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《离散数学》同步练习参考答案
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《离散数学》练习题参考答案
第一章命题逻辑
一填空题
(1)设:
p:
派小王去开会。
q:
派小李去开会。
则命题:
“派小王或小李中的一人去开会”可符号化
为:
(pq)(pq)。
(2)设A,B都是命题公式,AB,则AB的真值是T。
(3)设:
p:
刘平聪明。
q:
刘平用功。
在命题逻辑中,命题:
“刘平不但不聪明,而且不用功”可符号化为:
pq。
(4)设A,B代表任意的命题公式,则蕴涵等值式为
ABAB。
(5)设,p:
径一事;q:
长一智。
在命题逻辑中,命题:
“不径一事,不长一智。
”可符号化为:
pq。
(6)设A,B代表任意的命题公式,则德摩根律为
(AB)⇔AB) 。
(7)设,p:
选小王当班长;q:
选小李当班长。
则命题:
“选小王或小李中的一人当班长。
”可符号化为:
(pq)(pq)。
(8)设,P:
他聪明;Q:
他用功。
在命题逻辑中,命题:
“他既聪明又用功。
”可符号化为:
PQ。
(9)对于命题公式A,B,当且仅当AB是重言式时,称“A蕴含B”,并记为AB
。
(10)设:
P:
我们划船。
Q:
我们跑步。
在命题逻辑中,命题:
“我们不能既划船又跑步。
”可符号化为:
(PQ)。
(11)设P,Q是命题公式,德·摩根律为:
(PQ)PQ)。
(12)设P:
你努力。
Q:
你失败。
在命题逻辑中,命题:
“除非你努力,否则你将失败。
”可符号化为:
PQ。
(13)设p:
小王是100米赛跑冠军。
q:
小王是400米赛跑冠军。
在命题逻辑中,命题:
“小王是100米或400米赛跑冠军。
”可符号化为:
pq。
(14)设A,C为两个命题公式,当且仅当AC为一重言式时,称C可由A逻辑地推出
。
二.判断题
1.设A,B是命题公式,则蕴涵等值式为ABAB。
()
2.命题公式pqr是析取范式。
(√)
3.陈述句“x+y>5”是命题。
()
4.110(p=1,q=1,r=0)是命题公式(((pq))r)q的成真赋值。
(√)
5.命题公式p(pq)是重言式。
()
6.设A,B都是合式公式,则ABB也是合式公式。
(√)
7.A(BC)(AB)(AC)。
()
8.陈述句“我学英语,或者我学法语”是命题。
(√)
9.命题“如果雪是黑的,那么太阳从西方出”是假命题。
()
10.“请不要随地吐痰!
”是命题。
()
11.PQPQ。
()
12.陈述句“如果天下雨,那么我在家看电视”是命题。
(√)
13.命题公式(PQ)(RT)是析取范式。
()
14.命题公式(PQ)R(PQ)是析取范式。
(√)
三、选择题:
在每小题的备选答案中只有一个正确答案,将正确答案序号填入下列叙述中的内。
1.设:
P:
天下雪。
Q:
他走路上班。
则命题“只有天下雪,他才走路上班。
”可符号化为
(2)。
(1)PQ
(2)QP
(3)QP
(4)QP
2.
(1)明年国庆节是晴天。
(2)在实数范围内,x+y〈3。
(3)请回答这个问题!
(4)明天下午有课吗?
在上面句子中,是命题的只有
(1)。
3.命题公式A与B是等值的,是指(4)。
(1)A与B有相同的命题变元
(2)AB是可满足式
(3)AB为重言式
(4)AB为重言式
4.
(1)雪是黑色的。
(2)这朵花多好看呀!
。
(3)请回答这个问题!
(4)明天下午有会吗?
