初中数学因式分解有哪些方法十字相乘法因式分解4道例题全解.docx
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初中数学因式分解有哪些方法十字相乘法因式分解4道例题全解
初中数学：
因式分解有哪些方法？
十字相乘法因式分解4道例题全解
因式分解方法步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：
“先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要相对合适。
”
分组分解法
分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：
二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a（x+y）+b（x+y）
=（a+b）（x+y）
我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x（a+b）+y（a+b）
=（a+b）（x+y）
几道例题：
1．5ax+5bx+3ay+3by
解法：
原式=5x（a+b）+3y（a+b）=（5x+3y）（a+b）
说明：
系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2．x2-x-y2-y
解法：
原式=（x2-y2）-（x+y）
=（x+y）（x-y）-（x+y）
=（x+y）（x-y-1）
利用二二分法，再利用公式法a2-b2=（a+b）（a-b），然后相合解决。
三一分法，例：
a2-b2-2bc-c2
原式=a2-（b+c）2
=（a-b-c）（a+b+c）
十字相乘法
十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。
这种方法有两种情况。
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：
二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
例1：
x2-2x-8
=（x-4）（x+2）
②kx2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=（ax+c）（bx+d）．
例2：
分解7x2-19x-6
图示如下：
a=7b=1c=2d=-3
因为 -3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，
所以，原式=（7x+2）（x-3）．
十字相乘法口诀：
分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。
例3：
6X2+7X+2
第1项二次项（6X2）拆分为：
2×3
第3项常数项
（2）拆分为：
1×2
2（X） 3（X）
1 2
对角相乘：
1×3+2×2得第2项一次项（7X）
纵向相乘，横向相加。
十字相乘法判定定理：
若有式子ax2+bx+c，若b2-4ac为完全平方数，则此式可以被十字相乘法分解。
与十字相乘法对应的还有双十字相乘法，也可以学一学。
拆添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：
bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）
=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）
=bc（c-a）+bc（a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）
=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）
=（bc+ca）（c-a）+（bc-ab）（a+b）
=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）
=（c+b）（c-a）（a+b）．
配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。
属于拆项、补项法的一种特殊情况。
也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：
x2+3x-40
=x2+3x+2.25-42.25
=（x+1.5）2-（6.5）2
=（x+8）（x-5）．
因式定理
对于多项式f（x），如果f（a）=0，那么f（x）必含有因式x-a．
例如：
f（x）=x2+5x+6，f（-2）=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。
（事实上，x2+5x+6=（x+2）（x+3）．）
注意：
1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数
2．对于多项式f（a）=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数
换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意：
换元后勿忘还元。
例如在分解（x2+x+1）（x2+x+2）-12时，可以令y=x2+x,则
原式=（y+1）（y+2）-12
=y2+3y+2-12=y2+3y-10
=（y+5）（y-2）
=（x2+x+5）（x2+x-2）
=（x2+x+5）（x+2）（x-1）．
综合除法
令多项式f（x）=0,求出其根为x1，x2，x3，……，xn，则该多项式可分解为f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）……（x-xn）．
例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，
则通过综合除法可知，该方程的根为0.5，-3，-2，1．
所以2x4+7x3-2x2-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）．
令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn，则多项式可因式分解为f（x）=f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）……（x-xn）．
与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。
主元法
例如在分解x3+2x2-5x-6时，可以令y=x3+2x2-5x-6.
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
则x3+2x2-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
特殊值法
将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则
x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7．
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，
则x3+9x2+23x+15可能等于（x+1）（x+3）（x+5），验证后的确如此。
待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：
这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
于是设x4-x3-5x2-6x-4=（x2+ax+b）（x2+cx+d）
相关公式
=x4+（a+c）x3+（ac+b+d）x2+（ad+bc）x+bd
由此可得
a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4．
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
则x4-x3-5x2-6x-4=（x2+x+1）（x2-2x-4）．
也可以参看右图。
双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f
x、y为未知数，其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例：
分解因式：
x2+5xy+6y2+8x+18y+12．
分析：
这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解：
图如下，把所有的数字交叉相连即可
x 2y 2
x 3y 6
∴原式=（x+2y+2）（x+3y+6）．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=（x+2y）（x+3y）
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。
如十字相乘图②中6y2+18y+12=（2y+2）（3y+6）
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。
④横向相加，纵向相乘。
二次多项式
（根与系数关系二次多项式因式分解）
例：
对于二次多项式aX2+bX+c（a≠0）
当△=b2-4ac≥0时，设aX2+bX+c=0的解为X1,X2
=a（X2-（X1+X2）X+X1X2）
=a（X-X1）（X-X2）.
例题
1.把下列各式分解因式
（1）12a3b2－9a2b+3ab;
（2）a（x+y）－（a－b）（x+y）;
（3）121x2－144y2;
（4）4（a－b）2－（x－y）2;
（5）（x－2）2+10（x－2）+25;
（6）a3（x+y）2－4a3c2.
