贾月梅主编《流体力学》第一章课后习题答案.docx
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贾月梅主编《流体力学》第一章课后习题答案
《流体力学》
习题与答案
周立强
中南大学机电工程学院液压研究所
第1章流体力学的基本概念
1-1.是非题(正确的打“"”,错误的打“疋)
1.理想流体就是不考虑粘滞性的、实际不存在的,理想化的流体。
(V)
2.在连续介质假设的条件下,液体中各种物理量的变化是连续的。
(V)
3.粘滞性是引起流体运动能量损失的根本原因。
(V)
4.牛顿内摩擦定律适用于所有的流体。
()
5.牛顿内摩擦定律只适用于管道中的层流。
()
6.有旋运动就是流体作圆周运动。
()
7.温度升高时,空气的粘度减小。
()
8.流体力学中用欧拉法研究每个质点的轨迹。
()
9.平衡流体不能抵抗剪切力。
(V)
10.静止流体不显示粘性。
(V)
11.速度梯度实质上是流体的粘性。
(V)
12.流体运动的速度梯度是剪切变形角速度。
(V)
13.恒定流一定是均匀流,层流也一定是均匀流。
()
14.牛顿内摩擦定律中,粘度系数m和v均与压力和温度有关。
()
15.迹线与流线分别是Lagrange和Euler几何描述;它们是对同一事物的不同说法;因此迹线就是流线,流线就是迹线。
()
16.如果流体的线变形速度9=£+®+&=0,则流体为不可压缩流体。
(V)
17.如果流体的角变形速度沪心+◎+°=0,则流体为无旋流动。
(V)
18.流体的表面力不仅与作用的表面积的外力有关,而且还与作用面积的大小、体积和密度有关。
()
19.对于平衡流体,其表面力就是压强。
(V)
20.边界层就是流体的自由表明和容器壁的接触面。
()
1-2已知作用在单位质量物体上的体积力分布为:
fx=ax
fy二b,物体的密度
fz=cz
『二lx2rynz,坐标量度单位为m其中,a=0,b=0.1Nkg,c=0.5Nkgm
;l=2.0kgm5,r=0,n=1.0kgm4。
试求:
如图1-2所示区域的体积力Fx、
Fy、Fz各为多少?
题1-2图
解:
Fv=仆'dV二'fvdxdydz
VV
Fx=fx'dV=0'dxdydz=0
VV
Fx=0N
3422
Fy=0dx0dy0blxiynzdz
2
:
iiiO.I2x0y1zdxdydz
V
(2312)c,c,f221)
=【—xyz+—zxy汇0.1=0.1沢—x+—zxyz
132丿132丿
221
3—23240.1=16.8N
32
Fy-16.8N
3422
F^0dx0dy0czlxrynzdz
:
hiz2x20y1zdxdydz
V2
13213122
xyz—zxyxzzxyz
666
122
-32222324=88N
6
Fz=88N
答:
各体积力为:
Fx=0N、Fy=16.8N、Fz=88N
物体的密度为
b=15N.kg,
1-3作用在物体上的单位质量力分布为:
fx=ax、fy=b、fz=0,卜^cxez3kg.m3,如图1-3所示,其中,a二10Nkgm,
c=1kg..m4;e=1kg「m6。
试求:
作用在图示区域内的质量总力?
解:
Fm=fm'dV;fmdxdydz
VV
题图1-3
3
Fx二fx'dV二axcxezdxdydz
VV
3223
=odx°dyo10xxzdz
h0253)
=——x+-xzxyz
<34丿
H095…)cCC
=一汉3+一汉3汉8
<34丿
=720N
Fx=720N
Fm=f^dV「;£dxdydz
VV
3
Fy=fy「dV:
111bcxezdxdydz
VV
22
=0dx0dy015xzdz
(1—I
=15汉一x十―zxyz
124丿
(11)
=15汉丨一疋3+一x8^3^2疋2
(24丿
-630N
Fy=630N
Fm二fm'dVfmdxdydz
VV
Fz二fz「dV二0cxez3dxdydz
VV
=0N
Fz=0N
Fm二fm'dV1fmdxdydz
二.720263020
=956.7N
Fm=956.7N答:
各质量力为:
Fx=720N、Fy=630N、F^QN,总质量力Fm=956.7N1-4绝对压强为2.756105Pa,温度21.1C的空气以30.48ms的速度移动求:
(1)空气移动的单位质量动能?