在上面句子中,是命题的是
(1)。
5.设:
P:
天下大雨。
Q:
他乘公共汽车上班。
则命题“只要天下大雨,他就乘公共汽车上班。
”
可符号化为
(2)。
(1)QP
(2)PQ
(3)QP
(4)QP
6.设:
P:
你努力;Q:
你失败。
则命题“除非你努力,否则你将失败。
”
在命题逻辑中可符号化为(3)。
(1)QP
(2)PQ
(3)PQ(4)QP
7.
(1)现在开会吗?
(2)在实数范围内,x+y5。
(3)这朵花多好看呀!
(4)离散数学是计算机科学专业的一门必修课。
在上面语句中,是命题的只有(4)。
8.设:
P:
天气好。
Q:
他去郊游。
则命题“如果天气好,他就去郊游。
”
可符号化为
(1)
(1)PQ
(2)QP
(3)QP(4)QP
9.下列式子是合式公式的是
(2)。
(1)(PQ)
(2)(P(QR))
(3)(PQ)(4)QR
10.
(1)1+101=110
(2)中国人民是伟大的。
(3)全体起立!
(4)计算机机房有空位吗?
在上面句子中,是命题的是
(2)。
11.设:
P:
他聪明;Q:
他用功。
则命题“他虽聪明但不用功。
”
在命题逻辑中可符号化为(3)。
(1)PQ
(2)PQ
(3)PQ(4)PQ
12.
(1)如果天气好,那么我去散步。
(2)天气多好呀!
(3)x=3。
(4)明天下午有会吗?
在上面句子中
(1)是命题。
13.设:
P:
王强身体很好;Q:
王强成绩很好。
命题“王强身体很好,成绩也很好。
”在命题逻辑中可符号化为(4)。
(1)PQ
(2)PQ
(3)PQ(4)PQ
四、解答题
1.设命题公式为(pq)(qp)。
(1)求此命题公式的真值表;
(2)给出它的析取范式;
(1)
p
q
﹁p
﹁p→q
q→﹁p
(pq)(qp)
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
(2)(pq)(qp)
﹁(pq)∨(qp)
﹁(p∨q)∨(q∨p)
(﹁p∧﹁q)∨q∨p
2.设命题公式为(pq)(pr)。
(1)求此命题公式的真值表;
(2)给出它的析取范式;
(1)
p
q
r
p→q
pr
(pq)(pr)
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
(2)(pq)(pr)
(pq)(pr)
((pq)p)((pq)r)
((pp)(qp))((pr)(qr))
(qp)(pr)(qr)
3.设命题公式为(Q(PQ))P。
(1)求此命题公式的真值表;
(2)求此命题公式的析取范式;
(1)
P
Q
﹁Q
P→Q
﹁P
﹁Q∧(P→Q)
(﹁Q∧(P→Q))→﹁P
T
T
F
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
F
T
F
T
T
F
T
F
F
T
T
T
T
T
(2)
解:
(Q(PQ))P
(Q(﹁P∨Q))P
﹁(Q(﹁P∨Q))∨P
(﹁Q∨﹁(﹁P∨Q))∨P
Q∨(P﹁Q)∨P
4.完成下列问题
求命题公式(P∧(Q→R))→S的析取范式。
解:
(P∧(Q→R))→S
(P∧(﹁Q∨R))→S
﹁(P∧(﹁Q∨R))∨S
(﹁P∨﹁(﹁Q∨R))∨S
﹁P∨(﹁﹁Q∧﹁R)∨S
﹁P∨(Q∧﹁R)∨S
5.设命题公式为(P(PQ))Q。
(1)求此命题公式的真值表;
(2)求此命题公式的析取范式;
(1)
P
Q
P→Q
P∧(P→Q)
(P(PQ))Q
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
T
T
F
T
F
F
T
F
T
(2)
解:
(P∧(P→Q))→Q
(P∧(﹁P∨Q))→Q
﹁(P∧(﹁P∨Q))∨Q
(﹁P∨﹁(﹁P∨Q))∨Q
﹁P∨(﹁﹁P∧﹁Q)∨Q
﹁P∨(P∧﹁Q)∨Q
6.设命题公式为((PQ)P)Q。
(1)求此命题公式的真值表;
(2)给出它的析取范式;
(1)
P
Q
P∨Q
﹁P
(P∨Q)∧﹁P
((P∨Q)∧﹁P)→Q
T
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
