北师大版高中数学必修五第三章测试.docx
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北师大版高中数学必修五第三章测试
高中数学学习材料
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第三章测试
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M＝{x|x2<4，x∈R}，N＝{x|x2－2x－3<0，x∈R}，则集合M∩N等于（ ）
A．{x|x<－2} B．{x|x>3}
C．{x|－1解析 M＝{x|－2所以M∩N＝{x|－1答案 C
2．不等式>0的解集为（ ）
A．{x|x＜－2，或x>3}
B．{x|x<－2，或1C．{x|－23}
D．{x|－2解析 原不等式等价于（x－1）（x＋2）（x－3）>0，由穿针引线法，可得不等式的解集为{x|－23}．
答案 C
3．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1A．－1B．－5
C．1D．5
解析 由题意可知，ax2＋bx＋1＝0有两根－1，，由韦达定理得得则a＋b＝－5.
答案 B
4．若a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是（ ）
A.C．a2|b|
解析 <0，>0.
答案 A
5．不等式A．{x|x>－}B．{x|x>，或－C．{x|－解析 由即（x2－2）（x－1）>0.得x>，或－答案 B
6．设0①log2（b－a）<0；②log2a＋log2b>－2；③log2a>1，④log2<1，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析 ①正确．
答案 A
7．不等式组表示的平面区域的面积为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
解析 不等式组表示的平面区域如图所示，A（2,3），
B（2，－1），S△＝|AB|×2＝4.
答案 B
8．已知第一象限的点（a，b）在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式＋的最小值为（ ）
A．24B．25
C．26D．27
解析 因为第一象限的点（a，b）在直线2x＋3y－1＝0上，所以有2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，所以＋＝（2a＋3b）＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25，选B.
答案 B
9．实数x，y满足若函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为（ ）
A．2B．3
C．4D.
解析 由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出不等式对应的区域，平移直线y＝－x＋z，由图像可知当直线经过点D时，直线的截距最大为4，由解得即D（2,2），所以a＝2，选A.
答案 A
10．已知f（x）＝32x－（k＋1）·3x＋2，当x∈R时f（x）恒为正数，则k的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1）B．（－∞，2－1）
C．（－1,2－1）D．（－2－1,2－1）
解析 设3x＝t（t>0），f（x）＝t2－（k＋1）t＋2，由题意可得，（k＋1）t又t＋≥2（当且仅当t＝，t＝时取等号），故k<2－1.
答案 B
二、填空题（5×5＝25分）
11．设x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为________．
解析 x，y满足的可行域为
得
当z＝3x－y过点A（2,1）时取得最大值，z＝3×2－1＝5.
答案 5
12．不等式>4的解集为________．
答案 （－∞，－3）∪（－2，－1）
13．设点（m，n）在直线x＋y＝1位于第一象限的图像上运动，则log2m＋log2n的最大值是________．
解析 ∵m＋n＝1，且m>0，n>0，
log2m＋log2n＝log2mn≤log22＝－2.
答案 －2
14．已知x∈[0,1]时，不等式（2m－1）解析 设f（x）＝x（m2－1）－（2m－1），
由题意可得得m<0.
答案 m<0
15．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值为________．
解析 由2x＋y＋6＝xy≥6＋2，令＝t.得不等式t2－2t－6≥0，得t≤－（舍）或t≥3，故xy的最小值为18.
答案 18
三、解答题（共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）设比较（x＋1）（x－3）与（x＋2）（x－2）的大小．
解 （x＋1）（x－3）－（x＋2）（x－2）
＝x2－2x－3－x2＋4＝1－2x，
当1－2x>0，即x<时，
（x＋1）（x－3）>（x＋2）（x－2）；
当1－2x＝0，即x＝时，
（x＋1）（x－3）＝（x＋2）（x－2）；
当1－2x<0，即x>时，
（x＋1）（x－3）<（x＋2）（x－2）．
17．（12分）若f（x）＝loga（a>0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）若f（x）>0，求x的取值范围．
解
（1）由题意得>0，得－1所以函数f（x）的定义域为{x|－1（2）当a>1时，由f（x）＝loga>0，
得>1，得>0，得0当00，
得0<<1，得
得－1综上得：
当a>1时，f（x）>0的解集为（0,1），当00的解集为（－1,0）．
18．（12分）已知a，b，c都是正数，求证＋＋≥a＋b＋c.
证明 ∵＋≥2＝2c，
同理＋≥2a，＋≥2b.
∴2≥2a＋2b＋2c.
即＋＋≥a＋b＋c.
当且仅当a＝b＝c时“＝”成立，c为框架周长．
19．（13分）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：
m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x，y分别为多少时用料最省？
解 设框架长为x，宽为y，面积为S，
则S＝xy＋x2＝8.∴y＝－，
c＝2x＋2y＋x＝（2＋）x＋2
＝x＋≥2＝8＋4.
当且仅当x＝，即x＝4（2－），y＝2.故当x＝8－4，y＝2时用料最省．
20．（13分）设函数f（x）＝x＋，x∈[0，＋∞）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当0解
（1）把a＝2代入f（x）＝x＋，
得f（x）＝x＋＝（x＋1）＋－1
∵x∈[0，＋∞），
∴x＋1>0，>0，∴x＋1＋≥2.
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，f（x）取最小值．
此时，f（x）min＝2－1.
（2）当0f（x）＝x＋1＋－1，若x＋1＋≥2，
则当且仅当x＋1＝时取等号，此时x＝－1<0（不合题意），
因此，上式等号取不到．设x1>x2≥0，则
f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－
＝（x1－x2）.
∵x1>x2≥0，∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1.
∴（x1＋1）（x2＋1）>1.而0∴<1，∴f（x1）－f（x2）>0.
∴f（x）在[0，＋∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝a.
21．（13分）已知函数f（x）＝（a、b为常数），且方程f（x）－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k>1，解关于x的不等式f（x）<.
解
（1）将x1＝3，x2＝4分别代入方程－x＋12＝0，得解得
∴f（x）＝（x≠2）．
（2）不等式即为<，可化为<0，即（x－2）（x－1）（x－k）>0.
①当1②当k＝2时，不等式为（x－2）2（x－1）>0，解集为（1,2）∪（2，＋∞）；
③当k>2时，解集为（1,2）∪（k，＋∞）
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