天津版届高三上学期第二次月考 数学理 Word版含答案.docx
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天津版届高三上学期第二次月考数学理Word版含答案
2016届上学期高三一轮复习
第二次月考数学理试题【天津版】
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷选择题（共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
参考公式：
·如果事件、互斥，那么
柱体的体积公式.其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数满足,则=
2.已知实数满足约束条件,则的最大值为
A．B．C．D．
3.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是,则输入的的值
可以等于A. B. C. D.
4.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．
则该四棱锥的体积等于
A.B．C．D．
5.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离
为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为
A．B．C．D．
6.数列满足，且对于任意的都有则等于A．B．C．D．
7.已知以下4个命题:
①若为真命题，则为真命题
②若则
③设，则是成立的充分不必要条件
④若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是.
其中,正确命题的个数是
A. B. C. D.
8．定义域为的函数满足，当时，
，若时，恒成立，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考
（一）
数学（理）
第Ⅱ卷非选择题（共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.
9.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，若从初中生中抽取了30人，则的值等于 .
10.已知，在二项式的展开式中，含的项的系数为 .
11.已知中,，，
，则.
12.如图,是圆的内接三角形，是圆的切线，为切点，
交于点，交圆于点，若，，
且，，则＝______.
13．在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲
线的极坐标方程为,曲线的参数方程为
（为参数）.若曲线与相交于两点，则线段的长等于 .
14.已知为的外心，若，
则的最小值为 ．
三、解答题：
本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
16．（本小题满分13分）
某银行招聘，设置了、、三组测试题供竞聘人员选择.现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加组测试，丙独自参加组测试，丁、戊两人各自独立参加组测试．若甲、乙两人各自通过组测试的概率均为；丙通过组测试的概率为；而组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.
（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.
（Ⅱ）记、两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望.
17．（本小题满分13分）
如图，三棱柱中，⊥面，
，，为的中点.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得
？
请证明你的结论.
18．（本小题满分13分）
已知椭圆的左、右顶点分别为,，右焦点为，直线是椭圆在点处的切线.设点是椭圆上异于，的动点，直线与直线的交点为，且当时，是等腰三角形.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设椭圆的长轴长等于，当点运动时，试判
断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．
19．（本小题满分14分）
设数列，，已知，，，（）．
（Ⅰ）设,求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：
对任意，为定值；
（Ⅲ）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知函数，，图象与轴异于原点的交点为，在处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）已知实数t∈R，求函数的最小值；
（Ⅲ）令，给定，对于两个大于1的正数，
存在实数满足：
，，并且使得不等式
恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题:
每小题5分，满分40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
A
A
C
B
A
二、填空题:
每小题5分，共30分.
9．100；10．；11．；12．；13．8；14．
三、解答题：
本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
15．（本小题满分13分）解：
（Ⅰ）……1分
…………2分
…………4分
∴的最小正周期……………5分
由得
∴的单调递减区间为……………7分
（Ⅱ）由得………9分
故………11分
所以………12分
因此,的最大为,最小值是2……13分
解法二:
在区间上单调递增;在区间上单调递减………11分
又
所以的最大为,最小值是2………13分
16．（本小题满分13分）
某银行招聘，设置了、、三组测试题供竞聘人员选择.现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加组测试，丙独自参加组测试，丁、戊两人各自独立参加组测试．若甲、乙两人各自通过组测试的概率均为；丙通过组测试的概率为；而组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.
（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.
（Ⅱ）记、两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望.
16.解：
（Ⅰ）设参加组测试的每个人竞聘成功为A事件，则
…………3分
故丁、戊都竞聘成功的概率等于…………5分
（Ⅱ）可取0，1，2，3，…………6分
，
，
，
，（每个结果各1分）…………10分
0
1
2
3
P
故的分布列为：
…………11分
所以…………13分
17．（本小题满分13分）如图，三棱柱
中，⊥面，，
，为的中点.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得
？
请证明你的结论.
17.（本小题满分13分）
解法一:
（Ⅰ）证明：
依题可建立如图的空间直角坐标系，………1分
则C1（0，0，0），B（0，3，2），B1（0，0，2），
C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0），………2分
设是面BDC1的一个法向量，则
即，取.…………4分
又,所以,即
∵AB1面BDC1，∴AB1//面BDC1．…………6分
（Ⅱ）易知是面ABC的一个法向量.…………7分
.…………8分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为.…………9分
（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P（2，y，0）（0≤y≤3），则，…………10分
则，即.…………11分
解之∴方程组无解.…………12分
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.…………13分
解法二:
（Ⅰ）证明：
连接B1C,与BC1相交于O，连接OD．
∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．…………1分
又D是AC的中点，∴OD//AB1．…………2分
∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1．…………4分
（Ⅱ）解，，………5分
设是面BDC1的一个法向量，则
即，取.…………6分
易知是面ABC的一个法向量.…………7分
.…………8分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为.…………9分
（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P（2，y，0）（0≤y≤3），则，…………10分
则，即.…………11分
解之∴方程组无解.…………12分
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.…………13分
18．（本小题满分13分）已知椭圆的左、右顶点分别为,，右焦点为，直线是椭圆在点处的切线.设点是椭圆上异于，的动点，直线与直线的交点为，且当时，是等腰三角形.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设椭圆的长轴长等于，当点运动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．
18．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）依题可知、，………1分
由，得，，………2分
化简得，………3分
故椭圆的离心率是………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及椭圆的长轴长等于得，
椭圆的方程为，且,
在点处的切线方程为.以为直径的圆与直线相切．……5分
证明如下：
由题意可设直线的方程为.
则点坐标为，中点的坐标为．
由得．…………………7分
设点的坐标为，则．
所以，．…………………9分
因为点坐标为，
（1）当时，点的坐标为，直线的方程为，
点的坐标为.此时以为直径的圆与直线相切…10分
（2）当时，直线的斜率.
所以直线的方程为,即．
故点到直线的距离………12分
（算法二:
或直线的方程为,
故点到直线的距离…12分）
又因为，故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．……13分
解法二:
由（Ⅰ）及椭圆的长轴长等于得，
椭圆的方程为，且,
在点处的切线方程为.以为直径的圆与直线相切．……5分
证明如下:
设点,则
（1）当时,点点的坐标为，直线的方程为，……6分
点的坐标为.此时以为直径的圆与直线相切…7分
（2）当时直线的方程为,…8分
点的坐标为,中点的坐标为,故…9分
直线的斜率为,
故直线的方程为,即,………10分
所以点到直线的距离………12分
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．………13分
19．（本小题满分14分）设数列，，已知，，，（）．（Ⅰ）设,求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：
对任意，为定值；
（Ⅲ）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．
19．（本小题满分14分）解：
（Ⅰ）所以，，
即， ……………………2分
又,故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．…………………………………………………4分
（Ⅱ）解：
，
所以，………………………………6分
而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，
即恒为定值8．……………………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，所以，…9分
所以，……………10分
所以，
由得，
因为，所以，………………11分
当为奇数时，随的增大而增大，且，
当为偶数时，随的增大而减小，且，
所以，的最大值为，的最小值为．……………13分
由，得，解得．
所以，所求实数的取值范围是．……………………………………14分
20．（本小题满分14分）已知函数，，图象与轴
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