高考数学理科一轮复习讲义第1章 集合与常用逻辑用语 第1讲.docx

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高考数学理科一轮复习讲义第1章集合与常用逻辑用语第1讲

第1讲　集合的概念与运算

[考纲解读]　1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述具体问题．

2.理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．（重点）

3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．（重点、难点）

4.能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2020年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.

1．集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2．集合间的基本关系

3．集合的基本运算

4．集合的运算性质

（1）并集的性质：

A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

（2）交集的性质：

A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

（3）补集的性质：

A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A；∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）；∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

（4）若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个．

1．概念辨析

（1）若1∈{x，x2}，则x＝±1.（　　）

（2）{x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{（x，y）|y＝x2}．（　　）

（3）{x|x≥2}＝{t|t≥2}．（　　）

（4）对于任意两个集合A，B，总有（A∩B）⊆A，A⊆（A∪B）．（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2．小题热身

（1）若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝（　　）

A．{x|－2

C．{x|－1

答案　A

解析　A∩B＝{x|－2

（2）设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U（A∪B）等于（　　）

A．{1,4}B．{1,5}C．{2,5}D．{2,4}

答案　D

解析　∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴∁U（A∪B）＝{2,4}．

（3）已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.

答案　0或3

解析　∵A＝{1,3，}，B＝{1，m}，B⊆A，

∴m＝3或m＝，

∴m＝3或0或1，经检验m＝0或3.

（4）已知集合A＝，B＝{0，x2}，且A＝B，则集合A的子集为________．

答案　∅，{0}，{4}，{0,4}

解析　由题意得＝x2，y＝0，解得x＝2，

所以A＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．

题型　集合的基本概念

1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于（　　）

A.B.C．0D．0或

答案　D

解析　当a＝0时，A＝，符合题意；

当a≠0时，Δ＝（－3）2－4×a×2＝0，

解得a＝，此时A＝，符合题意．

综上知a＝0或.

2．（2018·全国卷Ⅱ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A．9B．8C．5D．4

答案　A

解析　∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，

当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，所以A中元素共有9个，故选A.

3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.

答案　0或1

解析　因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3，

解得a＝0或a＝－1或a＝1.

当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；

当a＝－1时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；

当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．

综上知a＝0或1.

1．用描述法表示集合的两个关键点

（1）搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对（或平面内的点）．

（2）看这些元素满足什么限制条件．如举例说明1，关于x的方程只有一个实根．举例说明2，x，y是整数且满足x2＋y2≤3.

2．两个易错点

（1）忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应注意检验．

（2）忽视分类讨论．如举例说明1，要分a＝0与a≠0两种情况讨论．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　A

解析　若x∈B，则－x∈A，所以x只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B＝{－3}，只有1个元素．

2．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是（　　）

A．－1∉AB．－11∈A

C．3k2－1∈AD．－34∉A

答案　C

解析　令k＝0得x＝－1，故－1∈A；

令－11＝3k－1，解得k＝－∉Z，故－11∉A；

令－34＝3k－1，解得k＝－11∈Z，故－34∈A；

对于3k2－1，因为k∈Z时，k2∈Z，

所以3k2－1∈A.所以C项正确．

题型　集合间的基本关系

1．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2018＋b2018为（　　）

A．1B．0C．－1D．±1

答案　A

解析　∵＝{a2，a＋b,0}，∴a≠0.

∴b＝0，a2＝1，又∵a≠1，∴a＝－1，∴a2018＋b2018＝1.

2．已知集合M＝，集合N＝，则（　　）

A．MNB．NM

C．M＝ND．以上都不对

答案　A

解析　∵＋＝π，k∈Z，

－＝π，k∈Z，

∴任取x∈M，有x∈N，且∈N，但∉M，

∴MN.

3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

答案　（－∞，3]

解析　因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1

②若B≠∅，则解得2≤m≤3.

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.

条件探究1　举例说明3中的集合B改为“B＝{x|m≤x≤m＋1}”，其余不变，该如何求解？

解　B＝{x|m≤x≤m＋1}≠∅，为使B⊆A，m须满足解得－2≤m≤4.

