),则响应无超调。
超调量亦称为最大超调量,或百分比超调量。
上述五个动态性能指标,基本上可以体现系统动态过程的特征。
在实际应用中,常用的动态性能指标多为上升时间、调节时间和超调量。
通常,用
或
评价系统的响应速度用
%评价系统的阻尼程度;而2J是员吐反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
应当指出除简单的一、二阶系统外,要精确确定这些动态性能指标的解析表达式是很困难的。
(2)稳态性能
稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标,通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。
若时间趋于无穷时,系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数,则系统存在稳态误差。
稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
3—2一阶系统的时域分析
凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统,称为一阶系统。
在工程实践中,一阶系统不乏其例。
有些高阶系统的特性,常可用一阶系统的特性来近似表征。
1.一阶系统的数学模型
研究图3—2(a)所示RC电路,其运动微分方程为
T
(t)+c(t)=r(t)(3—2)
其中,c(t)为电路输出电压;r(c)为电路输入电压;T=RC为时间常数。
当该电路的初始条件为零时,其传递函数为
2.一阶系统的单位阶跃响应
设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数,r(t)=1(t),则由式(3—3)可得一阶系统的单位阶跃响应为
h(t)=1-
t
0(3-4)
由式(3—4)可见,一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零,以指数规律上升到终值
=1的曲线,如图3—3所示。
图3—3表明,一阶系统的单位阶跃应为非周期响应,具备如下两个重要特点
1)可用时间常数T去度量系统输出量的数值。
98.2%。
根据这一特点,可用实验方法测定一阶系统的时间常数,或测定所测系统是否属于一阶系统。
1)响应曲线的斜率初始值为1/T,并随时间的推移而下降。
例如
从而使单位阶跃响应完成全部变化所需的时间为无限长,即有h(
)=1。
此外,初始斜率特性,也是常用的确定一阶系统时间常数的方法之一。
根据动态性能指标的定义,一阶系统的动态性能指标为.
显然,峰值时间t和超调量
%都不存在由于时间常数T反映系统的惯性,所以一阶系统的惯性越小.苴晌应过程快;反之惯性越大响应越慢
3.一阶系统的单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数时,由于R(5)=1,所以系统输出量的拉氏变换式与系统的传递函数相同,即C(s)=
这时系统的输出称为脉冲响应,其表达式为
4。
一阶系统的单位斜坡响应
设系统的输入信号为单位斜坡函数,则由式(3—3)可以求得一阶系统的单位斜坡响应
式(3—6)表明:
一阶系统的单位斜坡响应的稳态分量,是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间滞后f的斜坡函数,因此在位置上存在稳态跟踪误差,其值正好等于时间常数一阶系统单位斜坡响应的瞬态分量为衰减非周期函数。
5一阶系统的单位加速度响应
设系统的输入信号为单位加速度函数,则由式(3-3)叮以求得—阶系统的单位加速度响应为
c(t)=
一阶系统对上述典型输入信号的响应归纳于表3—2之中。
由表3—2可见,单位脉冲函数与单位阶跃函数的一阶导数及单位斜坡函数的二阶导数的等价关系,对应有单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数及单位斜坡响应的二阶导数的等价关系。
这个等价对应关系表明:
系统对输入信号导数的响应,就等于系统对该输入信号响应的导数;或者,系统对输入信号积分的响应,就等于系统对该输入信号响应的积分,而积分常数由零输出初始条件确定。
这是线性定常系统的一个重要特性,适用于任何阶线性定常系统,但不适用于线性时变系统和非线性系统。
因此,研究线性定常系统的时间响应,不必对每种输入信号形式进行测定和计算,往往只取其中一种典型形式进行研究。
3—3二阶系统的时域分析
凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统,称为二阶系统。
在控制:
工程中,不仅二阶系统的典型应用极为普遍,而且不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。
因此,着重研究二阶系统的分析和计算方法,具有较大的实际意义。
1.二阶系统的数学模型
为了使研究的结果具有普遍的意义,可将式(3—9)表示为如下标准形式:
3—5线性系统的稳定性分析
稳定是控制系统的重要性能,也是系统能够正常运行的首要条件。
