第一轮复习自己整理绝对经典导数第一轮课件.docx
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第一轮复习自己整理绝对经典导数第一轮课件
导数题型分类解析(2016版)
一.导数的概念
1.导数的概念:
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)-f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。
如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f’(x)或y’|,即f(x)==。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤:
①求函数的增量=f(x+)-f(x);②求平均变化率=;
③取极限,得导数f’(x)=。
例1:
若函数在区间内可导,且则的值为()
A.B.C.D.
例2:
若,则()
A.B.C.D.
2.导数的意义:
①物理意义:
瞬时速率,变化率
②几何意义:
切线斜率
③代数意义:
函数增减速率
例3:
【2015高考北京】某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况:
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
年月日
年月日
注:
“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内,该车每千米平均耗油量为()
A.升B.升C.升D.升
例4:
已知函数,则的值为.
例5:
已知,则
3.导数的物理意义:
如果物体运动的规律是s=s(t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v=(t)。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v′(t)。
例6:
一个物体的运动方程为其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在秒末的瞬时速度是
例7:
汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是()
二:
导数的运算
1.基本函数的导数公式:
①(C为常数)②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.
例8:
下列求导运算正确的是()
A.B.=
C.D.
例9:
若,则
真题:
1.已知,则为
2:
导数的运算法则
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:
(
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
法则3:
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:
(v0)。
3.复合函数的导数
形如y=f的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
分解——>求导——>回代。
法则:
y'|=y'|·u'|或者.
例10:
(1)函数的导数是
(2)函数的导数是
例11:
;
(2)
三:
利用已知条件求原函数解析式中的参数
例12:
已知多项式函数的导数,且,则= .
例13:
已知函数,它的图象过点,且在处的切线方程为,则= .
四:
切线相关问题
1.已知曲线上的点求切线方程
例14:
曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )
A.30°B.45°C.60°D.120°
例15:
设函数(a,b∈Z),曲线在点处的切线方程为y=3.
(1)求的解析式
(2)证明:
曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
2.已知曲线外的点求切线方程
例16:
已知曲线,则过点,且与曲线相切的直线方程为 .
例17:
求过点(-1,-2)且与曲线相切的直线方程.
3.已知切线方程的斜率或倾斜角求切线方程
例18:
曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为()
A.B.C.和D.和
例19:
若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()
A.B.C.D.
五:
求函数的单调区间
1.无参数的函数求单调性问题
例20:
证明:
函数在区间(0,2)上是单调递增函数.
例21:
确定函数的单调区间.
2.含有参数的函数的单调性
例22:
已知函数,求函数的单调区间。
例23:
已知函数,讨论f(x)的单调性.
例25:
【2015高考广东,理19】设,函数.
(1)求的单调区间;
(2)证明:
在上仅有一个零点;
例26:
【2015高考江苏,19】已知函数.试讨论的单调性;
例27:
已知,讨论的单调性
六:
结合单调性和极值求参数的取值范围
例28:
已知函数在区间上是减函数,则的取值范围是.
例29:
已知函数,函数在区间内存在单调递增区间,则的取值范围.
例30:
已知函数,若函数在区间内单调递减,则的取值范围.
例31:
已知函数若在[0,1]上单调递增,则a的取值范围.
例32:
已知函数在R上有两个极值点,则实数的取值范围是.
例33:
已知函数,若在上是单调函数,求实数的取值范围
例34:
如果函数在区间单调递减,则mn的最大值为()
(A)16(B)18(C)25(D)
真题:
【2015高考重庆】设函数
(1)若在处取得极值,确定的值,并求此时曲线在点处的切线方程;
(2)若在上为减函数,求的取值范围。
七:
恒成立问题及存在性成立问题
1.转化为分离参数问题求最值问题
例35:
已知函数,
(1)若,求函数的单调区间和极值
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围
例36:
已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若,恒成立,求实数的取值范围
例37:
已知函数在与时都取得极值,
(1)求的值与函数的单调区间
(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围。
例38:
已知函数图象上一点处的切线斜率为,
当时,不等式恒成立,求实数t的取值范围。
例39:
已知,当时,若对有恒成立,求实数的取值范围.
