哈工大研究生数值分析试题与答案docx.docx

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---WORD格式--可编辑--

1.x3,2

分别是方程x3

x2

8x

12

0

的根；讨论用Newton迭代法求它

们近似值的收敛阶。

取初值

x0

2计算根x

3

的近似值，要求迭代3

次。

（结果保留

4位小数）

解：

设f（x）x3

x2

8x12

f（x）3x2

2x

8

f

（x）

6x

2

f（3）

0,

f（

3）

0，f

（2）

0,

f

（2）

0,f

（2）100

则：

3是f（x）

0的单根，故

Newton迭代在

3附近是平方收敛；

2

是f（x）0

的二重根，故

Newton迭代在

2

附近是线性收敛；

取x0

2，Newton迭代：

xn

1xn

f（xn）

xn

xn3

xn2

8xn12

2

2x8

f（xn）2xn2

3xn3x

6

23xn

4

2x0

3x0

6

x1

2

2x13x03x146

x2

2

4

3x1

6

x3

2x2

3x2

3x2

4

2.设常数a0

，求出a的取值范围使得解方程组

a

2

1

x1

b1

2

a

3

x2

b2

的Jacobi

1

3

a

x3

b3

迭代法收敛。

解：

Jacobi

迭代：

（k1）

BJx

（k）

g

a

x1

0

1

0

2

1

2

BJ

a

20

3

1

120

3

a

a

3

0

b1

a

3

0

g

1

b2

1

a

迭代矩阵

a

b3

BJ的特征方程：

-------

---WORD格式--可编辑--

2

1

a

2

1

0

EBJ

120

3

12

a

30

即：

a

14（

a）0

a

（a）

1

3

a

13

3

0

特征根：

0,

14i

谱半径：

14

1

a

迭代收敛

（BJ）

时Jacobi

a

14

故：

a

3.设

（1）用Crout三角分解法求解方程组

2

3

2

x1

5

10

3

4

x2

13；

（2）用乘幂法求方程组系数阵的按摸最大的特征值和3对6应1的特x3征向9

量。

（取v0

（0,0,1）T

，计算迭代三次的值）3

1

解：

（1）Crout

1

2

三角分解：

1

2

3

2

2

1

3

A

10

324

10

12

2

1

LU

11

1

2

3

6

1

12

3

1

1

L

10

3

，U

1

2Ly

4b

3

2

11

3

Ax

b

Ux

y

T

1

2

4

5

求解Ly

b得y

1,0

求解Ux

y得x

2

T

1,1,0

（2）v0

（0,0,1）T，u0

v0

T

1

0,0,1

v1

Au0

T

max（v0）

v1

0.5,1,0.25

T

4

2,4,1

，u1

max（v1）

T

T

v2

Au1

，u2

v2

0.5,1,0.8611

9

max（v2）

3

2

，3

，

T

v3

0.5,1,0.7306

T

11.44

v

Au

u

max（v3）

4.试利用插值多项式证明：

对

k

k

0,1,L

n

2

恒有等式

n

i

0

（i

1）L

（i

i

1）（i

i

1）L

（i

证明：

i1

n）

设

xi

i,

i

1,2,L

n

-------

---WORD格式--可编辑--

（

）

x

k,

0,1,

2

fx

kLn

由插值多项式的唯一性，比较

Lagrange与Newton插值最高

项系数得：

将xii,（i

n

i1

n

i1（xi

1,2,L,n）,

（i1）L（i

f（xi）

f[x1,L

xn]

x1）L（xi

xi1）（xi

xi1）L

（xi

xn）

由差商与导数关系，有

L

xn]

f（n

1）（）

[1,n]

f[x1,

（n

1）!

f（x）

xk,

（k

n

2）代入上面两等式，有

n

0,1,L

i

k

0

（ii

k

L

（i

i

1）（i

i

L

（i

n）

（n1）

i1

f

（）

1）

1）

i

1）（i

L

（in）

f[x1,L

xn]

（n

0

i1）

1）!

5.求4次Hermit插值多项式H（x），满足：

H（0）H（0）0,H

（1）H

（1）1,H

（2）1

并写出误差表达式。

解：

方法一：

因H（0）H（0）0，故设：

H（x）x2（abxcx2）

由

H

（1）H

（1）a

2a

1,H

（2）

1

1，得

b

c

3b

4c

1

-------

a2b4c1

---WORD格式--可编辑--

得a

9,b

3,c

1

4

1

2

2

4

2

H（x）

（5）

x

（x

3）

误差：

E（x）

f（x）H（x）

f

4

（

）2

2

5!

x

（x1）（x2）,（0,2）

方法一：

满足

H（0）0,H

（1）

1的插值多项式为：

H

（2）

p2（x）

设：

H（x）p2

（x）（A3

H（0）

2

由

得：

由

A

3

H

（1）

1

1

x

1

（x2

H（x）

x

4

2

2

3x1x2

22

Bx）（x

0）（x1）（x

2）

2B

0,

1

3

（A

B）1

B

0）（x1）（x

2）

3）（x

4

4

误差：

1x

2

（x3）2

f

（5）（）

2

（x

2

（0,2）

E（x）f（x）

H（x）

x

1）（x2）,

4

5!

