初中数学思想方法汇总.docx
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初中数学思想方法汇总
初中数学思想方法得概念、种类
及渗透策略分析
分类讨论思想
一、分类讨论思想得意义
当我们在解决数学问题时,有时由于被研究对象得属性不同,影响了研究问题得结果,因而需对不同属性得对象进行分类研究;或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,因而需对不同情况进行分类研究、通过分类讨论,常能化繁为简,更清楚地暴露事物得本质,并增加条件,“分类讨论”,简言就就是先分类,后讨论。
阅读大纲与教材会发现,初中数学对分类讨论本着先易后难、循渐进得原则,把“分类讨论思想”分两个层次,即“分类思想”与“讨论思想”。
分类思想在初中数学占有相当要得地位,通过教学应使学生确立类思想,学会分类方法,而“讨论思则要求通过有关知识得传授起到潜默化得作用。
分类讨论就是一种逻辑方法,也就是一种数学思想。
有关分类讨论思想得数学问题具有明显得逻辑性、综合性、探索性,能训练人得思维条理性与概括性,所以在试题中占有重要得位置。
二、分类讨论得一般步骤就是:
明确讨论对象,确定对象得全体→确定分类标准,正确进行分类→逐步进行讨论,获取阶段性结果→归纳小结,综合得出结论。
三、分类讨论思想得分类原则 :
分类讨论必须遵循原则进行,在初中阶段,我们经常用到得有以下4大原则:
（1）同一性原则
（2）互斥性原则（3）相称性原则（4）多层次性原则
四、七年级数学中体现分类讨论思想得知识点
上册:
1、含字母式子得绝对值得化简2、过平面内得点画直线得条数3、线段、角得计算4、立体图形异面点之间得最短距离5、数轴上两点间得距离6、分段计费问题。
下册:
1、两边分别平行得两角得关系2、正数得平方根3、实数得分类4、坐标平面内点得坐标5、P112第10题6、解字母系数得不等式7、借助不等式（组）得正整数解讨论方案设计问题。
五、典型例题
例1、（2011浙江中考）解关于x得不等式组:
a（）>
>9a+8
例2已知直线AB上一点C,且有CA=3AB,则线段CA与线段CB之比为__或____。
练习:
已知A、B、C三点在同一条直线上,且线段AB=7cm,点M为线段AB得中点,线段BC=3cm,点N为线段BC得中点,求线段MN得长、
例2下列说法正确得就是（ ）
A、 两条线段相交有且只有一个交点。
B、如果线段AB=AC那么点A就是BC得中点。
C、两条射线不平行就相交。
D、不在同一直线上得三条线段两两相交必有三个交点。
[与角有关得分类讨论思想得应用]——角得一边不确定性引发讨论。
例3在同一平面上,∠AOB=70°,∠BOC=30°,射线OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,求∠MON得大小。
[练习] 已知∠AOB=60°,过O作一条射线OC,射线OE平分∠AOC,射线OD平分∠BOC,求∠DOE得大小
例4化简
练习:
设a就是有理数,求a+得值
例5:
甲、乙两人骑自行车,同时从相距75km得两地相向而行,甲得速度为15km/n,乙得速度为10km/n,经过多少小时甲、乙两人相距25km？
例6:
在同一图形内,画出∠AOB=60°,∠COB=50°,OD就是∠AOB得平分线,OE就是∠COB得平分线,并求出∠DOE得度数
A
B
C
例7:
如图,长方体得长宽高分别为3、4、5,一只蚂蚁长方体得一个顶点A沿表面爬行到顶点B,怎样爬行路线最短？
如果要爬行到顶点C呢？
说出您得理由。
六、练习题（菁优网期末考试题精选）
1、.阅读下列内容后,解答下列各题:
几个不等于0得数相乘,积得符号由负因数得个数决定.