(2)空气的单位体积动能?
解:
(1)求空气移动的单位质量动能
1212
=E=m=江1汉(30.48)
22
E=464.5W=464.5Nm2
E=464.5Wkg=464.5Nm2
(2)求空气的单位体积动能
-=RT,R=287JkgK
5
2.75610
28727321.1
m=「V,所以,单位体积质量为
=E=丄Po2=丄汉3.265汉(30.48$
22
E=1517W.m3=1517m2,s2
E-1517Wm3
答:
(1)空气移动的单位质量动能为E=464.5Wkg;
(2)空气的单位体积动能为E=1517Wm31-5如题图1-5所示,两同心内、外圆筒直径为d=1000mm,D=1002mm,轴向
长度b=1mm,采用润滑油润滑,润滑油温度为60C,密度r=824kg/m3,尸4.1710-3Pas。
求当内筒壁以1m/s速度时,所需要的扭矩M及轴功率P各为多少?
题图1-5
解:
因间隙很小,所以,可以认为速度梯度成直线,符合牛顿内摩擦定律。
du,一,心1
4.1710
dd(1.002-1
<2」
=4.17Pa
F二A=4.17二11
FM3.1N
M二Fd=13.11
22
M二6.55Nm
P=F
P=13.11=13.1W
答:
所需扭矩M=6.55Nm,轴功率P=13.1W。
1-6如题图1-6所示,两无限大的平板、间隙为d,假定液体速度分布呈线
性分布。
液体动力粘度m=0.6510-3Pa,密度r=879.12kg/m3。
计算:
(1)以m2/s为单位的流体运动粘度;
(2)以Pa为单位的上平板所受剪切力及其方向;
(3)
以Pa为单位的下平板所受剪切力及其方向
题图1-6
解:
因间隙很小,所以,可以认为速度梯度成直线,符合牛顿内摩擦定律。
(1)求以m2/s为单位的流体运动粘度:
0.65汉口2/
7-=7.410m.s
879.12
v=7.410"m2s
(2)求以Pa为单位的上平板所受剪切力及其方向:
T
「II=
由牛顿内摩擦定律,du,
dy
03
••小=4du/dy=0.65汉10°汉——=0.65Pa
0310
T=0.65Pa,方向与x轴方向相反。
(3)求以Pa为单位的下平板所受剪切力及其方向:
根据牛顿第三定律,下平板所受剪切力与上平板受力,大小相等方向相反
=~0.65Pa,方向与x轴方向相同
答:
略
1-7如题图1-7所示,两平板间充满了两种不相混合的液体,其粘度系数分别为
液体动力粘度mi=0.14Pas,m2=0.24Pas,液体厚度分别为d1=0.8mm,§2=1.2mm。
假定速度分布为直线规律,试求推动底面积A=0.1m2的上平板,以0.4m/s速度做匀速运动所需要的力?
u=0.4m/s
题图1-7
解:
根据假定,速度梯度成直线,符合牛顿内摩擦定律;且由流体的性质可知:
两液体之间的接触面上,速度相等,剪切力相等。
■-2…2
•1=.2=•-'2-"i-
§2§1
F=•A
F=37.30.1=3.73N
答:
所需的力为F=3.73N
1-8如题图1-8所示,一块40cm45cm1cm平板,其质量为5kg,沿润滑表面匀
速下滑,已知:
u=1m/s,油膜厚度d=1mm。
求润滑油的动力粘度系数?
