高一上学期竞赛数学试题含答案.docx
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高一上学期竞赛数学试题含答案
2021年高一上学期竞赛数学试题含答案
注意事项：
1．本试题由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的班级、姓名、学号书写在答题纸上规定的地方．
3．所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卷相应位置上）
1．如果全集，，，那么（）等
于▲．
2．函数的定义域是▲．
3.方程的根，，则▲
4．函数y=，xR的最小正周期为▲
5．已知幂函数在上为减函数，则实数▲．
6．若，则的取值范围是▲
7．函数（常数）是偶函数，则的值是▲
8.已知集合，集合，若，则的取值集合为▲
9．若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则满足的的取值范围是▲．
10．已知sin（θ＋kπ）＝－2cos（θ＋kπ），k∈Z.则
＝________.
11．已知函数（）的图像恒过定点A，若点A也在函数的图像上，则=▲
12.把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是_____▲______.
13．函数,（其中）的图象的一条对称轴是，一个最高点的纵坐标是，要使该函数的解析式为，还应给出一个条件是▲（只要写出你认为正确的一个条件即可）．
14.阅读下列一段材料，然后解答问题:
对于任意实数，符号表示“不超过的最大
整数”，在数轴上，当是整数，就是,当不是整数时，是点左侧的第一个
整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数.如,,
则
的值为▲
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的区域内）
15．（本题满分14分）设
，．
（1）求的值及集合、；
（2）设全集，求的所有子集．
16．（本题满分14分）
（1）已知，且是第二象限的角,求和;
（2）已知cos（－）=，求sin（）的值.
17．（本题满分14分）已知函数，
（1）当时，求的最大值和最小值
（2）若在上是单调函数，且，求的取值范围
18．（本题满分16分）已知指数函数满足：
g
（2）=4，定义域为，
函数是奇函数．
（1）确定的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.（本题满分16分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，
但实际出厂单价不低于51元
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？
如果订购1000个利润又是多少元？
（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
20.（本题满分16分）记函数f（x）的定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图象上的不动点。
（1）若函数的图象上有两个关于原点对称的不动点，求应满足的条件；
（2）下述结论“若定义在Ｒ上的奇函数f（x）的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？
若正确，请给予证明，并举出一例；若不正确，请举出一反例说明。
金湖二中高一年级数学竞赛参考答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在下面的横线上．）
1．2．3．14．
5．6．7．8．
9．10．1011．
12．13．（或者其它答案）14．3
二、解答题：
（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15．（本大题共14分）
解：
（1），
，求得
…………………………7分
（2），
的所有子集是：
…………………………14分
16．（本大题共14分）
解：
（1）由，得，又
解得或
是第二象限的角,则…………………………7分
（2）sin（）=
==
==…………………………14分
17．（本大题共14分）
解：
（1）当时，………………………2分
在上单调递减，在上单调递增……………………6分
∴当时，函数有最小值
当时，函数有最大值…………………………………………8分
（2）要使在上是单调增函数，则－sin≤－……11分
即sin≥又解得：
………………………14分
18．（本大题共16分）
解：
（1）y=g（x）=2x；…………………………4分
（2）由
（1）知：
，
因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即，
∴，
又由f
（1）=-f（-1）知，，
∴m=2，n=1。
…………………………10分
（3）由
（2）知，，
易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
又因f（x）是奇函数，
从而不等式：
等价于，
因f（x）为减函数，由上式推得：
，
即对一切t∈R有：
，
从而判别式，得
∴实数k的取值范围是（-∞，）。
…………………………16分
19．（本大题共16分）
解：
（1）设每个零件的实际出厂单价恰好降为51时，一次订购量为个。
则＝100＋＝550…………………………4分
（2）当时，P＝60；
当100＜x＜550时，P＝60－0.002（x－100）＝62－；
当时，P＝51.
…………………………9分
（3）设销售商一次订购量为x时，工厂获得的利润L元。
则L＝（P－40）x＝…………………………13分
当x=500时，L=600；当x=1000时，L=1100.…………………………15分
答：
…………………………16分
20．（本大题共16分）
解：
（1）由，…………………………………………2分
整理得（*）……………………………………4分
由题意知方程（*）有两个互为相反数的根，所以即………6分
，，……………………………………………………8分
故应满足且……………………………………………………10分
（2）结论正确。
……………………………………………………12分
证明：
为奇函数，，取，得，即（0,0）为函数的一个不动点，设函数除0以外还有不动点，则
又，故也为函数的不动点。
…………………………14分
综上，若定义在R上的奇函数图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个。
例如：
。
……………………………………………………………………16分245996017怗200494E51乑405049E38鸸u392499951饑2094251CE凎"J2630066BC暼X284486F20漠
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