2.用简便方法计算
（1）6.42－3.62;
（2）21042－1042
（3）1.42×9－2.32×36
第二章分解因式综合练习
一、选择题
1.下列各式中从左到右的变形,是因式分解的是（）
（A）（a+3）（a-3）=a2-9（B）x2+x-5=（x-2）（x+3）+1
（C）a2b+ab2=ab（a+b）（D）x2+1=x（x+）
2.下列各式的因式分解中正确的是（）
（A）-a2+ab-ac=-a（a+b-c）（B）9xyz-6x2y2=3xyz（3-2xy）
（C）3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b）（D）xy2+x2y=xy（x+y）
3.把多项式m2（a-2）+m（2-a）分解因式等于（）
（A）（a-2）（m2+m）（B）（a-2）（m2-m）（C）m（a-2）（m-1）（D）m（a-2）（m+1）
4.下列多项式能分解因式的是（）
（A）x2-y（B）x2+1（C）x2+y+y2（D）x2-4x+4
5.下列多项式中,不能用完全平方公式分解因式的是（）
（A）（B）（C）（D）
6.多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式不可以是（）
（A）4x（B）-4x（C）4x4（D）-4x4
7.下列分解因式错误的是（）
（A）15a2+5a=5a（3a+1）（B）-x2-y2=-（x2-y2）=-（x+y）（x-y）
（C）k（x+y）+x+y=（k+1）（x+y）（D）a3-2a2+a=a（a-1）2
8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）
（A）-a2+b2（B）-x2-y2（C）49x2y2-z2（D）16m4-25n2p2
9.下列多项式：
①16x5-x；②（x-1）2-4（x-1）+4；③（x+1）4-4x（x+1）+4x2；④-4x2-1+4x,分解因式后,结果含有相同因式的是（）
（A）①②（B）②④（C）③④（D）②③
10.两个连续的奇数的平方差总可以被k整除,则k等于（）
（A）4（B）8（C）4或-4（D）8的倍数
二、填空题
11.分解因式：
m3-4m=.
12.已知x+y=6,xy=4,则x2y+xy2的值为.
13.将xn-yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x-y）,则n的值为.
14.若ax2+24x+b=（mx-3）2,则a=,b=,m=.（第15题图）
15.观察图形,根据图形面积的关系,不需要连其他的线,便可以得到一个用来分解因式的公式,这个公式是.
三、（每小题6分,共24分）
16.分解因式：
（1）-4x3+16x2-26x
（2）a2（x-2a）2-a（2a-x）3
（3）56x3yz+14x2y2z－21xy2z2（4）mn（m－n）－m（n－m）
17.分解因式：
（1）4xy–（x2-4y2）
（2）-（2a-b）2+4（a-b）2
18.分解因式：
（1）-3ma3+6ma2-12ma
（2）a2（x-y）+b2（y-x）
19、分解因式
（1）；
（2）；
（3）；
20.分解因式：
（1）ax2y2+2axy+2a
（2）（x2-6x）2+18（x2-6x）+81（3）–2x2n-4xn
21．将下列各式分解因式：
（1）；
（2）；（3）；
22．分解因式
（1）；
（2）；
23.用简便方法计算：
（1）57.6×1.6+28.8×36.8-14.4×80
（2）39×37-13×34
（3）．13.7
24．试说明：
两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍.
25．如图,在一块边长为a厘米的正方形纸板四角,各剪去一个边长为b（b<）厘米的正方形,利用因式分解计算当a=13.2,b=3.4时,剩余部分的面积.
26．将下列各式分解因式
（1）
（2）；
（3）（4）
（5）
（6）
（7）（8）
（9）（10）（x2+y2）2-4x2y2
（12）．x6n+2+2x3n+2+x2（13）．9（a+1）2（a-1）2-6（a2-1）（b2-1）+（b+1）2（b-1）2
27.已知（4x-2y-1）2+=0,求4x2y-4x2y2+xy2的值.
28．已知：
a=10000,b=9999,求a2+b2－2ab－6a+6b+9的值.
29．证明58-1解被20∽30之间的两个整数整除
30.写一个多项式,再把它分解因式（要求：
多项式含有字母m和n,系数、次数不限,并能先用提取公因式法再用公式法分解）.
31.观察下列各式：
12+（1×2）2+22=9=32
22+（2×3）2+32=49=72
32+（3×4）2+42=169=132
……
你发现了什么规律?
请用含有n（n为正整数）的等式表示出来,并说明其中的道理.
32.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是,共应用了次.
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004,则需应用上述方法次,结果是.
（3）分解因式：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）.
34．若a、b、c为△ABC的三边,且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.探索△ABC的形状,并说明理由.
35．阅读下列计算过程：
99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=1002=104
1．计算：
999×999+1999=____________=_______________=_____________=_____________；
9999×9999+19999=__________=_______________=______________=_______________.
2．猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少?
写出计算过程.
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