F
T
T
T
T
T
(2)
解:
((PQ)P)Q
﹁((PQ)P)∨Q
(﹁(PQ)∨(﹁﹁P))∨Q
﹁P∨﹁Q)∨P∨Q
T
7.用直接证法证明
前提:
PQ,PR,QS
结论:
S∨R
证明:
1)P∨QP
2)﹁P→QT1)E
3)Q→SP
4)﹁P→ST2)3)I
5)﹁S→PT4)E
6)P→RP
7)﹁S→RT5)6)I
8)S∨RT7)E
8.用直接证法证明
前提:
P(QR),SQ,P,S。
结论:
R
证明:
1)P(QR)P
2)PP
3)(QR)T2)3)I
4)SQP
5)SP
6)QT4)5)I
7)RT3)6)E
第二章谓词逻辑
一填空题
(1)若个体域是含三个元素的有限域{a,b,c},则
xA(x)A(a)A(b)A(c)
(2)取全总个体域,令F(x):
x为人,G(x):
x爱看电影。
则命题“没有不爱看电影的人。
”可符号化为___(x(F(x)G(x)))____。
(3)若个体域是含三个元素的有限域{a,b,c},则
xA(x)⇔A(a)A(b)A(c)。
(4)取全总个体域,令M(x):
x是人,G(y):
y是花,H(x,y):
x喜欢y。
则命题“有些人喜欢所有的花。
”可符号化为x(M(x)(y(G(y)H(x,y))))。
(5)取个体域为全体人的集合。
令F(x):
x在广州工作,G(x):
x是广州人。
在一阶逻辑中,命题“在广州工作的人未必都是广州人。
”可符号化为_______﹁x(F(x)G(x))_____。
(6)P(x):
x是学生,Q(x):
x要参加考试。
在谓词逻辑中,命题:
“每个学生都要参加考试”可符号化为:
x(P(x)Q(x))。
(7)M(x):
x是人,B(x):
x勇敢。
则命题“有人勇敢,但不是所有的人都勇敢”谓词符号化为____x(M(x)B(x))﹁x(M(x)B(x))_______。
(8)P(x):
x是人,M(x):
x聪明。
则命题“尽管有人聪明,但不是一切人都聪明”谓词符号化为______x(P(x)M(x))﹁x(P(x)M(x))___。
(9)I(x):
x是实数,R(x):
x是正数,N(x):
x是负数。
在谓词逻辑中,命题:
“任何实数或是正的或是负的”可符号化为:
x(I(x)(R(x)N(x))。
(10)P(x):
x是学生,Q(x):
x要参加考试。
在谓词逻辑中,命题:
“每个学生都要参加考试”可符号化为:
x(P(x)Q(x))。
(11)令M(x):
x是大学生,P(y):
y是运动员,H(x,y):
x钦佩y。
则命题“有些大学生不钦佩所有运动员。
”可符号化为____x(M(x)(y(P(y)H(x,y)))___。
二.判断题
1.设A,B都是谓词公式,则xAB也是谓词公式。
(√)
2.设c是个体域中某个元素,A是谓词公式,则A(c)xA(x)。
()
3.xyA(x,y)yxA(x,y)。
(√)
4.xyA(x,y)yxA(x,y)。
()
5.取个体域为整数集,则谓词公式xy(xy=y)是假命题。
(√)
6.(x)(P(x)Q(x))(x)(P(x)Q(x))。
(√)
7.命题公式(PQR)(PQ)是析取范式。
()
8.谓词公式(x)(A(x)B(x,y))R(x)的自由变元为x,y。
(√)
9.((x)A(x)B)(x)(A(x)B)。
()
10.R(x):
“x是大学生。
”是命题。
()
三、选择题:
在每小题的备选答案中只有一个正确答案,将正确答案序号填入下列叙述中的内。
1.设F(x):
x是火车,G(x):
x是汽车,H(x,y):
x比y快。
命题“某些汽车比所有火车慢”的符号化公式是
(2)。
(1)y(G(y)x(F(x)H(x,y)))
(2)y(G(y)x(F(x)H(x,y)))
(3)xy(G(y)(F(x)H(x,y)))
(4)y(G(y)x(F(x)H(x,y)))
2.设个体域为整数集,下列真值为真的公式是(3)。
(1)yx(x–y=2)
(2)xy(x–y=2)
(3)xy(x–y=2)
(4)xy(x–y=2)
3.设F(x):
x是人,G(x):