解:
因油膜很薄,可以认为速度梯度成直线,符合牛顿内摩擦定律。
•二-180J
又因为物体做匀速运动,所以有
1-9如题图1-9所示,旋转圆锥体,底边直径D=15.2mm,高h=20cm,油膜充满锥体和
容器的隙缝,缝隙=0.127mm,油的动力粘度系数心1.8410-3Pa。
求圆锥相对容
器以等题图1-9角速度120r/min旋转时所需要的力矩解:
因油膜很薄,可以认为速度梯度成直线,符合牛顿内摩擦定律。
120^2江,
-r=r4-r
60
d:
』:
』4-r
dy、、
4兀r2A»M=Fr=Ar二
6
dM
=:
®dAr
dAr2
6
1)对于圆锥的锥表面
r二htan^,其中,
tan^
15.2
220
二0.38
dA二2-r
dh
cos-
cost=
20
二0.93478358
h2
#15.2$
202
dA=2-:
htanv—dh
COST
2mta—dh—『
COS日
COST
求扭矩
COST
-tan》h4
0.383
COST
=155426.841^汩0.9总358E
=0.02686Nm
2)对于圆锥的底面
.2
M二Fr二Ar一——rAJ
d
又dA=2-rdr
dM
3
■:
■:
rdr
16~009541Nm
M=0.026860.009541=3.641042答:
所需要的扭矩为M-3.6410絃1-10以下方程规定了四个矢量:
n=2i-jk
r2二i3j-2k
r32ij-3k
r4=3i2j5k
确定下式的标量a、b和c。
其中,r4=ar厂br2cr3。
解军:
;r4二ar1-br2-cr3
r4二a2i-jkbi3j-2kc-2ij-3kr4二2ab-2c?
-a3bcja-2b-3ck
又r4=3i2j5k
2ab-2c=3
—a+3b+c=2a—2b—3c=5
解之,得
a=-2,b=1,c=-3答:
a--2,b=1,c--3。
1-11台风的速度场在极坐标中可表示为:
r=ceb。
试证明:
流线的方程为对数螺线,即证明:
因其流线方程为dr=rd=,
dr
UrUQ
rd:
_1,二drbr
r
J1dr=f-ad^rb
Inr=+c
b
ce
证毕
1-12速度场Ux二ax,Uy--by为弯管内流体运动的表达式。
求流线方程,并绘制出其在第一象限内的通过点A(0,0)和其它一些点的流线。
解:
因其流线方程
dx_dy
axby
积分得
b
y
b
答:
流线方程为y=Cx^1-13在流体流动中,任一点(x,y,z),在时间t的压强p可改写为px,y,z,t
1)求全微分dp;2)dp和:
卩的物理意义如何?