例40:
已知函数,在点处的切线方程为若对于区间上任意两个自变量的值,都有,求实数的最小值
例41:
设函数.若存在的极值点满足,则m的取值范围是()
A.B.C.D.
【2015高考新课标2,理21】(本题满分12分)
设函数.
(Ⅰ)证明:
在单调递减,在单调递增;
(Ⅱ)若对于任意,都有,求的取值范围.
2.分离不开的转化为根的分布问题
例42:
已知是函数的一个极值点,其中,当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.
例43:
已知函数在上为减函数,则m的取值范围为.
八:
函数的极值最值问题
1.不含参数的极值最值问题
例44:
下列函数的极值:
(1);
(2).
45:
函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:
3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
2.含有参数的最值问题
例47:
已知函数f(x)=(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.
例48:
已知,求函数在[1,2]上的最大值.
例49:
设,函数.求的极值点
设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(2)当a≠0时,求函数f(x)的极大值和极小值.
例50:
已知.
(1)当时,求上的值域;
(2)求函数在上的最小值;
3.导函数的图像与函数极值的关系
例52:
f(x)的导函数的图象如右图所示,则f(x)的图象只可能是()
(A)(B)(C)(D)
例53:
函数的图像为()
例54:
函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点个数为.
例55:
已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是()
例56:
已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如右,则( )
A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点
B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点
例57:
函数f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是()
A.0<<<f(3)-f
(2)B.0<<f(3)-f
(2)<
C.0<f(3)<<f(3)-f
(2)D.0<f(3)-f
(2)<<
九:
零点问题(转化为最值问题)
例58:
已知函数的图象与直线相切于点.
(1)求的值;
(2)若函数有三个不同的零点,求c的取值范围.
例:
59:
已知函数,在处取得极值,且在x=0处切线斜率为-3.
(1)求函数的解析式.
(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数m的取值范围.
例61:
已知函数,曲线与有3个交点,求a的范围。
例62:
已知函数,,且在区间上为增函。
(1)求实数的取值范围。
(2)若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
九:
优化问题:
1.设计产品规格问题
例63:
如图在二次函数的图像与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个内接矩形的最大面积.
例64:
圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?
2.利润最大问题
例66:
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).
例67:
某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x(单位:
元,)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.
(1)将一星期的商品销售利润表示成x的函数
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大
十一:
构造计算类题型:
例68:
对于上可导的任意函数,若满足,则必有()
AB
CD
例69:
函数在定义域R内可导,若,且当时,,设,的的大小关系为.
例70:
设f(x)、g(x)分别是定义在R()上的奇函数和偶函数,当x<0时,>0.且.则不等式的解集是
例71:
函数的定义域为R,,对任意,则的解集为.
例72:
是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足,对任意正数a、b,若,则必有()
A.B.C.D.
例73:
已知对恒成立,则下列式子一定正确的是()
A.
B.
C.
D.不确定
【2015高考新课标2,理12】设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是()
A.B.C.D.
【2015高考新课标1,理12】设函数=,其中a1,若存在唯一的整数,使得0,则的取值范围是()
(A)[-,1)(B)[-,)(C)[,)(D)[,1)
【2015高考福建,理10】若定义在上的函数满足,其导函数满足,则下列结论中一定错误的是()
A.B.C.D.
十二:
导数综合问题(不等式及函数综合)
例74:
已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则的最小值为.
例76:
证明下列不等式:
(1)已知:
,求证;
(2)已知:
,求证:
。
例77:
求证下列不等式
(1)(相减)
(2)(相除)
(3)
例78:
已知函数,
(1)求