a7－2a7＝a7，
∴a7＝21－1＝20.
二、填空题
9．在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝.
★答案★ 10
解析 由5是a3和a6的等差中项，可得a3＋a6＝2×5＝10，则由等差数列的性质可得a1＋a8＝a3＋a6＝10.
10．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为．
★答案★ －21
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得
或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴这三个数的积为－21.
11．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是__________．
★答案★ n2＋n
解析 第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.所以数表中的第n行第n＋1列的数是n2＋n.
三、解答题
12．在等差数列{an}中，
（1）已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
（2）已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
解 方法一
（1）直接化成a1和d的方程如下：
（a1＋d）＋（a1＋2d）＋（a1＋22d）＋（a1＋23d）＝48，
即4（a1＋12d）＝48，
∴4a13＝48，∴a13＝12.
（2）直接化成a1和d的方程如下：
解得
或
∴d＝3或－3.
方法二
（1）根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12.
（2）由a2＋a3＋a4＋a5＝34，
得2（a2＋a5）＝34，即a2＋a5＝17，
解
得
或
∴d＝
＝
＝3或d＝
＝
＝－3.
13．在等差数列{an}中，
（1）若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，求a7－
a8；
（2）已知a1＋2a8＋a15＝96，求2a9－a10.
解
（1）a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－
a8＝
（2a7－a8）＝
（a6＋a8－a8）＝
a6＝8.
（2）∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝96，∴a8＝24.
∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
14．若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为．
★答案★ an＝2n－
（n∈N*）
解析 由题意得an＋1＋an＝4n－3，①
an＋2＋an＋1＝4n＋1，②
②－①，得an＋2－an＝4.
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2.
∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－
.
∴an＝－
＋（n－1）×2＝2n－
（n∈N*）．
15．已知两个等差数列{an}：
5,8,11，…与{bn}：
3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
解 因为an＝3n＋2（n∈N*），bk＝4k－1（k∈N*），两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得，
所以n＝
k－1.而n∈N*，k∈N*，
所以设k＝3r（r∈N*），得n＝4r－1.
由已知
且r∈N*，可得1≤r≤25.
所以共有25个相同数值的项．
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