条件探究2　举例说明3中的集合A改为“A＝{x|x<－2或x>5}”，如何求解？

解　因为B⊆A，所以①当B＝∅时，即2m－1

②当B≠∅时，或

解得或即m>4.

综上可知，实数m的取值范围为（－∞，2）∪（4，＋∞）．

1．判断集合间关系的三种方法

列举法

根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．如举例说明1

结构法

从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．如举例说明2

数轴法

在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．如举例说明3

2．根据集合间的关系求参数的策略

（1）注意对集合是否为空集进行分类讨论

因为∅⊆A对任意集合A都成立．如举例说明3中2m－1

（2）借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．

（3）注意检验区间端点值，如举例说明3，若将两个集合改为A＝{x|－2

1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．B⊆AB．A＝BC．ABD．BA

答案　C

解析　由题意得A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，∴AB.

2．已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≥2B．a>2C．a<0D．a≤0

答案　A

解析　∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴为使A⊆B，a须满足a≥2.

3．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．

答案　7

解析　集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.

题型　集合的基本运算

角度1　集合的并、交、补运算

1．（2018·天津高考）设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则（A∪B）∩C＝（　　）

A．{－1,1}B．{0,1}

C．{－1,0,1}D．{2,3,4}

答案　C

解析　因为集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，所以（A∪B）∩C＝{－1,0,1}．

2．（2018·皖北协作区联考）已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝lg（x－2x2）}，则∁R（A∩B）＝（　　）

A.B．（－∞，0）∪

C.D．（－∞，0]∪

答案　D

解析　因为A＝{y|y＝}＝[0，＋∞），B＝{x|y＝lg（x－2x2）}＝，所以A∩B＝，所以∁R（A∩B）＝（－∞，0]∪.

角度2　知集合的运算结果求参数

3．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}，若（∁UA）∩B＝∅，则m＝________.

答案　1或2

解析　A＝{－2，－1}，由（∁UA）∩B＝∅，得B⊆A.

x2＋（m＋1）x＋m＝0可化为（x＋1）（x＋m）＝0，

当m＝1时，B＝{－1}，符合题意；

当m≠1时，B＝{－1，－m}，为使B⊆A成立，须有－m＝－2，即m＝2.

综上知m＝1或2.

1．求集合交集、并集或补集的步骤

2．知集合的运算结果求参数问题的两个关键点

（1）分析运算结果并进行恰当转换．

如举例说明3中，由（∁UA）∩B＝∅，知B⊆A.

（2）化简集合为求参数创造有利条件．

如举例说明3中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B＝{－1，－m}．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知全集U＝R，集合M＝{x|（x－1）（x＋3）<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分（如图）表示的集合是（　　）

A．[－1,1）

B．（－3,1]

C．（－∞，－3）∪[－1，＋∞）

D．（－3，－1）

答案　D

解析　由题意可知，M＝（－3,1），N＝[－1,1]，所以阴影部分表示的集合为M∩（∁UN）＝（－3，－1）．

2．（2018·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝（　　）

A．{x|－1

C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

答案　B

解析　解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.

3．（2019·辽宁五校模拟）已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是（　　）

A．（－2，＋∞）B．（4，＋∞）

C．（－∞，－2]D．（－∞，4]

答案　C

解析　集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是（－∞，－2]．

题型　集合的新定义问题

已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，都存在（x2，y2）∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①M＝；

②M＝{（x，y）|y＝log2x}；

③M＝{（x，y）|y＝ex－2}；

④M＝{（x，y）|y＝sinx＋1}．

其中是“垂直对点集”的序号是（　　）

A．①④B．②③C．③④D．②④

答案　C

解析　记A（x1，y1），B（x2，y2），则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于②，当A为（1,0）时，不存在B∈M满足题意．对于③④，对任意A∈M，过原点O可作直线OB⊥OA，它们都与函数y＝ex－2及y＝sinx＋1的图象相交，即③④满足题意．

与集合相关的新定义问题的解题思路

（1）紧扣“新”定义：

分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．

（2）把握“新”性质：

集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

（3）遵守“新”法则：

准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

如果集合A满足：

若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.

答案　{0,6}

解析　由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．