初中奥数系列轴对称与等腰三角形A级第03讲学生版.docx

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初中奥数系列轴对称与等腰三角形A级第03讲学生版

全等与几何变换

内容

基本要求

略高要求

较高要求

轴对称

了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分性质；了解物体的镜面对称

能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；

掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及相关性质。

能运用轴对称进行图案设计

旋转

了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形

能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角

能运用旋转的知识解决简单问题；

平移

了解图形平移，理解平移中对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等的性质

能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能依据平移前后的图形，指出平移的方向和距离

能运用平移的知识解决简单的计算问题；

1．几何变换作图与计算

2．全等三角形与轴对称、旋转、平移变换的综合应用

模块一全等三角形与轴对称

☞角平分线类

“角”是轴对称图形，对称轴为角平分线所在的直线。

因此在遇见与角平分线有关问题的时候，可以有下面几个基本解题思路：

①平分角；

②角平分线上点到角两边的距离相等；

③沿角平分线进行翻折。

【例1】如图，在中，，为的平分线．求证：

．

【巩固】如图，中，平分，，则．

【例2】在中，，是的平分线．是上任意一点．

求证：

．

【巩固】如图，是的外角的平分线上的点（不与重合）

求证：

【例3】如图，在中，，，是上一点，交的延长线于，且．求证：

是的角平分线．

☞垂直平分线类

垂直平分线：

“垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等”，主要是转化线段之间的关系，尤其是在轴对称有关作图中，应用更为广泛

【例4】如图，的两边、的垂直平分线分别交于、，若,则的度数是

【巩固】如图中，平分，且平分，于，于.

⑴说明的理由；

⑵如果，，求，的长.

☞构造等腰三角形类

构造等腰三角形类的主要方法有两种：

①是将直角三角形沿着某一直角边翻折；②是截取等长线段

【例5】如图，在中，，于，且，那么的度数是_______

【巩固】如图，在中，于，．求证：

．

☞构造等边三角形类

构造等边三角形类的方式主要有两种：

①直接以某一线段长为边，直接构造等边三角形；②作等腰三角形，然后利用题目给出的特殊角，如，证明此等腰三角形为等边三角形

【例6】如图，在中，，是外的一点，且，．

求证：

．

【巩固】如图，已知，且．求证：

是等腰三角形．

模块二全等三角形与旋转

☞全等三角形与旋转的性质

一般涉及到旋转有关问题时，都会用到:

旋转前后，图形对应全等，由此转化线段与角的对应关系

【例7】如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上，已知，，则的长是________

【巩固】如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在点位置，点落在点位置，若，则

【例8】如图，在上，在上，且，，则的长等于（）

A.B.C.D.

☞倍长中线类

倍长中线是我们耳熟能详的一种辅助线的作法，其实此作法最主要是通过旋转的方式，构造出一对“8”字型全等三角形，从而转化线段与角的数量关系

【例9】如图，已知为边的中点，，则（）

A．大于

B．小于

C．等于

D．与的大小关系无法确定

【巩固】在后面的学习中，我们会学习到与直角三角形斜边上有关的性质：

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用数学语言改编如下：

已知：

在中，，为斜边的中点，证明:

【例10】在《四边形》这一章中，我们会学习到中位线的概念以及性质

中位线的概念：

三角形两边中点的连线，我们称之为三角形的中位线

中位线的性质：

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

用数学语言改编如下：

如图，在中，为的中点，为的中点

证明：

，

【巩固】两个全等的含、角的三角板和三角板，如图所示放置，、、三点在一条直线上，连结，取的中点，连结、，试判断的形状，并说明理由．

☞一般等腰三角形旋转

一般等腰三角形旋转的问题主要有：

①通过对等腰三角形旋转，构造全等三角形；②通过对一般三角形旋转构造等腰三角形

【例11】如图，中，，,将绕点逆时针旋转到如图所示位置

求证：

，

【巩固】如图，是边长为1的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点分别在上，则的周长是．

☞等腰直角三角形旋转

等腰直角三角形旋转有关问题要充分考虑到：

“边相等”“角相等”，还有斜边上的中线，这条特殊的线段，尤其是涉及到斜边中点的时候，基本上都会连接这条中线

【例12】已知：

三角形中，，，为的中点．

（1）如图，分别是上的点，且，求证：

为等腰直角三角形．

（2）若分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么，是否仍为等腰直角三角形？

证明你的结论．

【巩固】如图，在中，＝，＝，为上任意一点，且⊥于，

⊥于，为的中点，试判断是什么形状的三角形，并证明你的结论．

☞等边三角形旋转

【例13】复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：

“如图①，已知中，，是内任意一点，将绕点顺时针旋转至，使，连接、，则。

”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了，从而得，之后，他将点移到等腰三角形之外，原题中其他条件不变，发现“”仍然成立，请你就图②给出证明。

【巩固】如图，已知四边形中，，，证明：

．

☞三垂直全等及三垂直的变形

【例14】在中，，，直线经过点，且于，于．

⑴当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：

；

⑵当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：

；

⑶当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：

、、有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明．

【巩固】如图，在等腰中，，为上一点，，，那么等于（）

A．B．C．D．

【巩固】如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．

（1）若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：

①如图①，若，，则；

（填“”、“”、“”）；

②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．

（2）如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

模块三全等三角形与平移

平移的基本思路是通过平移，将有关系但又不在一起的量集中起来，且对应边平行且相等

【例15】如图所示，两条长度为的线段和相交于点，且，求证：

．

【巩固】如图所示，在的边上取两点、，且．

求证：

．

1.点是四边形的边的中点，，证明：

2.如图，在中，，是外的一点，且，．

求证：

．

1．通过本堂课你学会了．

2．掌握的不太好的部分．

3．老师点评：

①．

②．

③．

1．如图，是的角平分线，，,判断的度数并说明理由。

答：

=

证明：