第7章 习题课2动能定理的应用.docx

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第7章习题课2动能定理的应用

习题课2　动能定理的应用

[学习目标]1.进一步理解动能定理，领会应用动能定理解题的优越性.2.会利用动能定理分析变力做功、曲线运动以及多过程问题.

一、利用动能定理求变力的功

1.动能定理不仅适用于求恒力做功，也适用于求变力做功，同时因为不涉及变力作用的过程分析，应用非常方便.

2.利用动能定理求变力的功是最常用的方法，当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即W变＋W其他＝ΔEk.

例1　如图1所示，质量为m的小球自由下落d后，沿竖直面内的固定轨道ABC运动，AB是半径为d的光滑圆弧，BC是直径为d的粗糙半圆弧（B是轨道的最低点）.小球恰能通过圆弧轨道的最高点C.重力加速度为g，求：

图1

（1）小球运动到B处时对轨道的压力大小.

（2）小球在BC运动过程中，摩擦力对小球做的功.

答案　

（1）5mg　

（2）－mgd

解析　

（1）小球下落到B点的过程由动能定理得2mgd＝mv2，在B点：

FN－mg＝m，得：

FN＝5mg，根据牛顿第三定律：

FN′＝FN＝5mg.

（2）在C点，mg＝m.小球从B运动到C的过程：

mv－mv2＝－mgd＋Wf，得Wf＝－mgd.

针对训练　如图2所示，某人利用跨过定滑轮的轻绳拉质量为10kg的物体.定滑轮的位置比A点高3m.若此人缓慢地将绳从A点拉到B点，且A、B两点处绳与水平方向的夹角分别为37°和30°，则此人拉绳的力做了多少功？

（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计滑轮的摩擦）

图2

答案　100J

解析　取物体为研究对象，设绳的拉力对物体做的功为W.根据题意有h＝3m.

物体升高的高度Δh＝－.①

对全过程应用动能定理W－mgΔh＝0.②

由①②两式联立并代入数据解得W＝100J.

则人拉绳的力所做的功W人＝W＝100J.

二、利用动能定理分析多过程问题

一个物体的运动如果包含多个运动阶段，可以选择分段或全程应用动能定理.

（1）分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解.

（2）全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力做的功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解.

当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便.

注意：

当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移.计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和.

例2　如图3所示，右端连有一个光滑弧形槽的水平桌面AB长L＝1.5m，一个质量为m＝0.5kg的木块在F＝1.5N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10m/s2.求：

图3

（1）木块沿弧形槽上升的最大高度（木块未离开弧形槽）；

（2）木块沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑动的最大距离.

答案　

（1）0.15m　

（2）0.75m

解析　

（1）设木块沿弧形槽上升的最大高度为h，木块在最高点时的速度为零.从木块开始运动到沿弧形槽上升的最大高度处，由动能定理得：

FL－FfL－mgh＝0

其中Ff＝μFN＝μmg＝0.2×0.5×10N＝1.0N

所以h＝

＝m＝0.15m

（2）设木块离开B点后沿桌面滑动的最大距离为x.由动能定理得：

mgh－Ffx＝0

所以：

x＝＝m＝0.75m

三、动能定理在平抛、圆周运动中的应用

动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：

（1）与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量.

（2）与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：

①有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝0.

②没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝.

例3　如图4所示，一可以看成质点的质量m＝2kg的小球以初速度v0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道，其中B为轨道的最低点，C为最高点且与水平桌面等高，圆弧AB对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R＝0.5m.已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不计空气阻力，g取10m/s2.

图4

（1）求小球的初速度v0的大小；

（2）若小球恰好能通过最高点C，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功.

答案　

（1）3m/s　

（2）－4J

解析　

（1）在A点由平抛运动规律得：

vA＝＝v0.①

小球由桌面到A点的过程中，由动能定理得

mg（R＋Rcosθ）＝mv－mv②

由①②得：

v0＝3m/s.

（2）在最高点C处有mg＝，小球从桌面到C点，由动能定理得Wf＝mv－mv，

代入数据解得Wf＝－4J.

1.（用动能定理求变力的功）如图5所示，质量为m的物体与水平转台间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R，物体随转台由静止开始转动.当转速增至某一值时，物体即将在转台上滑动，此时转台开始匀速转动.设物体的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，则在整个过程中摩擦力对物体做的功是（　　）

图5

A.0B.2μmgR

C.2πμmgRD.

答案　D

解析　物体即将在转台上滑动但还未滑动时，转台对物体的最大静摩擦力恰好提供向心力，设此时物体做圆周运动的线速度为v，则有μmg＝.①

在物体由静止到获得速度v的过程中，物体受到的重力和支持力不做功，只有摩擦力对物体做功，由动能定理得：

W＝mv2－0.②

联立①②解得W＝μmgR.

