完整版椭圆测试题doc.docx
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完整版椭圆测试题doc
椭圆测试题
一、选择题(本题共
12道小题,每小题
5分,共60分)
M:
x
2
y
2
1.已知直线x
y
3
0交椭圆
1
6
3于A,B两点,若C,D为椭圆M上的
两点,四边形
ACBD的对角线CD⊥AB,则四边形ACBD的面积的最大值为(
)
A.43
B.86
C.26
D.83
3
3
3
3
2.已知F1、F2是双曲线M:
y
2
2
x21的焦点,y
25x是双曲线M的一条渐近线,离
4
m
5
心率等于3的椭圆E与双曲线M的焦点相同,P是椭圆E与双曲线M的一个公共点,设
4
|PF1|·|PF2|=n,则(
)
A.n=12
B.n=24C.n=36
D.n12且n
24且n36
2
2
3.已知椭圆E:
x2
y
21(a
b0)的右焦点F,短轴的一个端点为
M,直线
a
b
l:
3x
4y
0交椭圆E于A,B两点,若
AF
BF
4,且点M到直线l的距离不小于
4,则椭圆的离心率
e的取值范围为(
)
5
A.(0,
3]
B.(0,3]
C.[
3,1)
D.[3,1)
2
4
2
4
1
4.已知焦点在
x轴上的椭圆的离心率为
2,且它的长轴长等于圆
C:
x2+y2-2x-15=0的
半径,则椭圆的标准方程是
(
)
A.x2
+y2
=1
B.x2
+y2
=1
4
3
16
12
C.x2
+y2=1
D.x2
+y2
=1
4
16
4
5.设椭圆的标准方程为
x2
y
2
1,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是(
)
k
3
5
k
A.4B.3C.k>3
D.36.设离心率为
1的椭圆x2
y2
1的右焦点与双曲线
x2
y2
1的右焦点重合,则椭圆
2
a2
b2
3
方程为(
)
(A)x2
y2
1
(B)x2
y2
1
(C)x2
y2
1
(D)x2
y2
1
4
3
8
6
12
16
16
12
1
7.已知椭圆
E的中心在坐标原点,离心率为
1,E的右焦点与抛物线
C:
y2
8x的焦点重
2
合,A,B是C的准线与E的两个焦点,则|AB|=(
)
A.3
B.6
C.9
D.12
x2
8.已知P是椭圆
4+y2=1
上的动点,则
P点到直线
l:
x+y-2
5=0
的距离的最小值为
(
)
10
5
10
2
A.
2
B.
2
C.
5
D.5
x2
y
2
1
9.已知A,B是椭圆E:
a2
b2
(a>b>0)的左、右顶点,
M是E上不同于A,B的
4
任意一点,若直线AM,BM的斜率之积为
9,则E的离心率为(
)
2
3
2
5
A.
3
B.
3
C.
3
D.
3
y
1x2(p0)
x2
y2
1
10.已知抛物线
2p
焦点是F,椭圆5
的右焦点是
F2
2
交
,若线段FF
抛物线于点M,且抛物线在点M处的切线与直线x
3y
0平行,则p=(
)
A.
3
B.
3
C.2
3
D.4
3
16
8
3
3
11.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若
PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则
C的离心率为(
)
A.1
3
B.23
C.
3
1
D.
31
2
2
12.已知椭圆
x2
y2
1左右焦点分别为
F1,F2,过F1的直线l交椭圆于
A,B两点,则
8
2
|AF2|
|BF2|的最大值为(
)
A.32
B.42
C.62
D.72
二、填空题(本题共
4道小题,每小题
5分,共
20分)
13.已知椭圆
x2
y2
1(ab
0)的左、右焦点为
1
2
,离心率为
3,过F2
的直线l
C:
2
2
F,F
3
a
b
交椭圆C于A,B两点.若
AF1B的周长为
43,则椭圆C的标准方程为
.
2
14.
已知椭圆x2
y2
1的离心率为
2,则实数m=
.
4
m
2
15.
设椭圆x2
y2
1ab0的上顶点为B,右顶点为A,右焦点为F,E为椭圆下半部
a2
b2
分上一点,若椭圆在
E处的切线平行于
AB,且椭圆的离心率为
2,则直线EF的斜率
2
是
.
16.
x2
y2
1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线
已知椭圆
b2
a2
l:
x2y0交椭圆于A,B两点,若|AF||BF|2,点P到直线l的距离不小于
5
5
,则椭圆离心率的取值范围是.
三、解答题(本题共4道小题,第1题15分,第2题15分,第3题15分,第4题15分,共
60分)
17.如图所示,直线
y
kxb(k
0,b
0)与椭圆x2
y
2
1交于A,B两点,记
OAB的面
4
积为S.
(1
)当k
0时,求S的最大值;
(2
)当AB
2,S
1
时,求直线
AB的方程.
x
2
y
2
1(ab0)过点(0,4),离心率为3
.
18.设椭圆C:
2
b
2
a
5
(1)求椭圆C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为4的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标.
5
3
x2
y2
1
19.设椭圆C:
2
21(ab0)的焦点为F1(3,0)、F2(3,0),且该椭圆过点
(3,).
a
b
2
(1
)求椭圆C的标准方程;
(2
)若椭圆C上的点M(x0,y0)满足MF1
MF2,求y0的值.
x2
y2
0)的离心率是
2,其左、右焦点分别为
F1,
20.已知椭圆C:
2
b
21(ab
a
2
F,短轴顶点分别为
A,B,如图所示,
ABF2的面积为1.
