正弦定理和余弦定理详细讲解.docx

1、正弦定理和余弦定理详细讲解正弦定理、余弦定理及其应用1.考查正弦定理、余弦定理的推导； 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形； 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查.1.3.4.A为锐角1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用； 2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合.基础知识梳理正弦定理： 七=光=七 =2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以sin A sin B sin C变形：(1)a : b : c= sin_A : sin_B :. sin_C; (2)a = 2Rsin_A,

2、b = 2Rsin_B, c= 2Rsin_C;(3)sin A= 2R sin B= ?；, sin C= 等形式，解决不同的三角形问题.余弦定理： a= b2+ c2 2bccos A, b2= a2 + c2 2accos B, c2= a2+ b2 2abcos C. 余 、亠 、卄 b2 + c2 a2 _ a2+ c2 b2 _ a2 + b2 c2弦疋理可以变形：cos A= , cos B = , cos C = .2bc 2ac 2ab111 abc 1 宀亠 l一 、，&abc= 2absin C= gbcsin A= gacsin B = 4R = ?(a + b + c

3、) r(r 是二角形内切圆的半径 ),并 可由此计算R、r.在厶ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：图形关系式a = bs in Absin Aa bab解的个数一解两解一解一解难点正本疑点清源1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在 ABC 中，AB? ab? sin Asin B； tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC;在锐角三角 形中，cosAsinB,cosAsinC -2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.例 1 已知在 ABC

4、中，c 10, A 45, C思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上(如图) 然后用三角形内角和求出角 B，最后用正弦定理求出边解析：Q a C ,sin A sinC csin A10 sin 45ao sin Csin 30 B 180(A C) 105o, b c又 sin B sin C10 2 ,根据正弦定理,asi nC 42.9si n66.2 C sin Asin 32.074.1(cm).【变式2】在ABC 中,已知B 75, C 60 ,c 5，求 a、A.【答案】A180 (BC)180 (75 60)45,根据正弦定理asin 45o )sin 60 a 5花3【变式3

5、】在ABC 中,已知 sin A:sin B:sin C1: 2:3，求 a: b: ca b c【答案】根据正弦定理 ，得a: b :c sin A:si nB:si nC 1: 2:3 .sin A sin B sin C例 2在 ABC中，b 、_3, B 60, c 1,求：a 和 A, C .思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上 （如图），可以确定先用正弦定理求出角然后用三角形内角和求出角解析：由正弦定理得:A，最后用正弦定理求出边 a. bsin Bcsin B- sin C bsin 60（方法一） 0C 180, C 30或 C 150,当 C 150 时，B C 21018

6、0,（舍去）；（方法二） bB 60,当 C 30时，A 90,.a C 60即 C 为锐角， C 30，A 90 a 4bc2 2 总结升华：1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角 C时，因为sinC sin（180 C），所以要依据题意准确确定 角C的范围，再求出角C.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍类型二：余弦定理的应用：例3.已知 ABC中，AB 3、BC 37、AC 4，求 ABC中的最大角。思路点拨：首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解解析：三边中BC ,37最大， BC其所对角A最大,根据余弦定理：8

7、SA ABIABJ232 42 G 37)2/ 0 A 180, A 120故 ABC中的最大角是A 120o.总结升华:1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理;2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系举一反三：【变式1】已知 ABC中a 3, b 5, c 7,求角C.2 2 2 2 2 2【答案】根据余弦定理：cosC a - 5 3 2ab 235【变式2】在 ABC中，角 代B,C所对的三边长分别为 a,b,c.a: b:c .6:2:( 3 1),求 ABC的各角的大小.同理可得A 60 ； C 180 A B 75类型三：正、余弦定理的综合应用

8、例 4.在 ABC 中，已知 a 2 3 , c、6、2 , B 45，求 b 及 A.思路点拨：画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边 余弦定理或正弦定理求角解析:(6 2)2 2 2.3 (、6 . 2)cos450=12 ( 6 2)2 4 3(.3 1)=8 b 2,2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:（法一：余弦定理） A 60.（法二：正弦定理） sinA ：sinB sin450b 2.2又 6 2 2.41.4 3.8 ,2 3 2 1.8 3.6 a v c，即 0 vA v 900, A 60.总结升华：画出示意图,举一反三：数形结合,正确选用正弦、

9、余弦定理，可以使解答更快、 更好.【变式1】在ABC中,已知 b 3, c 4, A 1350.求 B 和 C .【答案】由余弦定理得:a2 32 42 2 3 4cos13525 1225 a . 25 12 26.48由正弦定理得：sin B bsin A a3si n135o0.327 ,因为A 1350为钝角，则B为锐角， B 1907/.- C 180 (A B) 25053/.【变式2】在 ABC中，已知角A, B,C所对的三边长分别为 a,b,c，若a 2 ,b 2 ,c 6 、2，求角 A 和 sin C【答案】根据余弦定理可得： 2 2 2cosA b c a2bc8 8 4

10、34 32 2 2 6 .2 2/ 0 A 180o， A 30o ;由正弦定理得： si nCcsin A 6 、 sin 30其他应用题详解-、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）解析如图,ZABS= 180 - 75ab BS= si n30 =sin45答案 B3.轮船A和轮船B在中午12时离开海港 120，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船 下午2时两船之间的距离是（ ）A. 35海里3 2.B.c,两艘轮船航行方向的夹角为 B的航行速度是15海里/小时,35 2海里70海里C. 35 3海里 D.解析设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是 E, F，则依题意AB

11、2 = AC2 + BC2-2AC BCcos120 =2a2-2a2x ； = 3a2,AB= ：3a.答案 B2张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（ ）A. 2 2 km B. 3 2 kmC. 3 3 km D. 2 3 km15由条件知 AB = 24X60= 6,在ABS中，/BAS= 30 AB = 6,BS ab 105 所以/ ASB= 45 由正弦定理知siB30 = sin45 所以有 CE = 25

