高数二知识点汇总.docx
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高数二知识点汇总
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（二）知识点汇总
常用知识点：
、常见函数的定义域总结如下：
ykxb
1）2一般形式的定义域：
x∈Ryax2bxc
k
2）y分式形式的定义域：
x≠0
x
3）yx根式的形式定义域：
x≥0
4）ylogax对数形式的定义域：
x>0
、函数的性质
1、函数的单调性
当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），f（x）在x1，x2所在的区间上是增加的。
当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），f（x）在x1，x2所在的区间上是减少的。
2、函数的奇偶性
定义：
设函数yf（x）的定义区间D关于坐标原点对称（即若xD，则有xD）
（1）偶函数f（x）——xD，恒有f（x）f（x）。
（2）奇函数f（x）——xD，恒有f（x）f（x）。
三、基本初等函数
1、常数函数：
yc，定义域是（,），图形是一条平行于x轴的直线。
u
2、幂函数：
yxu，（u是常数）。
它的定义域随着u的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数
x
定义:
yf（x）a，（a是常数且a0，a1）.图形过（0,1）点。
4、对数函数
参考.资料
定义:
yf（x）logax，（a是常数且a0，a1）。
图形过（1,0）点。
5、三角函数
（1）正弦函数:
ysinx
T2，D（f）（,），
f（D）[1,1]。
（2）余弦函数:
ycosx.
T2，D（f）（,），
f（D）[1,1]。
（3）正切函数:
ytanx.
T，D（f）{x|xR,x（2k1）,kZ}，f（D）（,）.
2
（4）余切函数:
ycotx.
T，D（f）{x|xR,xk,kZ}，f（D）（,）.
5、反三角函数
（1）反正弦函数:
yarcsinx，D（f）[1,1]，f（D）[,]。
22
（2）反余弦函数:
yarccxo，sD（f）[1,1]，f（D）[0,]。
（3）反正切函数:
yarctxa，nD（f）（,），f（D）（,）。
22
（4）反余切函数:
yarccotx，D（f）（,），f（D）（0,）。
极限
、求极限的方法
因此遇到大部分简单题目的时候，可以直
1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。
接代入进行极限的求解。
2、传统求极限的方法
（1）利用极限的四则运算法则求极限。
（2）利用等价无穷小量代换求极限。
（3）利用两个重要极限求极限。
（4）利用罗比达法则就极限。
参考.资料
、函数极限的四则运算法则
设limuA，limvB，则xx
1）lim（uv）limulimvABxxx
2）lim（uv）limulimvAB.xxx
推论
a）lim（Cv）Climv，（C为常数）。
xx
（b）limun（limu）nxx
ulximuA
3）limx，（B0）.
xvlimvB
x
4）设P（x）为多项式P（x）a0xna1xn1an，则limP（x）P（x0）
xx0
limP（x）P（x0）xx0Q（x）Q（x0）
三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有：
当x0时，sinx~x，tanx~x，arctanx~x，arcsinx~x，ln（1x）~x，x12
e1~x，1cosx~x。
2对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：
当□0时，sin□~□，其余类似。
四、两个重要极限
sinx
重要极限Ilim1。
x0x
它可以用下面更直观的结构式表示：
limsin□1
□0□
参考.资料
八、洛必达（L'Hospital）法则
0f（x）f（x）
”型和“”型不定式，存在有limlim'A（或）。
0xag（x）xag'（x）
一元函数微分学
、导数的定义
设函数yf（x）在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x（点x0x仍在该邻域内）时，相
应地函数y取得增量yf（x0x）f（x0）。
如果当
x0时，函数的增量y与自变量x的增量之比的极限
limy=lim
x0xx0
f（x0x）f（x0）
x
f（x0）注意两个符号x和x0在题目中可能换成其他的符号表示。
、求导公式
1、基本初等函数的导数公式
（1）（C）0（C为常数）
（2）（x）x1（为任意常数）
3）（a）alna（a0,a1）特殊情况（e）e
9）（arcsinx）'1（1x1）
1x2
参考.资料
2、导数的四则运算公式
1）[u（x）v（x）]u（x）v（x）
2）[u（x）v（x）]u（x）v（x）u（x）v（x）
3）[ku]ku（k为常数）
u（x）u（x）v（x）u（x）v（x）
（4）2
v（x）v2（x）
3、复合函数求导公式：
设yf（u）,u（x），且f（u）及（x）都可导，则复合函数yf[（x）]的导数为
ddxydduydduxf'（u）.（x）。
三、导数的应用
1、函数的单调性
f'（x）0则f（x）在（a,b）内严格单调增加。
f'（x）0则f（x）在（a,b）内严格单调减少。
2、函数的极值
f'（x）0的点——函数f（x）的驻点。
设为x0
（1）若xx0时，f'（x）0；xx0时，f'（x）0，则f（x0）为f（x）的极大值点。
（2）若xx0时，f'（x）0；xx0时，f'（x）0，则f（x0）为f（x）的极小值点。
（3）如果f'（x）在x0的两侧的符号相同，那么f（x0）不是极值点。
3、曲线的凹凸性
f''（x）0，则曲线yf（x）在（a,b）内是凹的。
f''（x）0，则曲线yf（x）在（a,b）内是凸的。
4、曲线的拐点
（1）当f''（x）在x0的左、右两侧异号时，点（x0,f（x0））为曲线yf（x）的拐点，此时f''（x0）0.