2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点P(1,1)且斜率为k的直线l交椭圆C于M,N两点(异于A,B点),证明:
直线BM和BN的斜率和为定值.
4
试卷答案
1.B
由题意可得,解得或
不妨设,
则
,直线的方程为
可设直线的方程为
联立,消去,得到
直线与椭圆有两个不同的交点
则
解得
设,
,
当时,取得最大值
四边形ACBD的面积的最大值为
故选
2.A
5
因为
是双曲线的渐进线,故
,所以
,双曲线方程为
,其
焦点坐标为
.又椭圆的离心率为
,故椭圆的半长轴长为
.不妨设
,则
由双曲线和椭圆的定义有
,故
,
,选A.
3.A
不妨取M
0,b
4b
4
,M到l的距离d
,b1,设左焦点F1,由椭圆的对称性
5
5
BFAF1
AFBFAFAF1
2a4,a
2,4c2
b2
1,c
3,
e
3
故选A
2
4.A
故选:
A.
5.A由题意得k-3>5-k>0,所以46.D
由题意得,双曲线的方程,可知,
又椭圆的离心率为,即,所以,
则,所以,故选D.
7.B
结合抛物线的标准方程可得椭圆中:
,
且,故:
,
由通径公式可得:
.
本题选择B选项.
8.A
6
设,由点到直线距离公式有
,最小值为.
9.D
由题意方程可知,A(-a,0),B(a,0),
设M(x0,y0),,则,整理得:
①即②联立①②
得
故选D
10.D
设点M(x,y),抛物线,F,由点三点共线
得到解得p=.
11.D
在中,
设,则,
又由椭圆定义可知
则离心率,
故选D.
12.D
分析:
先求出|AB|的最小值,再求的最大值.
详解:
由题得
所以
当AB⊥x轴时,|AB|最小,|A最大.
当AB⊥x轴时,|AB|=
所以|A最大值为
故答案为:
D
7
13.x2
y2
1
3
2
因为离心率为
,过的直线交于
两点.若
的周长为
,所以
,解得的方程为,故答案为.
14.2或8
①若焦点在
轴上,则
,即
,
∴
∴
,即.
②若焦点在
轴上,则
,即
,
∴
∴得到
,即
.
故答案为
或.
15.
2
16.
,3
4
0
2
17.
(1)由题意得,此时0b1,
将y
b代入椭圆方程得:
x2
b2
1,x
21
b2
,所以,AB
41
b2
,
4
S
1ABb
1b2b2(1b2)b2
2(1b2)b2
1
2
2
当且仅当b2
1,即b
2
(0,1)
时等号成立,所以
S的最大值为
1.
...............7分
2
2
y
kx
b
2
1
2
2
2
2
(2)由
2
得(k
)x
2kbxb
1
0(*),其中
1,
x
y2
4
4k
b
1
4
当0时,设A(x1,y1)、B(x2,y2),方程(*)两个不等根为x1、x2,则有
x1
x2
2kb,x1x2
b2
1,
k2
1
k2
1
4
4
AB
(x1
x2)2
(y1
y2)2
(x1
x2)2[1(y1
y2)2]
[1(y1
y2)2](x1x2)2
4x1x2
x1
x2
x1
x2
8
1
2
2
AB
1
2
4k
b
2
,①
.................11分
k
1
2
k
4
由AB2,S
1得,O到直线AB距离为
1,则
|b|
1,即b2
k2
1,...........13分
1
k2
代入①化简得,
k4
k2
1
0,所以,k2
1,b2
k2
1
3,经检验,满足
0,
4
2
2
又因为k
0,b
0,所以k
2,b
6,直线AB的方程为y
2
x
6
........15分
2
2
2
2
(不考虑
0或者未检验扣
1分)
18.
(1)由题意得:
b
c
3
2
b
2
c
2
,解得a
5,
4,
,又因为a
a
5
2
2
椭圆C的方程为x
y
1.
.................6分
25
16
(2)过点(3,0)且斜率为
4的直线方程为
y
4
(x
3)
,
5
5
设直线被椭圆
C所截线段的端点为
A(x1,y1)、B(x2,y2),中点为M(x1+x2,y1
y2),
2
2
2
2
2
y
4(x3)与x
y
3x
8
0,
410恒成立,
1联立消元得:
x
5
25
16
方程两个不等根为
x1、x2,x1
x2
3,y1
2
y2
4(3
3)
6,x1x2
8
2
2
5
2
5
所以,直线被椭圆
C所截线段中点坐标为
(
3,6
);
..................10
分
2
5
AB
(x1
x2)2
(y1
y2)2
(x1
x2)2[1(y1
y2)2]
[1(y1
y2)2](x1
x2)2
4x1x2
x1
x2
x1
x2
AB
1
16
32
4(
8)
41
直线被椭圆C所截线段长为
41.
...................15分
25
5
5
(解出x1、x2再求线段长也可,中点坐标也可以用点差法求解,但如果不解点而又不考虑
0扣1分,弦长公式不证明扣
1分)
2
1
)
2
3
(
19.
(1)由题意得,
2
1,且a
2
2
3
,解得
a2
b2
b