高中数学选修人教A教案导学案112导数的概念.docx
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高中数学选修人教A教案导学案112导数的概念
1.1.2导数的概念
课前预习学案
预习目标：
“导数的概念”了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数（瞬
时变化率的概念
预习内容：
问题1我们把物体在某一时刻的速度称为________。
一般地，若物体的运动规律
为（tfs=，则物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到tt∆+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即
t
s
vx∆∆=→∆0lim=___________________
（105.69.42++-=ttth
问题2函数y=f（x在x=x0处的瞬时变化率是:
000
0（（lim
limxxfxxfxf
x
x∆→∆→+∆-∆=∆∆我们称它为函数（yfx=在0xx=处的______，记作'0（fx或________，即________________________
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
课内探究学案
学习目标：
了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数（瞬时变化率的
概念
学习重点：
导数概念的形成，导数内涵的理解
学习难点：
在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点学习过程：
一：
问题提出
问题：
我们把物体在某一时刻的速度称为________。
一般地，若物体的运动规律为（tfs=，则物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到tt∆+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即t
s
vx∆∆=→∆0lim
=___________________
（105.69.42++-=
ttth
函数y=f（x在x=x0处的瞬时变化率是:
000
0（（lim
limxxfxxfxf
x
x∆→∆→+∆-∆=∆∆我们称它为函数（yfx=在0xx=处的______，记作'0（fx或________，即________________________
三：
探究求导数的步骤：
（即___变化率）
四：
精讲点拨
课本例1五：
有效训练
求22+=xy在点x=1处的导数.
反思总结：
附注：
①导数即为函数y=f（x在x=x0处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同
②定义的变化形式：
（xf
'
=x
xxfxfxy
xx∆∆--=∆∆→∆→∆（（lim
（lim
0000
；（xf
'
=0
0（（lim（lim
00xxxfxfxyxxx
x--=∆∆→→；（xf'
=xxfxxfx∆--∆-→∆-（（lim000；0xxx∆=-，当0x∆→时，0xx→，所以000
（（
（lim
xfxfxfxxx∆→-'=-
③求函数（xfy=在0xx=处的导数步骤：
“一差；二比；三极限”。
当堂检测：
;
（（1（00xfxxfy-∆+=∆求增量;
（（2（00x
xfxxfxy∆-∆+=∆∆算比值时）求0.3（0
→∆∆∆=
'
=xx
y
yxx
1、已知函数（xfy=，下列说法错误的是（）A、（（00xfxxfy-∆+=∆叫函数增量B、
x
xfxxfxy∆-∆+=∆∆（（00叫函数在[xxx∆+00,]上的平均变化率C、（xf在点0x处的导数记为y'D、（xf在点0x处的导数记为（0xf'
2、求函数xy=在1=x处的导数
课后练习与提高
1、若质点A按规律2
2ts=运动，则在3=t秒的瞬时速度为（）
A、6B、18C、54D、812、设函数（xf可导，则x
fxfx∆-∆+→∆3
1（1（lim0
=（）
A、1（f'B、1（3
1
f'C、不存在D、以上都不对3、函数x
xy1
+
=在1=x处的导数是______________4、已知自由下落物体的运动方程是2
2
1gts=，（s的单位是m,t的单位是s，求：
（1）物体在0t到tt∆+0这段时间内的平均速度；
（2）物体在0t时的瞬时速度；
（3）物体在0t=2s到st1.21=这段时间内的平均速度；（4）物体在st2=时的瞬时速度。
1.1.2导数的概念
教学目标：
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：
导数的概念.教学过程：
一、创设情景（一平均变化率（二探究
探究:
计算运动员在49
65
0≤
≤t这段时间里的平均速度,（1运动员在这段时间内使静止的吗？
（2你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程:
如图是函数105.69.4（2++-=ttth的图像,
结合图形可知,0（49
65
（
hh=,所以/（0049
65
0（4965
（
mshhv=--=
虽然运动员在49
65
0≤≤t这段时间里的平均速度为/（0ms,
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
二、新课讲授1.瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？
比如,2t=时的瞬时速度是多少？
考察2t=附近的情况:
思考当t∆趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？
结论:
当t∆趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度
v都趋近于一个确定的值13.1-.
从物理的角度看,时间t∆间隔无限变小时,平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度.因此,
运动员在2t=时的瞬时速度是13.1/ms-
为了表述方便,我们用0（2（2
lim
13.1ththt
∆→+∆-=-∆
表示“当2t=,t∆趋近于0时,平均速度v趋近于定值13.1-”
小结:
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似
值过渡到瞬时速度的精确值.
2.导数的概念
从函数（xfy=在0xx=处的瞬时变化率是:
0000（（lim
limxxfxxfxf
x
x∆→∆→+∆-∆=∆∆
我们称它为函数（yfx=在0xx=出的导数,记作'0（fx或0'|xxy=
即0000
（（
（lim
xfxxfxfxx
∆→+∆-'=∆
说明:
（1导数即为函数（xfy=在0xx=处的瞬时变化率;（20xxx∆=-,当0x∆→时,0xx→,所以000
（（
（limxfxfxfxxx∆→-'=-.
三、典例分析
例1（1求函数2
3xy=在1=x处的导数.
（2求函数xxxf+-=2
（在1x=-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析:
先求（（00xfxxfyf-∆+=∆=∆,再求xy∆∆,最后求x
yx∆∆→∆0lim.
解:
（1法一定义法（略
法二222211113313（1
|lim
limlim3（1611
xxxxxxyxxx=→→→-⋅-'===+=--（2xx
xxxy∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆321（1（2200（1（12（1lim
lim（33xxyxxfxxx
∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh
时,原油的温度（单位:
C
为2
（715（08fxxxx=-+≤≤,计算第2h时和第6h时,
原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解:
在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f'（2和f'（6f（2+Dx-f（x0Df=DxDx（2+Dx2-7（2+Dx+15-（22-7´2+15==Dx-3DxDf=lim（Dx-3=-3同理可得:
f¢（6=5所以f¢（2=limDx®0DxDx®0根据导数定义在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在第2h附近,原油温度大约以3oC/h的速率下降在第6h附近,原油温度大约以5oC/h的速率上升.注:
一般地,f'（x0反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.四、课堂练习21.质点运动规律为s=t+3,求质点在t=3的瞬时速度为.2.求曲线y=f（x=x3在x=1时的导数.3.例2中,计算第3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、回顾总结1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.2.导数的概念.六、布置作业课本第10页：
2,4-6-
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