挑战中考数学压轴题第七版精选副本.docx
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挑战中考数学压轴题第七版精选副本
2014年中考压轴挑战题（几何部分）
目录
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1因动点产生的相似三角形问题
例12013年上海市中考第24题
例22012年苏州市中考第29题
例32012年黄冈市中考第25题
例42010年义乌市中考第24题
1.2因动点产生的等腰三角形问题
例12013年上海市虹口区中考模拟第25题
例22012年扬州市中考第27题
例32012年临沂市中考第26题
例42011年湖州市中考第24题
1.3因动点产生的直角三角形问题
例12013年山西省中考第26题
例22012年广州市中考第24题
例32012年杭州市中考第22题
例42011年浙江省中考第23题
例52010年北京市中考第24题
1.4因动点产生的平行四边形问题
例12013年上海市松江区中考模拟第24题
例22012年福州市中考第21题
例32012年烟台市中考第26题
例42011年上海市中考第24题
例52011年江西省中考第24题
1.5因动点产生的梯形问题
例12012年上海市松江中考模拟第24题
例22012年衢州市中考第24题
例32011年义乌市中考第24题
例42010年杭州市中考第24题
例52009年广州市中考第25题
1.6因动点产生的面积问题
例12013年苏州市中考第29题
例22012年菏泽市中考第21题
例32012年河南省中考第23题
例42011年南通市中考第28题
例52010年广州市中考第25题
1.7因动点产生的相切问题
例12013年上海市杨浦区中考模拟第25题
例22012年河北省中考第25题
例32012年无锡市中考第28题
1.8因动点产生的线段和差问题
例12013年天津市中考第25题
例22012年滨州市中考第24题
例32012年山西省中考第26题
第二部分图形运动中的函数关系问题
2.1由比例线段产生的函数关系问题
例12013年宁波市中考第26题
例22012年上海市徐汇区中考模拟第25题
例32012年连云港市中考第26题
例42010年上海市中考第25题
2.2由面积公式产生的函数关系问题
例12013年菏泽市中考第21题
例22012年广东省中考第22题
例32012年河北省中考第26题
例42011年淮安市中考第28题
例52011年山西省中考第26题
第三部分图形运动中的计算说理问题
3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题
例12013年南京市中考第26题
例22013年南昌市中考第25题
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例12013年上海市黄浦区中考模拟第24题
例22013年江西省中考第24题
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1因动点产生的相似三角形问题
例12013年上海市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
图1
例22012年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线
（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？
如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？
如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
例32012年黄冈市中考模拟第25题
如图1，已知抛物线的方程C1：
（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M（2,2），求实数m的值；
（2）在
（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在
（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？
若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
例42010年义乌市中考第24题
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？
若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1图2
1.2因动点产生的等腰三角形问题
例12013年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1备用图
例22012年扬州市中考第27题
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
例32012年临沂市中考第26题
如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
例42011年盐城市中考第28题
如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数
的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
图1
1.3因动点产生的直角三角形问题
例12013年山西省中考第26题
如图1，抛物线
与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m,0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
例22012年广州市中考第24题
如图1，抛物线
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4,0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
图1
例32012年杭州市中考第22题
在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k（x2＋x－1）的图象交于点A（1,k）和点B（－1,－k）．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
例42011年浙江省中考第23题
设直线l1：
y＝k1x＋b1与l2：
y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．
（1）已知直线①
；②
；③
；④
和点C（0，2），则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；
（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A（3，0）、B（2，7）、C（0，7），P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．
图1
例52010年北京市中考第24题
在平面直角坐标系xOy中，抛物线
与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2,n）在这条抛物线上．
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
图1
图4图5图
1.4因动点产生的平行四边形问题
例12013年上海市松江区中考模拟第24题
如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（0,1）、B（4,3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
图1
例22012年福州市中考第21题
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：
QB＝_______，PD＝_______；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？
若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．
图1 图2
例32012年烟台市中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1,0）、C（3,0）、D（3,4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？
最大值为多少？
（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？
请直接写出t的值．
图1
例42011年上海市中考第24题
已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数
的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数
的图象上，且MO＝MA．二次函数
y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数
的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
例52011年江西省中考第24题
将抛物线c1：
沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．
（1）请直接写出抛物线c2的表达式；
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？
若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
图1
图1
1.5因动点产生的梯形问题
例12012年上海市松江区中考模拟第24题
已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．
①求点D的坐标；
②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若
，求四边形BDEP的面积．
图1
例22012年衢州市中考第24题
如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？
若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？
若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
图1
例32011年义乌市中考第24题
已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？
若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒
个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
图1图2
例42010年杭州市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y＝
，点C的坐标为（–4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上．
（1）写出点M的坐标；
（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．
图1
例52009年广州市中考第25题
如图1，二次函数
的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），△ABC的面积为
．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？
若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
1.6因动点产生的面积问题
例12013年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线
（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（－1,0）．
（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；
（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为（2,0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在
（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．
图1
例22012年菏泽市中考第21题
如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0,1）、B（2,0）、O（0,0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在
（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？
并写出它的两条性质．
图1
例32012年河南省中考第23题
如图1，在平面直角坐标系中，直线
与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？
若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
图1
例42011年南通市中考第28题
如图1，直线l经过点A（1，0），且与双曲线
（x＞0）交于点B（2，1）．过点
（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线
（x＞0）和
（x＜0）于M、N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：
△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？
若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
图1
例52010年广州市中考第25题
如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3,0），（0,1）．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线
交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？
若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
图1
图1图2
1.7因动点产生的相切问题
例12013年上海市杨浦区中考模拟第25题
如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．
（1）当
时，求AP的长；
（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在
（2）的条件下，当
时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．
图1图2图3
例22012年河北省中考第25题
如图1，A（－5,0），B（－3,0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q（4,0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
图1
例32012年无锡市中考模拟第28题
如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒
厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：
在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
图一
1.8因动点产生的线段和差问题
例12013年天津市中考第25题
在平面直角坐标系中，已知点A（－2,0），B（0,4），点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．
（1）如图1，求点E的坐标；
（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．
①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
图1图2
例22012年滨州市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－2,－4）、O（0,0）、
B（2,0）三点．
（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．
图1
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