控制系统在实际运行过程中,总会受到外界和内部一些因素的扰动,例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。
如果系统不稳定,就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态,并随时间的推移而发散。
因而,如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施,是自动控制理论的基本任务之一
1.稳定性的基本概念
任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态,产生初始偏差。
所谓稳定性,是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。
其实,关于系统的稳定性有多种定义方法。
上面所阐述的稳定性概念,实则是指平衡状态稳定性,由俄国学者李雅普诺夫子1892年首先提出,一直沿用至今。
有关李雅普诺夫稳定性的严密数学定义及稳定性定理,将在第九章介绍。
在分析线性系统的稳定性时,我们所关心的是系统的运动稳定性,即系统方程在不受任何外界输入作用下,系统方程的解在时间t趋于无穷时的渐近行为。
毫无疑问,这种解就是系统齐次微分方程的解,而“解”通常称为系统方程的一个“运动”,因而谓之运动稳定性。
严格地说,平衡状态稳定性与运动稳定性并不是一回事,但是可以证明,对于线性系统而言,运动稳定性与平衡状态稳定性是等价的。
按照李雅普诺夫分析稳定性的观点,首先假设系统具有一个平衡工作点,在该平衡工作点上,当输入信号为零时,系统的输出信号亦为零。
一旦扰动信号作用于系统,系统的输出量将偏离原平衡工作点。
若取扰动信号的消失瞬间作为计时起点,则t=0时刻系统输出量增量及其各阶导数,便是研究t≥o时系统输出量增量的初始偏差。
于是,t≥o时的系统输出量增量的变化过程,可以认为是控制系统在初始扰动影响下的动态过程。
因而,根据李雅普诺夫稳定性理论,线性控制系统的稳定性可叙述如下:
若线性控制系统在初始扰动的影响下,其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点),则称系统渐近稳定,简称稳定;反之,若在初始扰动影响下,系统的动态过程随时间的推移而发散,则称系统不稳定。
2.线性系统稳定的充分必要条件
上述稳定性定义表明,线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性,而与外界条件无关。
因此,设线性系统在初始条件为零时,作用一个理想单位脉冲
(t),这时系统的输出增量为脉冲响应c(t)。
这相当于系统在扰动信号作用下,输出信号偏离原系统的输出增量为脉冲响应c(t)。
这相当于系统在扰动信号作用下,输出信号偏离原平衡工作点的问题。
若t
时,脉冲响应
即输出增量收敛于原平衡工作点,则线性系统是稳定的。
设闭环传递函数如式(3—61)所示,且设
(i=1,2,…,n)为特征方程D(s)=0的根,而且彼此不等。
那么,由于
(t)的拉氏变换为1,所以系统输出增量的拉氏变换为
C(s)=
=
式中,q+2r=n。
于是系统的脉冲响应为
c(t)=
+
t
(3-77)
系统才称为稳定系统;否则,称为不稳定系统。
由此可见,线性系统稳定的充分必要条件是:
闭环系统特征方程的所有根均具有负实部;或者说,闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。
应该指出,由于我们所研究的系统实质上都是线性化的系统,在建立系统线性化模型的过程中略去了许多次要因素,同时系统的参数又处于不断地微小变化之中,所以临界稳定现象实际上是观察不到的。
对于稳定的线性系统而言,当输入信号为有界函数时,由于响应过程中的动态分量随时间推移最终衰减至零,故系统输出必为有界函数;对于不稳定的线性系统而言,在有界输入信号作用下,系统的输出信号将随时间的推移而发散,但也不意味会无限增大,实际控制系统的输出量只能增大到一定的程度,此后或者受到机械止动装置的限制,或者使系统遭到破坏,或者其运动形态进入非线性工作状态,产生大幅度的等幅振荡。
3,劳思--赫尔维茨稳定判据
根据稳定的充分必要条件判别线性系统的稳定性,需要求出系统的全部特征根。
对于高阶系统,求根的工作量很大,因此希望使用一种间接判断系统特征根是否全部严格位于s左半平面的代替方法。
劳思和赫尔维茨分别于1877年和1895年独立提出了判断系统稳定性的代数判据,称为劳思—赫尔维茨稳定判据。
这种判据以线性系统特征方程系数为依据,其数学证明从略
(1)赫尔维茨稳定判据
设线性系统的特征方程为
D(s)=
,
(3-78)
(2)劳思稳定判据
劳思稳定判据为表格形式,见表3—3,称为劳思表。
劳思表的前两行由系统特征方程(3—78)的系数直接构成。
劳思表中的第1行,由特征方程的第1,3,5,…项系数组成;第2行,由第2,4,6,…项系数组成。
劳思表中以后各行的数值,需按表3—3所示逐行计算,凡在运算过程中出现的空位,均置以零,这种过程一直进行到第n行为止,第n+1行仅第一列有值,且正好等于特征方程最后一项系数
。
表中系数排列呈上三角形。
按照劳思稳定判据,由特征方程(3—78)所表征的线性系统稳定的充分且必要条件是:
