中考数学探究问题例题详解.docx
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中考数学探究问题例题详解
题四探究型问题
一、中考专题诠释
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：
条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．
二、解题策略与解法精讲
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
1.（2013•襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
（1）连结BE，CD，求证：
BE=CD；
（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．
①当旋转角为60
度时，边AD′落在AE上；
②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？
并给予证明．
思路分析：
（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）①求出∠DAE，即可得到旋转角度数；
②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．根据旋转的性质可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四边形ABDD′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的对边平行可得DP∥BC，根据等边三角形的性质求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=∠ACD′=30°，从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等．
解答：
（1）证明：
∵△ABD和△ACE都是等边三角形．
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE=CD；
（2）解：
①∵∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=180°-60°×2=60°，
∵边AD′落在AE上，
∴旋转角=∠DAE=60°；
②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．
理由如下：
由旋转可知，AB′与AD重合，
∴AB=BD=DD′=AD′，
∴四边形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′=∠DBD′=
∠ABD=
×60°=30°，DP∥BC，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC=AE，∠ACE=60°，
∵AC=2AB，
∴AE=2AD′，
∴∠PCD′=∠ACD′=
∠ACE=
×60°=30°，
又∵DP∥BC，
∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，
在△BDD′与△CPD′中，
，
∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．
故答案为：
60．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定是姐提到过．
19．（2013•衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．
（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．
19．解：
（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；
（2）设AP=x，则PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴
，
即
，
∴DM=
，
当x=2时，DM有最大值为1．
20．（2013•宁夏）在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；
（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？
20．解：
（1）如图，延长PE交CD的延长线于F，
设AP=x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A=60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE=
x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，
∴DF=
DE=4-x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S△CPE=
PE•CF，
即y=
×
x×（10-x）=-
x2+5
x，
配方得：
y=-
（x-5）2+
，
当x=5时，y有最大值
，
即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是
；
（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
过D作DM⊥CE于M，则CM=
CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°=
，
∴CM=
CD，
∴CE=
CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC=
AB，
则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=
AB．
22．（2013•德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：
PC=PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足
（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为
时，求弦ED的长．
22．
（1）证明：
连结OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG；
（2）解：
CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO•BF．理由如下：
连结OG，如图，
∵点G是BC的中点，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：
BF=BO：
BG，
∴BG2=BO•BF，
∴CG2=BO•BF；
（3）解：
连结OE，如图，
由
（2）得BG⊥BC，
∴OG=
，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG=
=2
，
由
（2）得BG2=BO•BF，
∴BF=
=4，
∴OF=1，
在Rt△OEF中，EF=
=2
，
∵AB⊥ED，
∴EF=DF，
∴DE=2EF=4
．
23．（2013•泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（-6，0），过点E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；
（1）求EF的长；
（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；
①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明
；
②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：
，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；
（3）在
（2）中，若点M（2，
），探索2PO+PM的最小值．
23．
（1）解：
解法一：
在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA=
∠COA=45°．
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E（-2，0），
∴EF=EO=2．
解法二：
∵A（-6，0），C（0，6），E（-2，0），
∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴
，即
，
∴EF=6×
=2．
（2）①画图，如答图1所示：
证明：
∵四边形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∴
；
∵EF∥AB，
∴
；
∴
．
②证明：
∵半圆与GD交于点P，
∴OP=OH．
由①得：
，
又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
∴
=
．
通过操作、观察可得，4≤BG≤12．
（3）解：
由
（2）可得：
=
，
∴2OP+PM=BG+PM．
如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形，
∴NK=BG．
∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立．
又∵NK+KM≥MN=8，
当点K在线段MN上时，等号成立．
∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8．
24．（2013•梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：
探究一：
将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．
（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．
探究二：
如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？
若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
24．解：
探究一：
（1）依题意画出图形，如答图1所示：
由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，
∴CF=BC•sin30°=3×
=
，
∴CP=CF•tan∠CFP=
×
=1．
过点A作AG⊥BC于点G，则AG=
BC=
，
∴PG=CG-CP=
-1=
．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP=
．
（2）由
（1）可知，FC=
．
如答图2所示，以点A为圆心，以FC=
长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=
．
过点A过AG⊥BC于点G，则AG=
BC=
．
在Rt△AGP1中，cos∠P1AG=
，
∴∠P1AG=30°，
∴∠P1AB=45°-30°=15°；
同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．
∴∠PAB的度数为15°或75°．
探究二：
△AMN的周长存在有最小值．
如答图3所示，连接AD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，
∴∠MDA=∠NDC．
∵在△AMD与△CND中，
，
∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM=CN．
设AM=x，则CN=x，AN=AC-CN=
BC-CN=
-x．
在Rt△AMN中，由勾股定理得：
MN=
=
．
△AMN的周长为：
AM+AN+MN=
+
，
当x=
时，有最小值，最小值为
=
．
∴△AMN周长的最小值为
．
点评：
本题是几何综合题，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．难点在于第（3）问，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．
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