x早晨吃面包。
命题“有些人早晨吃面包”在谓词逻辑中的符号化公式是(4)。
(1)(x)(F(x)G(x))
(2)(x)(F(x)G(x))
(3)(x)(F(x)G(x))
(4)(x)(F(x)G(x))
5.下列式子中正确的是
(1)。
(1)(x)P(x)(x)P(x)
(2)(x)P(x)(x)P(x)
(3)(x)P(x)(x)P(x)
(4)(x)P(x)(x)P(x)
6.下面谓词公式是永真式的是 b) 。
a)P(x)Q(x)
b)(x)P(x)(x)P(x)
c)P(a)(x)P(x)
d)P(a)(x)P(x)
5.设S(x):
x是运动员,J(y):
y是教练员,L(x,y):
x钦佩y。
命题“所有运动员都钦佩一些教练员”的符号化公式是c)。
a)x(S(x)y(J(y)L(x,y)))
b)xy(S(x)(J(y)L(x,y)))
c)x(S(x)y(J(y)L(x,y)))
d)yx(S(x)(J(y)L(x,y)))
6.下列式子是合式公式的是
(2)。
(1)(PQ)
(2)(P(QR))
(3)(PQ)(4)QR
7.下列式子中正确的是
(1)。
(1)(x)P(x)(x)P(x)
(2)(x)P(x)(x)P(x)
(3)(x)P(x)(x)P(x)
(4)(x)P(x)(x)P(x)
四、解答题
1.构造下面推理的证明:
前提:
xF(x)y((F(y)G(y))R(y)),
xF(x)。
结论:
xR(x)。
证明:
(1)xF(x)y((F(y)G(y))R(y))前提引入
(2)xF(x)前提引入
(3)y((F(y)G(y))R(y))
(1)
(2)假言推理
(4)F(c)
(2)EI
(5)F(c)G(c)(4)附加
(6)(F(c)G(c))R(c)(3)UI
(7)R(c)(5)(6)假言推理
(8)xR(x)(7)EG
2.在一阶逻辑中构造下面推理的证明
每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。
每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。
有的人不喜欢骑自行车。
因而有的人不喜欢步行。
令F(x):
x喜欢步行,G(x):
x喜欢坐汽车,H(x):
x喜欢骑自行车。
前提:
x(F(x)G(x)),x(G(x)H(x)),
x(H(x))
结论:
x(F(x))
证明
(1)x(H(x))前提引入
(2)H(c)
(1)EI
(3)x(G(x)H(x))前提引入
(4)G(c)H(c)(3)UI
(5)G(c)
(6)x(F(x)G(x))前提引入
(7)F(c)G(c)(6)UI
(8)F(c)
(9)x(F(x))(8)EG
3.在命题逻辑中构造下面推理的证明:
如果他是理科学生,他必须学好数学。
如果他不是文科学生,他必是理科学生。
他没学好数学,所以他是文科学生。
令F(x):
x是理科学生,G(x):
x学好数学,H(x):
x是文科学生。
前提:
x(F(x)G(x)),x(H(x)F(x)),
x(G(x))
结论:
x(H(x))
证明
(1)x(F(x)G(x))前提引入
(2)x(G(x))前提引入
(3)x(F(x))T
(1)
(2)I
(4)x(H(x)F(x))前提引入
(5)x(H(x))T(3)(4)I
4.用直接证法证明:
前提:
(∀x)(C(x)→W(x)∧R(x)),(∃x)(C(x)∧Q(x))
结论:
(∃x)(Q(x)∧R(x))。
推理:
1)(∀x)(C(x)→W(x)∧R(x))P
2)(∃x)(C(x)∧Q(x))p
3)C(a)∧Q(a)ES2)
4)C(a)→W(a)∧R(a)US1)
5)C(a)T3)I
6)W(a)∧R(a)T4)5)I
7)Q(a)T3)I
8)R(a)T6)I
9)Q(a)∧R(a)T7)8)I
10)(∃x)(Q(x)∧R(x))EG9)
第三章集合与关系
一填空题
(1)如果|A|=n,那么|A×A|= n2 。
A上的二元关系有____
_____个。
(2)集合A上关系R的自反闭包r(R)=_______RI____________。
