2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
（1）化边为角；
（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.
例1•已知在ABC中，c10,A45°,C
思路点拨：
先将已知条件表示在示意图形上（如图）然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边
解析：
QaC,
sinAsinC
csinA
10sin45
…a
o■
sinC
sin30
•••B180°
（AC）105o,
▼bc
又
sinBsinC
102,
根据正弦定理,
asinC42.9sin66.2°CsinA
sin32.0°
74.1（cm）.
【变式2】在
ABC中,
已知
B75°,C60°,
c5，求a、A.
【答案】A
180°（B
C）
180°（75°60°）
45°,
根据正弦定理
a
sin45°
o）
sin60
•••a5花
3
【变式3】在
ABC中,
已知sinA:
sinB:
sinC
1:
2:
3，求a:
b:
c
abc
【答案】根据正弦定理，得a:
b:
csinA:
sinB:
sinC1:
2:
3.
sinAsinBsinC
例2•在ABC中，b、_3,B60°,c1,求：
a和A,C.
思路点拨：
先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角
然后用三角形内角和求出角
解析：
由正弦定理得:
A，最后用正弦定理求出边a.b
sinB
csinB
•-sinC
b
sin60°
（方法一）•••0°
C180°,
•••C30°或C150°,
当C150°时，BC210°
180°,（舍去）；
（方法二）•••b
B60°,
当C30°时，A90°,.・.a
•C60°即C为锐角，•C30°，A90°
•a4b~c22•
总结升华：
1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2.在利用正弦定理求角C时，因为sinCsin（180°C），所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍
类型二：
余弦定理的应用：
例3.已知ABC中，AB3、BC37、AC4，求ABC中的最大角。
思路点拨：
首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解
解析：
•••三边中BC,37最大，•BC其所对角A最大,
根据余弦定理：
8SAABIABJ2
3242G37）2
•/0°A180°,•A120°
故ABC中的最大角是A120o.
总结升华:
1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理;
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系
举一反三：
【变式1】已知ABC中a3,b5,c7,求角C.
222222
【答案】根据余弦定理：
cosCa-—53—
2ab235
【变式2】在ABC中，角代B,C所对的三边长分别为a,b,c.
a:
b:
c.6:
2:
（31）,求ABC的各角的大小.
同理可得A60°；
•••C180°AB75°
类型三：
正、余弦定理的综合应用
例4.在ABC中，已知a23,c、6、2,B45°，求b及A.
思路点拨：
画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边余弦定理或正弦定理求角
解析:
（62）222.3（、6.2）cos450
=12（62）243（.31）
=8
•••b2,2.
⑵求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:
（法一：
余弦定理）
•A60°.
（法二：
正弦定理）
•••sinA：
sinBsin450
b2.2
又•••622.4
1.43.8,
2321.83.6
•avc，即0°v
Av900,
•A60°.
总结升华：
画出示意图,
举一反三：
数形结合,
正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.
【变式1】在ABC中,
已知b3,c4,A1350.求B和C.
【答案】由余弦定理得:
a23242234cos135°
2512「2
5
•a.25122
6.48
由正弦定理得：
sinBbsinAa
3sin135o
0.327,
因为A1350为钝角，则B为锐角，•••B1907/.
•-C180°（AB）25053/.
【变式2】在ABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a2,b2©,
c6、2，求角A和sinC
【答案】根据余弦定理可得：
■222
cosAbca
2bc
884343
2226.22
•/0°A180o，
•A30o;
•••由正弦定理得：
sinC
csinA6、sin30
其他应用题详解
-、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
解析如图,
ZABS=180-75
abBS=sin30=
sin45
答案B
3.轮船A和轮船B在中午12时离开海港120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船下午2时两船之间的距离是（）
A.35海里
32.
B.
c,两艘轮船航行方向的夹角为B的航行速度是15海里/小时,
352海里
70海里
C.353海里D.
解析设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E,F，则依题意
AB2=AC2+BC2-2ACBCcos120=2a2-2a2x—；=3a2,
•°AB=：
3a.
答案B
2•张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，
在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电
视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）
A.22kmB.32km
C.33kmD.23km
15
由条件知AB=24X60=6,在△ABS中，/BAS=30°AB=6,
BSab
°105°所以/ASB=45°•由正弦定理知siB30=sin45°所以
有CE=25X2=50,CF=15X2=30,且ZECF=120°
EF=•CE2+CF2-2CECFcos120
CBMD为正方形，CB=20m,所以
B血
B.5
d.55
5
2X50X30cos120=70.