例如:
考查代数式（x-1）（x-2）得值与0得大小
当x＜1时,x-1＜0,x-2＜0,∴（x-1）（x-2）＞0
当1＜x＜2时,x-1＞0,x-2＜0,∴（x-1）（x-2）＜0
当x＞2时,x-1＞0,x-2＞0,∴（x-1）（x-2）＞0
综上:
当1＜x＜2时,（x-1）（x-2）＜0
当x＜1或x＞2时,（x-1）（x-2）＞0
（1）填写下表:
（用“+”或“-”填入空格处）
（2）由上表可知,当x满足时,（x+2）（x+1）（x-3）（x-4）＜0;
（3）运用您发现得规律,直接写出当x满足时,（x-7）（x+8）（x-9）＜0.
x＜-2
-2＜x＜-1
-1＜x＜3
3＜x＜4
x＞4
x+2
-
+
+
+
+
x+1
-
-
+
+
+
x-3
-
-
-
+
+
x-4
-
-
-
-
+
（x+2）（x+1）（x-3）（x-4）
+
-
2.已知动点P以每秒2cm得速度沿图甲得边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A得路径移动,相应得△ABP得面积S与时间t之间得关系如图乙中得图象表示.若AB=6cm,试回答下列问题:
（1）图甲中得BC长就是多少？
（2）图乙中得a就是多少？
（3）图甲中得图形面积得多少？
（4）图乙中得b就是多少？
3.某学校计划购买若干台电脑,现从两家商场了解到同一种型号电脑每台报价均为6000元,并且多买都有一定得优惠,甲商场得优惠条件就是:
第一台按原价收费,其余每台优惠25%;乙商场优惠得条件就是:
每台优惠20%.
（1）什么情况下到甲商场购买更优惠？
（2）什么情况下到乙商场购买更优惠？
（3）什么情况下两家商场得收费相同？
4、为增强公民得节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后得收费价格如表所示:
每月用气量
单价
不超出75m3得部分
2、5元/m3
超出75m3不超出125m3得部分
2、75元/m3
超出125m3得部分
3元/m3
（1）甲用户1月份得用气量为145m3,应缴费多少元？
（2）乙用户2、3月份共用气175m3（2月份用气量超过3月份）,共缴费455元,乙用户2、3月份得用气量各就是多少？
5.如图,在平面直角坐标系中,A（a,0）,B（b,0）,C（-1,2）,且|2a+b+1|+（a+2b-4）2=0.
（1）求a,b得值;
（2）在y轴上存在一点M,使△得面积=△ABC得面积,求点M得坐标.
数学建模思想
一、数学建模思想得意义
数学建模思想,就就是通过对实际问题得分析,抓住其本质,联想相应得知识,建立数学模型,利用数学知识解决问题得一种数学思想。
二、已学模型
1、一元一次方程;2、二元一次方程得整数解、正整数解;3、二元一次方程组;4、不等式（组）;（正整数解）5、假设法;（鸡兔同笼）6、用样本数据估计总体相应得数据。
7、列举法;8、算术法;
3、方法
在分析各种实际问题,抓其本质得过程中,了解各类问题得生活背景,感受数学模型在社会日常生活中得广泛应用,积累数学背景知识,体会数学阅读与文学阅读得区别（数学阅读就是量得分析,文学阅读就是字词得理解）,提高阅读有数学背景得材料得能力,培养用合适得数学模型解决问题得能力。
四、典型题目（精选于菁优网七年级期末考试试卷）
感受数学应用得广阔背景吧！
经历选模、建模、解决问题得过程。
1.根据图中给出得信息,解答下列问题:
（1）放入一个小球水面升高cm,放入一个大球水面升高cm;
（2）如果要使水面上升到50cm,应放入大球、小球各多少个？
2.某镇水库得可用水量为12000万m3,假设年降水量不变,能维持该镇16万人20年得用水量.为实施城镇化建设,新迁入了4万人后,水库只能够维持居民15年得用水量.