dta
解:
1)求全微分:
dp
dp=dpx,y,z,tpdt亠_pdx亠_pdy亠_pdz
cttxcycz
2)dp和「P的物理意义
dt:
:
t
答:
令dp=dpds,该式说明dp是指一点的压强沿其曲线的变化方向(dp)dtdsdtdtds
与沿此曲线的变化速率(臾);更是指压强随时间变化的速率。
dt仪
1-14流场的速度分布为
22
ux=6xy5xt,uy=-3y,uz=7xy-5zt
求流体在点(2,1,4)和时间t=3s时的速度、加速度。
解:
代入点(2,1,4)和时间t=3,得速度值为
22
■=uy=—3y=—3^1=—3
22
uz=7xy-5zt=721-543--46
答:
略
1-15如题图1-15所示,管中油的流动速度分布曲线可用公式表示为
D2-r2
题图1-15
解:
(1)求管壁上的剪切应力:
D2-r2
4
du
dr
当r=D/2时,
duADAD
=—X—=—
dr2」24J
由牛顿内摩擦定律
..du..ADAD
t=R——=-R=
dr4卩4
当y=D/2时,r=0
du
0dr
.=0
(3)求管道断面上的平均速度和流量。
A
u=——
4」
A,ZD22
————-r4#i4
JT
(4)求流体微团在点r二r0,'二的线变形速度和角变形速度
2
答:
略
1-16已知二维流速场为:
ux二xy2,uy二-xy2。
求:
(1)经过点(3,2)的流线方程;
(2)微团在点(3,2)旋转角速度;(3)微团在点(3.2)的线变形速度和角变形速度。
解:
(1)求经过点(3,2)的流线方程:
dx_dy
UxUy
dx_dy—dx_dy
22=
xy-xyxy
xy=C
当x=3,y=2时
.xy=6
(2)求微团在点(3,2)旋转角速度:
12212213
2-y-x一223八2
(3)求微团在点(3.2)的线变形速度和角变形速度:
=%=xy=2xy=12
exex
c勿y82
vyxy=-2xy=-12
■y:
y
答:
略
数。
求:
(1)流场的流线方程;
(2)流动的加速度场
ax二A2xay=A2y
答:
略
1-18如题图1-18所示,圆筒绕z轴等角速度旋转,筒内流体跟随圆筒转动,流体的速度场可表示为:
Ur=0,U.J八■r,Uz=0。
求:
流体中任意一点的旋转
角速度解:
生=1|电_1空+出
2&r胡r
1
=—+co)=怕
题图1-18
1-19给出如下速度场,其中a、b、c为常数,试确定:
(1)是几维流动?
为什么?
(2)是定常流动,还是不定常流动?
为什么?
2-bt2_ct
①Ux=axe,比=0,uz=0;②ux=ax,比=bxe;
2
③Ux=ax,Uy--by;④Ux=ax,Uy^by,u^cx;
2
⑤ux二ax,uy二by,uz二cxz;⑥ux二ax,uy二-by,uz二t-cz
答:
①②一维,不定常流动;③④二维,定常流动;⑤三维,定常流动;⑥三维、不定常流动。
1-20已知一流场速度分布为u^ay,uy=b,其中,速度单位是ms,y的单位是m,a=2(1/s)、b=1m/s。
问:
(1)速度场是几维流动?
为什么?
(2)求点
(1,2,0)处的速度分量ux,uy,uz;(3)过点(1,2,0)流线和斜率。
解:
(1)速度场是几维流动?
为什么?
一维速度场。
速度的变化只与y轴方向有关。
(2)求点(1,2,0)处的速度分量ux,uy,uz:
匕二ay=22=4
uy=b=1
uz=0
dx_dy_
=—
UxUy
dx_dyayb
dx_dy_
=―y
ayb
2
ay2-2bx-C=0
2b
当x=1,y=2时,C=6
2—2
ay-2bx-C=0二y-x-3=0
2
-y-x—3—0
2ydy=1
dx
dy_11
dx224
答:
略
1-21发电厂附近排出气体的空气密度场可近似为:
问:
密度场是几维的?
是定常的、还是非定常的?
答:
三维定常的。
1-22内燃机的排气管中,密度场可近似为:
—a||1be^cost,
问:
密度场是几维的?
是定常的、还是非定常的?
答:
一维、非定常的
1-23已知流场速度分布为山=ay,Uy=bx,u^c,其中,a=2(1/s)、b=1(1/s)、c=2m/s。
(1)试确定流场的维数,是定常的吗?
(2)求在点(1,2,0)的速度分量Ux,Uy,Uz;(3)求过点(1,2,0)处的流线方程。
解:
(1)二维定常流动。
(2)求在点(1,2,0)的速度分量Ux,Uy,Uz:
ux=ay=22=4uy=bx=11=1uz二c=2
(3)求过点(1,2,0)处的流线方程:
ay2-bx2二C二2y2—x2二C
当x=1,y=2时,C=7
过点(1,2,0)处的流线方程为:
22
2y-x=7
解:
(1)试确定流场的维数,是定常的吗?