(3)设集合A上的关系R和S,R={(1,2),(1,3),(3,2)},S={(1,3),(2,1),(3,2)},则S◦R={(1,2),(2,2),(2,3)}。
(4)如果|A|=n,那么|P(A)|= 2n 。
(5)设集合A上的关系R和S,R={<1,2>,<2,1>,<3,4>,<4,3>},S={<1,3>,<3,1>,<2,4>,<4,2>},则R◦S={<1,4>,<2,3>,<3,2>,<4,1>}。
(6)设集合E={a,b,c},E的幂集P(E)=___________________________。
(7)设R是定义在集合X上的二元关系,如果对于每个x,yX,
______________________,则称集合X上的关系R是对称的。
(8)设关系R和S为,R={<1,2>,<3,4>,<2,2>},S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>},则R◦S=__________________________。
(9)设R是定义在集合X上的二元关系,如果对于每个x,yX,
______________________,则称集合X上的关系R是自反的。
二.判断题
1.设A、B、C为任意的三个集合,则A×(B×C)=A×(B×C)。
(×)
2.设S,T是任意集合,如果ST=,则S=T。
(×)
3.集合A={1,2,3,4}上的关系{<1,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}是一个函数。
(×)
4.集合A={1,2,3,4}上的整除关系是等价关系。
(×)
5.集合A的幂集P(A)上的包含关系是偏序关系。
(√)
6.设A={a,b,c},RA×A且R={,},则R是传递的。
(√)
6.设A,B是任意集合,如果B,则A–BA。
(×)
7.集合A={1,2,3}上的关系{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}是传递的。
(√)
8.集合A={1,2,3,4}上的小于关系是等价关系。
(×)
9.关系{x1,x2N,x1+x2<6}能构成一个函数。
(×)
10.集合A上的恒等关系是偏序关系。
(√)
11.集合A={1,2,3}上的关系S={<1,1>,<1,2>,<3,2>,<3,3>}是自反的。
(×)
12.设X={1,2,3},Y={a,b,c}。
函数F={<1,a>,<2,c>,<3,b>}是双射。
(√)
13.集合A上的关系R的自反闭包r(R)=R∪IA。
(√)
14.集合A上的偏序关系R是自反的、对称的、传递的。
(×)
15.设A,B是任意集合,则AB=(A-B)∪(B-A)。
(√)
三、选择题:
在每小题的备选答案中只有一个正确答案,将正确答案序号填入下列叙述中的内。
1.设A={a,b,c},B={a,b},则下列命题不正确的是a)。
a)A-B={a,b}
b)A∩B={a,b}
c)AB={c}
d)BA
2.设A={a,b,c,d},A上的关系R={,,,},则它的对称闭包为 c) 。
a)R={,,,,,,},
b)R={,,,,},
c)R={,,,,,},
d)R={,,,,,},
3.对于集合{1,2,3,4}上的关系是偏序关系的是a)。
a)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}
b)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,1>,<2,4>,<3,1>,<3,4>,<4,4>}
c)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,4>}
d)R={<2,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<4,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}
4