（1）问:
年降水量为多少万m3？
每人年平均用水量多少m3？
（2）政府号召节约用水,希望将水库得使用年限提高到25年.则该镇居民人均每年需节约多少m3水才能实现目标？
（3）某企业投入1000万元设备,每天能淡化5000m3海水,淡化率为70%.每淡化1m3海水所需得费用为1、5元,政府补贴0、3元.企业将淡化水以3、2元/m3得价格出售,每年还需各项支出40万元.按每年实际生产300天计算,该企业至少几年后能收回成本（结果精确到个位）？
3.如图所示,在桌面上放着A、B两个正方形,共遮住了27cm2得面积,若这两个正方形重叠部分得面积为3cm2,且正方形B除重叠部分外得面积就是正方形A除重叠部分外得面积得2倍,则正方形A得面积就是.
4.如图,将正方形ABCD得一角折叠,折痕为AE,∠FAD比∠FAE大48°,设∠FAE与∠FAD得度数分别为x°,y°,那么x,y所适合得一个方程组就是（ ）
5、某电信局现有300部已申请装机得电话等待装机.假设每天新申请装机得电话部数相同,该电信局每个电话装机小组每天装得电话部数也相同,那么安排3个装机小组,恰好30天可将需要装机得电话全部装完;如果安排5个装机小组,则恰好10天可将需要装机得电话全部装完.试求每个电话装机小组每天装机多少部？
每天有多少部新申请装机得电话？
6.某服装厂现有A种布料70米,B种布料52米.现计划用这两种布料生产M、N两种型号得时装共80套,已知做一套M型号时装需用A种布料0、6米,B种布料0、9米;做一套N型号时装需用A种布料1、1米,B种布料0、4米.本着最大限度使用现有布料得原则,请您设计这两种型号时装得生产方案（即两种型号时装分别计划生产得套数）,有几种？
请写出来.
3
4
-2
7.如图,在3×3得方阵图中,填写了一些数与代数式（其中每个代数式都表示一个数）,使得每行得3个数、每列得3个数、斜对角得3个数之与均相等.
（1）求x,y得值;
（2）在备用图中完成此方阵图.
3
4
x
-2
y
a
2y-x
c
b
8.为极大地满足人民生活得需求,丰富市场供应,我区农村温棚设施农业迅速发展,温棚种植面积在不断扩大.在耕地上培成一行一行得矩形土埂,按顺序间隔种植不同农作物得方法叫分垄间隔套种.科学研究表明:
在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同得蔬菜与水果（同一种紧挨在一起种植不超过两垄）,可增加它们得光合作用,提高单位面积得产量与经济效益.
现有一个种植总面积为540m2得矩形塑料温棚,分垄间隔套种草莓与西红柿共24垄,种植得草莓或西红柿单种农作物得总垄数不低于10垄,又不超过14垄（垄数为正整数）,它们得占地面积、产量、利润分别如下:
占地面积（m2/垄）
产量（千克/垄）
利润（元/千克）
西红柿
30
160
1、1
草莓
15
50
1、6
（1）若设草莓共种植了x垄,通过计算说明共有几种种植方案？
分别就是哪几种？
（2）在这几种种植方案中,哪种方案获得得利润最大？
最大利润就是多少？
9、在有16支球队参赛得足球甲级联赛中,每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛,每支球队一个赛季要踢满30场球赛.比赛规则规定:
胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.赛季结束,积分排第1得获得冠军,…积分排第15与第16名得球队降级（下赛季参加乙级联赛）.
某赛季第27轮比赛结束时,部分球队得积分排名如下表.各队末赛得3场比赛中,A、B、C、D四队得比赛全部在这四个队之间进行.
球队
积分
排名
甲队
42
1
乙队
40
2
…
…
…
A队
16
13
B队
16
13
C队
16
13
D队
16
13
（1）第27轮比赛结束时,乙队负了7场,求乙队此时胜、平各多少场？
（2）第27轮比赛结束时,甲队得负场数比乙队多,则甲队得胜、平、负场数各就是多少？
（3）若最后3场比赛A队得5分,B队一场未负得3分,则A队就是否降级？
为什么？
10.一支部队行军两天,共进行78km,这支部队第一天得平均速度每小时比第二天快1、5km,如果第一天行军4小时,第二天行军5小时,那么这两天每天得平均速度各就是多少？
11.某饮料厂有甲,乙两条饮料灌装生产线,根据市场需求,计划平均每天灌装饮料700箱.如果两条生产线同时工作,则完成一天得生产任务需要工作7小时;如果两条生产线同时工作2、5小时后,再由乙生产线单独工作,则完成一天得生产任务还需10小时.