12、X 2= 50, CF = 15X 2= 30,且ZECF= 120 EF= CE2+ CF2-2CE CFcos120CBMD为正方形，CB = 20 m,所以B血B. 5d.5552X 50X 30cos120 =70.答案 D4. （2014济南调研）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼 的楼顶处测得塔顶A的仰角为30测得塔基B的俯角为45那么塔AB的高度是()A. 20 1+ 3 m B. 20 1+ j mC. 20(1 + ；3) m D. 30 m解析 如图所示，由已知可知，四边形BM = 20 m.又在 RtAAMD 中，DM = 20 m，ZADM = 30

13、AM = DMtan30 =o2/3(m). AB= AM + MB = 2/3 + 20 =20 1+ 33 (m).答案 A5. (2013 天津卷)在厶ABC 中，/ ABC =亍，AB=V2 BC= 3，贝U sin/BAC()A竝A. 103、10C. 103你10 .答案 C6. （2014滁州调研）线段AB外有一点C,Z ABC= 60 AB= 200 km,汽车 以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以 则运动开始多少h后，两车的距离最小（）A 69A.4370C.4350 km/h的速度由B向C行驶,B.D.解析 由余弦定理 AC2= AB2 + BC2 2AB BC

14、cosZABC= ( 2)2 + 32-2X2-2 sinZABC 3x 2x 3x= 5,所以 AC = 5，再由正弦定理：sin/BAC=a BC-5解析 如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E,则AD = 80t, BE= 50t.因为AB = 200,所以BD = 200 80t,问题就是求 DE最小时 t的值.由余弦定理，得DE2= BD2+ BE2 2BD BEcos60 =(200 80t)2 + 2 500t2 (200 80t) 50t =12 900t2 42 000t+ 40 000.当t=70时，DE最小.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5

15、分，共15分)7.已知A, B两地的距离为10 km, B, C两地的距离为20 km，现测得/ABC= 120贝U A、C两地的距离为 km.解析 如右图所示，由余弦定理可得：AC2= 100+ 400 2X 10X 20X COS120 =700，AC= 10.7(km).答案10 78.如下图，一艘船上午9: 30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之 后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10: 00到达B处，此时又测得灯塔S在它 的北偏东75处，且与它相距8p2n mile.此船的航速是 n mile/h.解析 设航速为v n mile/h在KBS 中，AB = ；v, BS= 8 ：2

16、,/BSA= 4518 2 2v由正弦定理得：sin30sn45，v= 32(n mile/h).答案 329.如图，为测得河对岸塔 AB的高，先在河岸上选一点 C,使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得/ BDC = 45则塔AB的高是 .解析 在ABCD 中，CD = 10,/BDC = 45 ZBCD= 15+ 90= 105 /在 RtAABC 中，tan60 _器，AB_BCtan60 _ 10 6（米）.答案10.6三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）10.（2014台州模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗

17、杆正好处于坡度15。的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰 角分别为60。和30第一排和最后一排的距离为1吋6米（如图所示），旗杆底部 与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为 50秒，升旗手应以多大的速度匀速 升旗？解 在经CD中，/BDC = 45 ZCBD = 30 CD = 10/6,由正弦定理，得在 RtBC 中，AB= BCsin60 =20/3誓=30（米）,所以升旗速度 v=AB= 50= 0.6（米 / 秒）11.如图，A、B是海面上位于东西方向相距 5(3 +，3)海里的两个观测点，现位 于A点北偏东45 B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号

18、，位于 B点 南偏西60且与B点相距20 .3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度 为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解 由题意，知 AB= 5(3+3)海里，/DBA= 90 60 = 30 ZDAB= 90AB sin/DAB5 3+ .3 sin45 sin 105 45 = 45 zADB= 180 （45 + 30 ）= 105 在QAB中，由正弦定理，得DB ABsi n/DAB sin ZADB，5 3+ 3 sin45 (2013江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点 A处下山至C处有两种路 径一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B

19、沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在 甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后，再从B匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量，八 12 “3cosA= 13， cosC= 5.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控 制在什么范围内？35.12 3解 (1)在ABC 中，因为 cosA= 13, cosC = 5,5 4所以 sinA= 13，sinC = 5

20、.从而 sinB= sin nA+ C) = sin(A+ C)5 3 12 4 63二 sinAcosC + cosAsinC=13x 5+13x 5二丽AB AC AC由正弦疋理 smc二sinB，得 AB二sinBx sinC=1 260 4言x 4二1。叽65所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了 (100 + 50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2= (100+ 50t)2 + (130t)2 2X 130tx (100 + 50t)X 瑕=200(37t2 + 70t + 50),1 040 35因0W t

21、 130，即0W t 8,故当t= 37(min)时，甲、乙两游客距离最短.BC 1 260 5由正弦定理snB，得bc=snBxsinA二怎x500(m)-乙从B65出发时，甲已走了 50X (2 + 8+ 1) = 550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为 v m/min，由题意得一3晋0 3，解得丄43625 v 14，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在-4卜，14 （单位:m/mi n）范围内.sin45 cos60 + cos45 sin60 5 ,3 .3+ 1.3+ 12又ZDBC = /DBA +ZABC= 30 + （90 60 ） = 60 BC = 2炳（海里）,在QBC中，由余弦定理，得CD* 2= BD2 + BC2 2BD BC cos/DBC=300+ 1 200- 2X 13X 20/3 X 亍 900. 得 CD= 30（海里），30故需要的时间t= 30= 1（小时），即救援船到达D点需要1小时.12.