高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题08 函数的零点.docx

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高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题08函数的零点

专题08函数的零点

【标题01】对零点这个概念没有理解清楚

【习题01】函数的零点是　　　　（　　）

A．　　B．　　C．，　　D．

【经典错解】解方程得或，所以函数的零点是，,故选.

【详细正解】由得，＝１和２，故选．

【习题01针对训练】已知函数则函数的零点为（）

A．和1B．和0C．D．

【标题02】误认为时函数在区间至少有一个零点

【习题02】已知函数，且，，，则在内.

A．有且只有一个零点B．至少有一个零点C．只有两个零点D．没有零点

【经典错解】由零点定理得在内至少有一个零点，故选.

【详细正解】函数的定义域是，所以它在区间上不是连续函数，所以不能利用零点定理，当时，，当时，，所以在内与轴没有交点，故选.

【深度剖析】

（1）经典错解错在误认为时函数在区间至少有一个零点.

（2）零点定理的使用必须满足两个条件：

①函数在区间上连续；②，才能得到一个结论：

函数在区间内至少有一个零点.所以解答零点定理的题目时，一定要认真审题，认真分析，才能做出判断.错解就是没有注意到函数在不是连续函数,因为,所以不能使用零点定理分析解答.

【习题02针对训练】单调函数在区间上的图象是连续不断的，且，用二分法求零点时，取，若计算得，则有.

A．函数的零点在内B．函数的零点在内

C．函数在内无零点D．函数的零点为

【标题03】误认为时函数在区间没有零点

【习题03】对于函数，若，则函数在区间内（）

A．一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点

【经典错解】由于不满足,所以函数在区间内没有零点，故选.

【详细正解】画出二次函数的草图，可以观察得到在区间内可能有两个零点，也可能有一个零点，也可能没有零点，故选.

【习题03针对训练】关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是________．

【标题04】误认为分段函数就没有零点

【习题04】下列函数图像与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）

A．B．

C．D．

【经典错解】由于选择支是一个分段函数，所以不能用二分法求图中函数的零点.

【详细正解】由于选择支中所有函数值恒成立，所以不满足，所以不能利用二分法求图中函数的零点.

【习题04针对训练】下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（　　）

【标题05】对方程的类型判断错误导致漏解

【习题05】若关于的方程只有一个实数根，则实数的取值是.

【经典错解】由.得.故填

【详细正解】当时方程化为，，满足题意；当时，由得.所以或.故填

【深度剖析】

（1）经典错解错在对方程的类型判断错误导致漏解.

（2）错解误认为就是关于的一元二次方程，没有注意考查的范围.如果加上，方程才是一元二次方程.（3）今后大家看到方程，马上要想到看的范围，如果没有限制，该方程只能是“一元二次型”方程，如果加上，方程才是一元二次方程.（4）类似的，不等式也不一定是二次不等式，要分类讨论.

【习题05针对训练】已知集合，

.

【标题06】对零点定理理解不透彻函数的图像分析错误

【习题06】已知有且只有一根在区间内，求的取值范围.

【经典错解】设∵有且只有一根在区间内∴

所以＜－2.　

【详细正解】设，

（1）当＝0时方程的根为，不满足条件.

（2）当≠0∵有且只有一根在区间内，又＝1＞0　∴有两种可能情形①得＜－2或者②得不存在.综上所得＜－2.

（4）对于二次函数的零点问题，一般从四个方面来考虑：

抛物线开口方向、对称轴的位置、判别式的大小和端点的函数值大小.（5）对于二次函数的问题，一般都是通过图像分析，这样简洁快捷.

【习题06针对训练】已知函数．

（1）若函数有两个零点，求的取值范围；

（2）若函数在区间与上各有一个零点，求的取值范围．

【标题07】研究二次函数的图像及性质忽略了对称轴位置导致出错

【习题07】是否存在这样的实数，使得关于的方程有两个实数根，且两根都在与之间？

如果有，试确定的取值范围；如果没有，试说明理由.

【经典错解】令那么由条件得到

即此不等式无解即不存在满足条件的值.

