（AC＋BD），∴④正确。
【答案】 ④
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考点一
平面的基本质及应用
【典例1】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点，求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点。
【证明】
（1）如图，连接CD1，EF，A1B，
∵E，F分别是AB和AA1的中点，
∴EF∥A1B且EF＝
A1B。
又∵A1D1綊BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形。
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴EF与CD1确定一个平面α。
∴E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面。
（2）由
（1）知，EF∥CD1，且EF＝
CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，
∴CE与D1F必相交。
设交点为P，
则P∈CE⊂平面ABCD，
且P∈D1F⊂平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1。
又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点。
反思归纳 1.证明点或线共面问题的两种方法：
①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合。
2．证明点共线问题的两种方法：
①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上。
3．证明线共点问题的常用方法是：
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点。
【变式训练】
（1）（2016·上海闵行区调研）已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：
A，B，C，D四点不共面，命题乙：
直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（2）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点。
求证：
D1，H，O三点共线。
【解析】
（1）若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，但直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件。
（2）证明：
连接BD，B1D1，如图。
则BD∩AC＝O，
∵BB1綊DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，
B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，又H⊂平面ACD1，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1。
即D1，H，O三点共线。
【答案】
（1）A
（2）见解析
考点二
空间两条直线的位置关系……多维探究
角度一：
平行与相交的判定
【典例2】
（1）（2017·济南模拟）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．异面D．平行
（2）（2015·广东高考）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
【解析】
（1）连接D1E并延长，与AD交于点M，
因为A1E＝2ED，可得M为AD的中点，
连接BF并延长，交AD于点N，
因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，
所以M，N重合，且
＝
，
＝
，
所以
＝
，所以EF∥BD1。
故选D。
（2）由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交。
故选D。
【答案】
（1）D
（2）D
角度二：
异面直线的判定
【典例3】 在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________。
（填上所有正确答案的序号）
【解析】 图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面。
所以在图②④中，GH与MN异面。
【答案】 ②④
反思归纳 1.线线平行或垂直的判定方法
（1）对于平行直线，可利用三角形（梯形）中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断。
（2）对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直。
2．异面直线的判定方法
（1）反证法：
先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面。
（2）定理：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线。
【变式训练】
（1）（2016·福州质检）已知命题p：
a，b为异面直线，命题q：
直线a，b不相交，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
（2）（2016·浙江金丽衢联考）已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c。
①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；
②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
③若a∥b，则必有a∥c；
④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β。
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【解析】
（1）若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件。
故选A。
（2）①中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故①正确；②中平面α⊥平面β时，若b⊥c，则b⊥平面α，此时不论a，c是否垂直，均有a⊥b，故②错误；③中当a∥b时，则a∥平面β，由线面平行的性质定理可得a∥c，故③正确；④中若b∥c，则a⊥b，a⊥c时，a与平面β不一定垂直，此时平面α与平面β也不一定垂直，故④错误，所以正确命题的个数是2。
故选C。
【答案】
（1）A
（2）C
考点三
异面直线所成的角……母题发散
【典例4】 如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】 连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角。
连接A1C1，由AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝
，A1B＝BC1＝
，
故cos∠A1BC1＝
＝
。
则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
。
故选D。
【答案】 D
【母题变式】 将本典例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
”，试求：
的值。
【解析】 设
＝t，则AA1＝tAB。
∵AB＝1，∴AA1＝t，
∵A1C1＝
，A1B＝
＝BC1，
∴cos∠A1BC1＝
＝
。
∴t＝3，即
＝3。
【答案】 3
反思归纳 探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择端点、中点、等分点，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等。
这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题。
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1．下列命题正确的个数为（ ）
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合。
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确。
故选C。
答案 C
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（ ）
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾。
故选C。
答案 C
3．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是（ ）
A．相交或平行B．相交或异面
C．平行或异面D．相交、平行或异面
解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D。
答案 D
4．（2016·临沂模拟）在三棱锥S－ACB中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝
，SB＝
，则SC与AB所成角的余弦值为________。
解析 如图，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DE∥AB，在平面SBC内作EF∥SC，则异面直线SC与AB所成的角为∠FED，过F作FG⊥AB，连接DG，则△DFG为直角三角形。
由题知AC＝2，BC＝
，SB＝
，可得DE＝
，EF＝2，DF＝
。
在△DEF中，由余弦定理可得cos∠FED＝
＝
。
答案
5.（2017·泸州模拟）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值为________。
解析 由于AC∥A1C1，所以∠BA1C1（或其补角）就是所求异面直线所成的角。
在△BA1C1中，A1B＝
，A1C1＝1，BC1＝
，
cos∠BA1C1＝
＝
。
答案
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构造平面研究直线相交问题
【典例】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条。
【思路分析】
【解析】 解法一：
如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条。
解法二：
在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线。
由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交。
【答案】 无数
【温馨提示】 1.本题难度不大，但比较灵活。
对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大。
2．注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多。
【变式训练】 设l是直线，α，β是两个不同的平面，（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【解析】 解法一：
设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l。
又因为l⊥β。
所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误。
故选B。
解法二：
借助于长方体模型解决本题：
对于A，如图①，α与β可相交；
对于B，如图②，不论β在何位置，都有α⊥β；
对于C，如图③，l可与β平行或l⊂β内；
对于D，如图④，l⊥β或l⊂β或l∥β。
故选B。
【答案】 B
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