2.（利用动能定理分析多过程问题）滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来.如图6是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点，圆心角为60°，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且长8m.某运动员从轨道上的A点以3m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回.已知运动员和滑板的总质量为60kg，B、E两点到水平轨道CD的竖直高度分别为h和H，且h＝2m，H＝2.8m，g取10m/s2.求：

图6

（1）运动员从A点运动到达B点时的速度大小vB；

（2）轨道CD段的动摩擦因数μ；

（3）通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？

如能，请求出回到B点时速度的大小；如不能，则最后停在何处？

答案　

（1）6m/s　

（2）0.125　（3）不能回到B处，最后停在D点左侧6.4m处（或C点右侧1.6m处）

解析　

（1）由题意可知：

vB＝

解得：

vB＝6m/s.

（2）从B点到E点，由动能定理可得：

mgh－μmgxCD－mgH＝0－mv

代入数据可得：

μ＝0.125.

（3）设运动员能到达左侧的最大高度为h′，从B到第一次返回左侧最高处，根据动能定理得：

mgh－mgh′－μmg·2xCD＝0－mv

解得h′＝1.8m

所以第一次返回时，运动员不能回到B点

设运动员从B点运动到停止，在CD段的总路程为s，由动能定理可得：

mgh－μmgs＝0－mv④

解得：

s＝30.4m

因为s＝3xCD＋6.4m，所以运动员最后停在D点左侧6.4m处或C点右侧1.6m处.

3.（动能定理在平抛、圆周运动中的应用）如图7所示，一个质量为m＝0.6kg的小球以初速度v0＝2m/s从P点水平抛出，从粗糙圆弧ABC的A点沿切线方向进入（不计空气阻力，进入圆弧时无动能损失）且恰好沿圆弧通过最高点C，已知圆弧的圆心为O，半径R＝0.3m，θ＝60°，g＝10m/s2.求：

图7

（1）小球到达A点的速度vA的大小；

（2）P点到A点的竖直高度H；

（3）小球从圆弧A点运动到最高点C的过程中克服摩擦力所做的功W.

答案　

（1）4m/s　

（2）0.6m　（3）1.2J

解析　

（1）在A点由速度的合成得vA＝，

代入数据解得vA＝4m/s

（2）从P点到A点小球做平抛运动，竖直分速度vy＝v0tanθ①

由运动学规律有v＝2gH②

联立①②解得H＝0.6m

（3）恰好过C点满足mg＝

由A点到C点由动能定理得

－mgR（1＋cosθ）－W＝mv－mv

代入数据解得W＝1.2J.

课时作业

一、选择题（1～7为单项选择题，8～9为多项选择题）

1.在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，当它落到地面时速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于（　　）

A.mgh－mv2－mv

B.mv2－mv－mgh

C.mgh＋mv－mv2

D.mgh＋mv2－mv

答案　C

解析　选取物块从刚抛出到正好落地时的过程，由动能定理可得：

mgh－Wf克＝mv2－mv

解得：

Wf克＝mgh＋mv－mv2.

2.如图1所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R，一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止开始下落，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为（　　）

图1

A.μmgRB.mgR

C.－mgRD.（1－μ）mgR

答案　D

解析　设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，物体从A运动到C的全过程，根据动能定理，

有mgR－WAB－μmgR＝0.

所以有WAB＝mgR－μmgR＝（1－μ）mgR.

3.一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图2所示，则拉力F所做的功为（　　）

图2

A.mglcosθ

B.mgl（1－cosθ）

C.Flcosθ

D.Flsinθ

答案　B

解析　小球缓慢移动，时时都处于平衡状态，由平衡条件可知，F＝mgtanθ，随着θ的增大，F也在增大，是一个变化的力，不能直接用功的公式求它所做的功，所以这道题要考虑用动能定理求解.由于物体缓慢移动，动能保持不变，由动能定理得：

－mgl（1－cosθ）＋W＝0，所以W＝mgl（1－cosθ）.

4.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧最右端O相距s，如图3所示.已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为（不计空气阻力）（　　）

图3

A.mv－μmg（s＋x）B.mv－μmgx

C.μmgsD.μmgx

答案　A

解析　设物体克服弹簧弹力所做的功为W，则物体向左压缩弹簧过程中，弹簧弹力对物体做功为－W，摩擦力对物体做功为－μmg（s＋x），根据动能定理有－W－μmg（s＋x）＝0－mv，所以W＝mv－μmg（s＋x）.

5.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图4所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是（　　）

图4

A.mgRB.mgR

C.mgRD.mgR

答案　C

解析　小球通过最低点时，设绳的张力为FT，则

FT－mg＝m，6mg＝m①

小球恰好过