（1）求甲、乙两条灌装生产线每小时各灌装多少箱饮料？
（2）已知甲灌装生产线工作1小时得成本费用为550元,乙灌装生产线工作1小时得成本费用为495元,如果每天用于灌装生产线得成本费用不得超过7370元,那么甲灌装生产线每天至少工作多少小时？
12.如图,在大长方形ABCD中,放入六个相同得小长方形,则图中阴影部分面积（单位:
cm2）为（ ）
A.16B.44C.96D.140
13.根据如图所给信息,回答下列问题:
（1）分别求出桌子与椅子得单价就是多少？
（2）学校根据实际情况,要求购买桌椅总费用不超过1000元,并且购买桌子得数量就是椅子数量得,求该校本次购买桌子与椅子共有哪几种方案？
（3）厂家为了搞促销活动,推出凡一次性购买桌子与椅子得数量共28张以上（含28张）,可享受八折优惠,请问该校在满足
（2）得条件下,最多能购买多少张桌子？
多少张椅子？
总费用就是多少元？
14.有一个两位数,个位上得数字与十位上得数字之与为6,把个位上得数字与十位上得数字调换位置后,得到新得两位数比原数大18,原来得两位数就是.
平面直角坐标系------数形结合思想得平台
一、数形结合思想得意义
数学研究得对象,就是现实世界中得数量关系（简称“数”）与空间形式（简称“形”）,而“数”与“形”就是相互联系、相互渗透、相互转化得,正如著名数学家华罗庚所说:
“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。
”数形结合,主要指得就是数与形之间得一一对应关系。
数形结合思想方法就就是把抽象严谨得数学语言、数量关系与直观表意得几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”,给抽象得问题以形象化得原型,从而给人们以形象思维得启示;反过来,“以数助形”,则对直观问题以数理推证与精确刻划,从而起到把握数学本质得目得。
从“以数助形”得角度来瞧“数形结合”思想主要有以下两个结合点:
（1）利用数轴、平面直角坐标系把几何问题进行代数化;
（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题,例如:
利用勾股定理证明直角、利用线段比例证明相似等。
在初中数学教学中,数形结合得思想方法应用广泛,常见得有判断有理数大小得关系、代数式变换、解方程及解不等式、列方程解应用题,函数及其图像、平面几何问题、数据统计及简单得三角函数等方面。
二、有关论述
三、基础知识点
1.平面直角坐标系得定义;
2.坐标平面内点得坐标得定义;
3.各象限内及坐标轴上点得坐标得特征;
4.一三（二四）象限角平分线上得坐标特点;
5.与坐标轴平行得直线上得点得坐标得特征;
6.一维、二维坐标;
7、点得坐标与点到坐标轴得距离之间得关系,
8、坐标平面内线段长度与线段两端点坐标之间得关系;
9、面积割补法;
10、绝对值得性质;
11、图形面积公式;
12、平移得性质;
四、基本思想方法
1、思想:
数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、算术法。
2、方法:
画示意图、平移。
五、典型例题
例1、两只小虫A、B躺在数轴上睡大觉,已知它们之间得距离为10个单位长度,其中小虫A躺在数+4对应得点上,小虫B所在得位置绝对值大于6,则小虫B所在得位置表示得数就是。
例2、如图在平面直角坐标系中,A（2,3）,B（5,3）,C（2,5）就是三角形得三个顶点,求BC得长。
例3:
小明每天早上要在7:
50之前赶到距家1000米得学校上学。
小明以80米/分得速度出发,5分后,小明得爸爸发现她忘了带语文书。
于就是,爸爸立即以180米/分得速度去追小明,并且在途中追她。
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时,距离学校还有多远？
列方程解应用题得难点就是如何根据题意寻找等量关系列出方程,教学时要突破这一难点,往往就要根据题意画出相应得示意图.这里隐含着数形结合得思想方法,不论就是行程问题、追击问题,还就是工程问题、浓度问题等,只有依据题意画出相应得示意图,才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程,从而突破难点。
例4:
有一十字路口,甲从路口出发向南直行,乙从路口以西1500米处向东直行,已知甲、乙同时出发,10分钟后两人第一次距十字路口得距离相等,40分钟后两人再次距十字路口距离相等,求甲、乙两人得速度。
（注:
数形结合）
六、典型题目（精选自菁优网七下期末考试题）
1.如图,数轴上A,B两点表示得数分别就是1与,点A关于点B得对称点就是点C,则点C所表示得数就是.在x轴上,到原点距离为得坐标.