（2）当f''（x）在x0的左、右两侧同号时，点（x0,f（x0））不为曲线yf（x）的拐点。
参考.资料
5、函数的最大值与最小值
极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。
四、微分公式
dyf'（x）dx，求微分就是求导数。
一元函数积分学
、不定积分
1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。
公式可以用求导公式来记忆。
2、不定积分的性质
（1）[f（x）dx]'f（x）或df（x）dxf（x）dx
（2）F'（x）dxF（x）C或dF（x）F（x）C
（3）[f（x）（x）（x）]dxf（x）dx（x）（x）dx。
（4）kf（x）dxkf（x）dx（k为常数且k0）。
2、基本积分公式（要求熟练记忆）
（1）0dxC
（2）xadx1xa1C（a1）.
a1
1
（3）dxlnxC.
x
x1x
（4）axdxaxC（a0,a1）
lna
（5）exdxexC
（6）sinxdxcosxC
（7）cosxdxsinxC
1
（8）2dxtanxC.
cos2x
1
（9）2dxcotxC.
sin2x
参考.资料
10）
1
dx
arcsinxC.
1
（11）2dxarctanxC.
1x2
3、第一类换元积分法
对不定微分g（x）dx，将被积表达式g（x）dx凑成
g（x）dxf[（x）]'（x）dxf（x）d（x），这是关键的一步。
常用的凑微分的公式有：
1
（1）f（axb）dxf（axb）d（axb）
a
kk11kk
（2）f（axkb）xk1dxf（axkb）d（axkb）
ka
（3）f（x）1dx2fxdx
x
（4）f
（1）12dxf
（1）d1
xx2xx
（5）f（ex）exdxf（ex）d（ex）
1
（6）f（lnx）dxf（lnx）d（lnx）
x
（7）f（sinx）cosxdxf（sinx）d（sinx）
8）f（cosx）sinxdxf（cosx）d（cosx）
1
9）f（tanx）2dxf（tanx）d（tanx）
cos2x
1
10）f（cotx）2dxf（cotx）d（cotx）
sinx
1
11）f（arcsinx）dxf（arcsinx）d（arcsinx）
1x2
1
f（arccosx）
1x2
4、分部积分法
udvuvvdu
参考.资料
、定积分公式
成的旋转体，如图所示。
则该旋转体的体积V可由下式求出：
b2
Vxf（x）dx
a
多元函数微分学
1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。
2、全微分公式：
dzdf（x,y）AxBy。
3、复合函数的偏导数——利用函数结构图
如果u（x,y）、v（x,y）在点（x,y）处存在连续的偏导数
v，且在对应于（x,y）的点y
，z，则复合函数v
z（u,v）处，函数zf（u,v）存在连续的偏导数
u
f[（x,y）,（x,y）]在点（x,y）处存在对x及
y的连续偏导数，且
可以由下列公式求出y对x的导数y'：
4、隐函数的导数
对于方程F（x,y）0所确定的隐函数yf（x），
参考.资料
y'Fx'（x,y），
yFy'（x,y），
2、隐函数的偏导数
对于由方程F（x,y,z）0所确定的隐函数zf（x,y），可用下列公式求偏导数：
zFx'（x,y,z），zFy（x,y,z），
xFz'（x,y,z）yFz'（x,y,z）
5、二元函数的极值
设函数zf（x0,y0）在点（x0,y0）的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且
fx'（x0,y0）0，fy'（x0,y0）0又设fx''x（x0,y0）A，fx'y'（x0,y0）B，fy''
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