6.试求求积公式

2

23）

A1f（2

3）

的求积系数A0,A1

，使得

f（x）dx

A0f（

2

3

3

其有尽可能高的代数精度，是否是

Gauss型的？

并用此公式计算积分

2sinxdx（结果保留

5位小数）。

0

解：

令f（x）

1,x

求积公式准确成立，有：

A0

A1

4

得：

A0（

2

3

2

3

）

A1（

2

3

）

0

A

A

求积公式：

30

1

3）

2f（23）

2

f（x）dx2f（

2

令f（x）x2,x3

2

3

3

求积公式准确成立的，

x

f（x）

4求积公式不是准确

成立的，

3，是Gauss型的；

求积2公式代数精度为

2

sin

（t

2）dt

2

sin

（t

2）dt222

sinxdx

0

2

8

8

（t

8

2

8

作变换x

8

2）,t

[

2,2]

[2sin

2

3

2）

2sin

2

3

（

3

（

2））]

8

8

8

3

0.99848

-------

---WORD格式--可编辑--

7.用最小二乘法求一个形如y

ax2

b

的经验公式，使它与下列数据拟

合

xi

19

25

31

38

44

yi

19.0

32.3

49.0

73.3

97.8

解：

取

0（x）

1,1（x）

x2，

拟合函数为

y

b0（x）a1（x）

bax2

法方程为：

5b

5327a

271.4

5327a

7277699b

369321.5

得：

a0.050351,b0.9726045

拟合函数为

y

0.0500351x2

0.9726045

-------

---WORD格式--可编辑--

8.用共轭梯度方法解方程组：

共轭梯度方法:

解：

A

2

（0）

x1

（0）

（r（k）,r（k））

p

0

r

1

5

k

（0）

T

b

Ax

x

（0,0）

（取初值

）。

1

3

x2

5

（pk,Apk）

x（k1）

r

r（k）

kApk

x（k）

kpk,

（k1）

2

1

是（r

对称,r

正定）阵；

（k1）

（k1）

（k

1）

13k

（r

（k）

r

（k）

pk1

r

kpk

p0

r

（0）

（0））

T

b

Ax

（5,5）

0

（r（0）,r（0））

2

（p0,Ap0）

7

10）T

x

（1）

x（0）

0p0

（10,

r

（1）

r（0）

7

7

0Ap

0

（5

5）T

0

（r

（1）,r

（1））

71

7

（r（0）

r（0）

）

49

30）T

p1

r

（1）

0p0

（40

（r

（1）

r

（1）49

7

49

1

）

（p1,Ap1）

10

x

（2）

x

（1）

1p1

（2,1）T

r

（1）

r（0）

0Ap0

（0,0）T

解为：

x

（2）

（2,1）T

9.

y

y

h

（K3K）

应用Heun方法：

2

1

n

4

1

5y8y0

K1

f（xn,yn）

2

解初值问题

时，问步长

2

y（0）2

h应如何选取方能保证方法的绝

-------

K2

f（xn

3

h,yn

hK1）

3

---WORD格式--可编辑--

对稳定性？

并在h

1,2

中选取数值稳定的步长计算

y

（2）的近似值.

解：

将Heun方法应用到方程

5y8y0

上，有：

yn1

（1h

h2）yn,

其中h

8h

1.6h

当

h

2

5

（2,0）时，方法是绝对稳定的，

即

h（0,5）（0,1.25）

时方法是绝对稳定的；

故取h1

（0,5）

4

8，方法是绝对稳定的

（0,1.25），即h

4

yn1

17

5

yn,

17y0

25

y1

34

1.36,

y2

17y1

25

25

5780.9248,

17

34

25

25

25

625

10.求解常微分方程初值问题

y

fx,y,

ax

b

的两步方法：

y

a

h（5yn18yn

yn1

yn

yn1）

12

（1）求出局部截断误差；

（2）讨论方法的收敛性；

（3）讨论方法的绝对稳定性。

解：

a01,a10,b1

5,b0

8,b1

1

（1）把局部截断误差

12

12

12

展开：

Tn在xn处Taylor

Tnc0y（xn）

c0

4

Tnhy（4）（xn）

24

（2）c0c1

c1hy（xn）L

crhry（r）（xn）L

c1

c2

c3

0

c4

1

0

24

y（4）（

L

h

n）,n（xn,xn1）

24

0，方法是相容的；

-------

---WORD格式--可编辑--

第一特征多项式：

（r）

r2

r

，（r）

r

2

r

0两根为：

r0

1,r1

0,

ri

1,r1

1是单根，方法满足根条件；

由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。

（2）稳定多项式：

（r;h）

（1

5h）r2

（1

2h）r

h，

12h

h

12

0,故

1

35

h

12

由绝对稳定性要求知

h

0

3

1

12

2

12

h

5

5

（r;h）

0

r

5

1

由参考定理知：

h

的两根

（h）

1

h

1

12

（1

h）

（10,1

h）

12

12

3

12

故h

h

h

1

5

h

（6,0），即当h

（6,0）时方法是绝对稳定的。

应用1.

试确定

12

1

2x

1

2x

2x

2

12

12

0是方程5f（x）

e

0

的几重根；取初值

1

h

12

Newton迭代法求f（x）

0的根0

x00.25用改进的具有二阶收敛速度的