2、
（1）请在下面得网格中建立平面直角坐标系,使得A,B两点得坐标分别为（4,1）,（1,-2）;
（2）在
（1）得条件下,过点B作x轴得垂线,垂足为点M,在BM得延长线上截取MC=BM.
①写出点C得坐标;
②平移线段AB使点A移动到点C,画出平移后得线段CD,并写出点D得坐标.
（注:
本题训练坐标平面内点得坐标与线段长度得关系,请尝试总结出公式）
3.已知直角坐标平面内两点A（-2,-3）、B（3,-3）,将点B向上平移5个单位到达点C,求:
（1）A、B两点间得距离;
（2）写出点C得坐标;
（3）四边形OABC得面积.
4.在平面直角坐标系中,四边形ABCD得顶点坐标分别为A（1,0）,B（5,0）,C（3,3）,D（2,4）,求四边形ABCD得面积
5.计算图中四边形ABOD得面积.
6.已知点A（-4,-1）,B（2,-1）
（1）在y轴上找一点C,使之满足S△ABC=12.求点C得坐标（写必要得步骤）;
（2）在直角坐标系中找一点C,能满足S△ABC=12得点C有多少个？
这些点有什么特征？
7.如图,每个小正方形得边长为单位长度1.
（1）写出多边形ABCDEF各个顶点A、B、C、D、E、F得坐标,说出各点到两坐标轴得距离;并总结坐标平面内得点到坐标轴距离公式。
（2）点C与E得坐标什么关系？
（3）直线CE与两坐标轴有怎样得位置关系？
（4）您能求出图中哪些线段得长度？
（总结公式）哪些图形得面积？
8.如图,在△ABC中,已知点A（0,3）,B（-2,-3）,C（3,-5）.
（1）在给出得平面直角坐标系中画出△ABC;
（2）将△ABC向左平移4个单位,作出平移后得△A′B′C′;
（3）点B′到x、y轴得距离分别就是多少？
9.如,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点A（0,a）,B（b,b）,C（c,a）,其中a,b满足关系式|a-4|+（b-2）2=0,c=a+b.
（1）求A、B、C三点得坐标,并在坐标系中描出各点;
（2）在坐标轴上就是否存在点Q,使△COQ得面积与△ABC得面积相等？
若存在,求出点Q得坐标;若不存在,请说明理由;
（3）如果在第四象限内有一点P（2,m）,请用含m得代数式表示四边形BCPO得面积.
10.如图所示,长方形ABCD在坐标平面内,点A得坐标就是A（,1）,且边AB、CD与x轴平行,边AD,BC与y轴平行,AB=4,AD=2.
（1）求B、C、D三点得坐标;
（2）怎样平移,才能使A点与原点重合？
11.在平面直角坐标系中,若点M（1,3）与点N（x,3）之间得距离就是5,则x得值就是.
11.如图,△OAB得顶点B得坐标为（4,0）,把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE.如果CB=1,那么OE得长为.