劳思表中第一列各值为正。
如果劳思表第一列出现小于零的数值,系统就不稳定,且第一列各系数符号的改变次数,代表特征方程(3-78)的正实部根的数目。
劳思稳定判据与赫尔维茨稳定判据在实质上是相同的。
显然,劳思表中第一列各数与各顺序赫尔维茨行列式之间,存在如下关系:
,
,
,
…,
,
。
因此,在d。
>0的情况下,如果所有的顺序赫尔维茨行列式为正,则劳思表中第一列的所有元素必大于零。
值得指出,对于高阶系统特征方程,可以采用递推劳思表来判断系统的稳定性。
4,劳思稳定判据的特殊情况
当应用劳思稳定判据分析线性系统的稳定性时,有时会遇到两种特殊情况,使得劳思表中的计算无法进行到底,因此需要进行相应的数学处理,处理的原则是不影响劳思稳定判据的判别结果。
(1)劳思表中某行的第一列项为零,而其余各项不为零,或不全为零此时,计算劳思表下一行的第一个元时,将出现无穷大,使劳思稳定判据的运用失效。
例如,特征方程为
D(s)=
(2).劳斯表中出现全零行
这种情况表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根。
例如,两个大小相等但符号相反的实根和(或)一对共轭纯虚根,或者是对称于实轴的两对共轭复根。
当劳思表中出现全零行时,可用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程F(s)=0,并将辅助方程对复变量s求导,用所得导数方程的系数取代全零行的元,便可按劳思稳定判据的要求继续运算下去,直到得出完整的劳思计算表。
辅助方程的次数通常为偶数,它表明数值相同但符号相反的根数。
所有那些数值相同但符号相异的根,均可由辅助方程求得。
5.劳思稳定判据的应用
在线性控制系统中,劳思判据主要用来判断系统的稳定性。
如果系统不稳定,则这判据并不能直接指出使系统稳定的方法;如果系统稳定,则劳思判据也不能保证系统具备满意的动态性能。
换句话说,劳思判据不能表明系统特征根在s平面上相对于虚轴的离。
由高阶系统单位阶跃响应表达式(3—66)可见,若负实部特征方程式的根紧靠虚轴,由于
或
的值很小,系统动态过程将具有缓慢的非周期特性或强烈的振荡特性。
了使稳定的系统具有良好的动态响应,我们常常希望在s左半平面上系统特征根的位与虚轴之间有一定的距离。
为此,可在左半s平面上作一条s=-a的垂线,而a是系统征根位置与虚轴之间的最小给定距离,通常称为给定稳定度,然后用新变量
代原系统特征方程,得到一个以
为变量的新特征方程,对新特征方程应用劳思稳定判据,
3—6线性系统的稳态误差计算
控制系统的稳态误差,是系统控制准确度(控制精度)的一种度量,通常称为稳态性能。
在控制系统设计中,稳态误差是一项重要的技术指标。
对于一个实际的控制系统由于系统结构、输入作用的类型(控制量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或加速度:
不同,控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当,也不可能在任伺形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置。
此外,控制系统中不可避免地存在磨擦、间隙、不灵敏区、零位输出等非线性因素,都会造成附加的稳态误差。
可以说,控制系绍的稳态误差是不可避免的,控制系统设计的任务之一,是尽量减小系统的稳态误差,或者使稳态误差小于某一容许值。
显然,只有当系统稳定时,研究稳态误差才有意义;对于不稳定的系统而言,根本不存在研究稳态误差的可能性。
有时,把在阶跃函数作用下没有原性稳态误差的系统,称为无差系统;而把具有原理性稳态误差的系统,称为有差系统。
本节主要讨论线性控制系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差即原理性稳态误差的计算方法,其中包括系统类型与稳态误差的关系,同时介绍定量描述系统误差的两类系数,即静态误差系数和动态误差系数。
至于非线性因素所引起的系统稳态误差,则称为附加稳态误差,或结构性稳态误差。
1.误差与稳态误差
设控制系统结构图如图3—28所示。
当输入信号R(s)与主反馈信号B(s)不等时,比较装置的输出为
E(s)=R(s)-H(s)C(s)(3—80)
此时,系统在E(s)信号作用下产生动作,使输出量趋于希望值。
通常,称E(s)为误差信号简称误差(亦称偏差)。
误差有两种不同的定义方法:
一种是式(3—80)所描述的在系统输入端定义误差的:
法;另一种是从系统输出端来定义,它定义为系统输出量的希望值与实际值之差。
前者义的误差,在实际系统中是可以量测的,具有一定的物理意义;后者定义的误差,在系统能指标的提法中经常使用,但在实际系统中有时无法量测,因而一般只有数学意义。
上述两种定义误差的方法,存在着内在联系。
1.系统类型
由稳态误差计算通式(3—84)可见,控制系统稳态误差数值,与开环传递函数G(s)H(s)的结构和输入信号R(s)的形式密切相关。
对于一个给定的稳定系统,当输入信号形式一定时,系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数描述的系统结构。
因此,按照控制系统跟踪不同输入信