答案D
4.（2014济南调研）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°测得塔基B的俯角为45°那么塔AB的高
度是（）
A.201+3mB.201+jm
C.20（1+；'3）mD.30m
解析如图所示，由已知可知，四边形
BM=20m.又在RtAAMD中，
DM=20m，ZADM=30°••AM=DMtan30=o2°/3（m）.••AB=AM+MB=2°/3+20=201+33（m）.
答案A
5.（2013天津卷）在厶ABC中，/ABC=亍，AB=V2BC=3，贝Usin/BAC
（）
A竝
A.10
^3、10
C.10
3你
10.
答案C
6.（2014滁州调研）线段AB外有一点C,ZABC=60°AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以则运动开始多少h后，两车的距离最小（）
A69
A.43
70
C.43
50km/h的速度由B向C行驶,
B.
D.
解析由余弦定理AC2=AB2+BC2—2ABBCcosZABC=（'2）2+32-2X[2
-2sinZABC3x2
x3x^=5,所以AC={5，再由正弦定理：
sin/BAC=—a^BC^-^5
解析如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E,则
AD=80t,BE=50t.因为AB=200,所以BD=200—80t,问题就是求DE最小时t的值.
由余弦定理，得
DE2=BD2+BE2—2BDBEcos60°
=（200—80t）2+2500t2—（200—80t）50t=12900t2—42000t+40000.
当t=70时，DE最小.
答案C
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km，现测得/
ABC=120°贝UA、C两地的距离为km.
解析如右图所示，由余弦定理可得：
AC2=100+400—2X10X20XCOS120=700，
•°AC=10.7（km）.
答案107
8.如下图，一艘船上午9:
30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:
00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8p2nmile.此船的航速是nmile/h.
解析设航速为vnmile/h
在△KBS中，AB=；v,BS=8：
2,/BSA=45°
1
8[22v
由正弦定理得：
sin30^sn45，
•'v=32（nmile/h）.
答案32
9.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C,使C在塔底B
的正东方向上，测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位
置D，测得/BDC=45°则塔AB的高是.
解析在ABCD中，CD=10,/BDC=45°ZBCD=15°+90°=105°/
在RtAABC中，tan60_器，AB_BCtan60°
_106（米）.
答案10.6
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
10.（2014台州模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度
15。
的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。
和30°第一排和最后一排的距离为1吋6米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？
解在经CD中，/BDC=45°ZCBD=30°CD=10/6,由正弦定理，得
在Rt^BC中，AB=BCsin60=20/3^誓=30（米）,所以升旗速度v="AB=50=0.6（米/秒）
11.
如图，A、B是海面上位于东西方向相距5（3+，3）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20.3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解由题意，知AB=5（3+{3）海里，/DBA=90°—60°=30°ZDAB=90°
ABsin/DAB
53+.'3sin45sin105°
—45=45°
•••zADB=180—（45+30）=105°
在QAB中，由正弦定理，得
DBAB
sin/DAB—sinZADB，
53+3sin45°
（2013江苏卷）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径•一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量，
八12“3
cosA=13，cosC=5.
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
3
5.
123
解
（1）在△ABC中，因为cosA=13,cosC=5,
54
所以sinA=13，sinC=5.
从而sinB=sin[—nA+C）]=sin（A+C）
5312463
二sinAcosC+cosAsinC=13x5+13x5二丽
ABAC■AC
由正弦疋理smc二sinB，得AB二sinBxsinC=
12604
言x4二1。
叽
65
所以索道AB的长为1040m.
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了（100+50t）m,
乙距离A处130tm,所以由余弦定理得
d2=（100+50t）2+（130t）2—2X130tx（100+50t）X瑕=200（37t2+70t+50）,
104035
因0Wt<130，即0Wt<8,故当t=37（min）时，甲、乙两游客距离最短.
BC12605
⑶由正弦定理snB，得bc=snBxsinA二怎"x500（m）-乙从B
65
出发时，甲已走了50X（2+8+1）=550（m）,还需走710m才能到达C.
设乙步行的速度为vm/min，由题意得一3<晋0—3，解得丄43°
625
速度应控制在［-4卜，14］（单位:
m/min）范围内.
sin45cos60°+cos45sin605,3.3+1
.3+1
2
又ZDBC=/DBA+ZABC=30+（90—60）=60°BC=2炳（海里）,
在QBC中，由余弦定理，得
CD*2=BD2+BC2—2BDBCcos/DBC
=300+1200-2X1^3X20/3X亍900.得CD=30（海里），
30
故需要的时间t=30=1（小时），
即救援船到达D点需要1小时.
12.
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