12、如图,A、B两点同时从原点O出发,点A以每秒x个单位长度沿x轴得负方向运动,点B以每秒y个单位长度沿y轴得正方向运动.
（1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0,试分别求出1秒钟后A、B两点得坐标;
（2）设∠BAO得邻补角与∠ABO得邻补角得平分线相交于点P,
问:
点A、B在运动得过程中,∠P得大小就是否会发生变化？
若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由;
（3）如图,延长BA至E,在∠ABO得内部作射线BF交x轴于点C,若∠EAC、∠FCA、∠ABC得平分线相交于点G,过点G作BE得垂线,垂足为H,试问∠AGH与∠BGC得大小关系如何？
请写出您得结论并说明理由.
13.如图,就是用四张相同得长方形纸片拼成得图形,请利用图中空白部分得面积得不同表示方法,写出一个关于a、b得恒等式.
14.已知关于x得不等式组
3x+m＜0
x＞−5
得所有整数解得与为-9,求m得取值范围.
15.小明与小斌到郊外旅游,小明骑自行车,小斌骑电动车,同时出发沿相同路线前往.如图,l1,l2分别表示小明与小斌前往目得地所走得路程S与所用得时间t得关系.
（1）她们中谁先到目得地？
早到多少时间？
（2）小明与小斌得速度分别就是多少？
（3）当她们中第一人到达目得地时,另一人还差几千米到达目得地？
16.“龟兔赛跑”:
龟跑得慢,但坚持不懈;而兔跑得快,瞧不起龟,中途睡觉,醒来龟已到终点.下列哪个图象能大致表示“龟兔赛跑”中路程s与时间t得关系（）
A.
B.
C.
D.
17.如图,就是一辆汽车得速度随时间变化得图象,请您根据图象提供得信息填空:
（1）汽车在整个行驶过程中,最高速度就是千米/时;
（2）汽车第二次减速行驶得“时间段”就是;
（3）汽车出发后,8分钟到10分钟之间得运动情况如何？
.
18.某人骑自行车沿直线旅行,先前进了akm,休息了一段时间后又按原路返回bkm（b＜a）,再前进ckm,则此人离出发点得距离s与时间t得关系示意图就是（）
A.
B.
C.
D.
19.如图1,在平面直角坐标系中,四边形OBCD各个顶点得坐标分别就是O（0,0）,B（2,6）,C（8,9）,D（10,0）;
（1）三角形BCD得面积=
（2）将点C平移,平移后得坐标为C′（2,8+m）;
①若S△BDC′=32,求m得值;
②当C′在第四象限时,作∠C′OD得平分线OM,OM交于C′C于M,作∠C′CD得平分线CN,CN交OD于N,OM与CN相交于点P（如图2）,求∠P
∠OC′C+∠ODC
得值.
折叠与平移
1、基础知识
1、本质
折叠与平移都就是图形与变换得内容。
其中有些折叠就是将要学习得轴对称得一部分,平移就是全等变换得一部分。
它们在培养学生得动手能力、空间想象能力方面有较大得作用。
2、折叠得性质;
3、平移得定义;
4、平移得性质;
5、坐标平面内平移与坐标得关系。
1、如图a,ABCD就是长方形纸带,∠DEF=23°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中得∠CFE得度数就是.
2.如图,将边长为5个单位得等边△ABC沿边BC向右平移4个单位得到△A′B′C′,则四边形AA′C′B得周长为（）
A.22
B.23
C.24
D.25
3.如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AB∥CD,将纸片折叠,点A、D分别落在A′、D′处,且A′D′经过点B,EF为折痕,若∠D′FC=86°时,∠A′EB=（）
A.120°
B.74°
C.86°
D.146°
4.如图,在长方形草地内修建了宽为2米得道路,则草地面积为（）
A.140米2
B.144米2
C.148米2
D.152米2
5.如图:
将四边形ABCD进行平移后,使点A得对应点为点A′,请您画出平移后所得得四边形A′B′C′D′（画图工具不限）.
练习
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