【详细正解】令那么由条件得到

即即此不等式无解即不存在满足条件的值.

【习题07针对训练】设函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围是________.

【标题08】研究零点的策略选择错误

【习题08】函数的零点个数为　　（　　）

A.0B.1C.2D.3

【经典错解】由题得,,所以,所以函数零点的个数为，故选.

【详细正解】令,由于方程没有实数解，所以函数的零点个数0，故选A.

【深度剖析】

（1）经典错解错在研究零点的策略选择错误.

（2）在利用零点存在定理进行判断时，一定要考虑函数的图象是不是连续的，并结合函数的图像及性质加以判断.这里函数的图像是不连续的，所以不能用零点判定定理，只能通过解方程或画函数的图像来解决.

【习题08针对训练】设函数，则函数的零点个数为__________个．

【标题09】分析图像考虑问题不严谨漏掉了零点

【习题09】已知函数是定义在上的奇函数，且（是非零常数），则方程在区间上根的个数可能是（）

A.B.C.D.

【经典错解】由于函数是定义在上的奇函数，所以,所以,所以方程在区间上根的个数可能是，故选.

【详细正解】由于函数是定义在上的奇函数，所以,所以,因为，令=

，所以一共有个零点，故选.

【习题09针对训练】若函数满足，且时，；函数，则函数与的图象在区间内的交点个数共有个.

【标题10】忽略了变量的范围和对数函数的真数的限制条件

【习题10】若方程在内有唯一解，求实数的取值范围.

【经典错解】原方程可以化为有唯一解，即有唯一解，所以

【详细正解】原方程可化为，

，在同一坐标系下画出它们的图像，由于方程在内有唯一的解，所以函数的图像只有一个公共点，可见的取值范围是或.又在内恒成立，所以在内恒成立，所以，综合得的取值范围为.

【习题10针对训练】设是实数，讨论关于的方程的实数解的个数．

【标题11】研究函数问题忽略了函数的定义域导致命题转化错误解答错误

【习题11】已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【经典错解】由题得

因为直线和曲线有两个公共点，所以

所以选择.

【详细正解】因为，所以，它表示单位圆的上半圆.画出图象，当直线经过点、时，，此时直线与曲线有两个公共点；当直线与曲线相切时，．因此当时，直线与曲线有两个公共点.

【习题11针对训练】直线与曲线有且只有一个公共点，则的取值范围是（）

A．B．

C．D．

高中数学经典错解深度剖析及针对训练第08讲：

函数的零点参考答案

【习题01针对训练答案】

【习题01针对训练解析】令，∴；令，∴，而，∴综上可知，所以函数的零点为.故选.

【习题02针对训练答案】

【习题02针对训练解析】根据零点定理和单调函数的性质，可以得到函数的零点为，故选.

【习题04针对训练解析】由于选择支中所有函数值恒成立，所以不满足，所以不能利用二分法求图中函数的零点.

【习题05针对训练答案】

【习题05针对训练解析】由题意，得

①时，满足；

②时，，∵，∴

③时，，∵∴

综合①②③可知的取值范围是．

【习题06针对训练答案】

（1）；

（2）．

【习题07针对训练解析】由题得

【习题08针对训练答案】

【习题08针对训练解析】令,所以,所以.所以函数的零点个数即为与的交点个数，在平面直角坐标系中作出两函数图象，

如图可知，函数与有个交点，所以函数的零点有个．

【习题09针对训练答案】

【习题09针对训练解析】由题意知，函数是以为周期的周期函数，且当时，，，作出函数与在区间内的图象如下图所示，由图象可知，个函数的图象在区间有个公共点.

【习题10针对训练答案】当或时，原方程只有一个实数解；当时，原方程有两个不同的实数解．

【习题11针对训练答案】

【习题11针对训练解析】由，可化简为，所以表示的图形是以原点为圆心，半径为的一个半圆，如图所示，要使得与直线只有一个公共点，则当过点和时，此时，当直线在第四象限与圆相切时，此时，所以实数的取值范围是

，故选．