答:
三维、不定常。
(2)求在t=0及t=1时的流线方程:
dxdy
I=
2x-ay
dy二dz
-ay3t-bz由dx,y得:
2x-ay
a
y9x2
bdydbz〜3t[—b.
Iny=Inbz「3ti亠caybz-3ta
b
二ya=bz_3tC2
y=Gx2
b
ya=bz-3t+C2
C2=1-3b
C2=4-3b
当t=0时,在点(1,1,3)处,
fI
y=x2
b
亍=bz—3t+1-3b
当t=1时,在点(1,1,3)处,
a
y=x2
b
ya二bz-3t4-3b
答:
略
1-25假设不可压缩流体通过喷嘴时流动如题图1-25所示。
截面面积为A二Ao1-bx,入口速度按
0^U1at变化,其中Ao=1m2,
L=4m,b=0.1m,,a=2s,,
U=10ms。
该流动可假定为一维的,求t=0,t=0.5s时,在x=L2处的流体质点的加速度。
解:
因流体不可压缩,有题图1-25
1012t=1-0.1xx
1012t
1-0.1x
dt
dx
dt
+vX
CX)
-:
t
201012t
1-0.1x(1-0.1x)
!
(1+2t)[
"2
.(1-0.1X)」
2
201012t
1-0.1x(1-0.1x)3
当t=0时,在x=L2处的流体质点的加速度
2
dx_201012t
dt1-0.1x(1-0.1x)3
2010200.8210
1-0.12(1一0.12)30.83
=44.531ms
当t=0.5s时,在x二L2处的流体质点的加速度
2
叽20丄10(1+2t)
dt-1-0.1x(1-0.1x)3
L\.L\,1~-
QUz丄GJz丄QU
Ux.Uy.Uz.
;x;y
133
y-xyxxy0=xy1-
3
a*a2xa2ya2z=13.06m/s2
(2)二元流动
(3)恒定流(不随时间变化)
(4)非均匀流(随空间变化)
14
3xy
/1xy5"
<3
丿」
二1xy3y24
1-27已知
cy
Ux22,
x+y
平面流动速
u_―cx一其中y22?
x+y
流线方程,并画出若干条流线。
解
dx
dy=
uy
dx
cy
x2y
为常数。
dy
cx
y
积分得流线方程:
x2y2=C方向由流场中的Ux、Uy确定——逆时针
y
求
xd
M
x
n
题图1-27
1-28下列两个流动,哪个有旋?
哪个无旋?
哪个有角变形?
哪个无角变形?
1)
Ux
--ay,uy二ax,uz=0;
2)
Ux
cy
22,
xy
Uy
cx
22,UZ
xy
0,式中a、c为常数。
解:
Ux
z
_亠^)=丄(a+a)=a有旋流动
.:
y2
1严uy
'、Z=(
2汶
1My;:
Ux1
;(——+——)=;(a_a)=0
2:
x:
y2
‘X=y=0
xy
(U
2:
x:
y,
1,2c(x2+y2)-2c(x2+y2)
2_
x2
22、2
2IL(xy)
,2丄2
z2,2、2
(Xy)
肖=;ZX无角变形
y2)c_2cx2(x2y2)c_2cy2
222
无旋流动
222
(xy)
-0
⑷x"y=0
1
z;:
Ux1-2c(x2-y2)c(x2-y2)
2?
x:
y2|L(xy)(xy)
1-29假设在距离接近的平板间有层流流动,如题图1-29所示。
其速度剖面给出
为:
u=:
y。
证明:
流体质点的旋转角速度为,-一
h2h
题图1-29
证明:
因流体为二维流动,所以
1(和yCUx)
':
;Z—--
2J£x£y丿
1v
=——>—
2h
证毕
1-30如题图1-30所示。
甘油在两板间的流动为粘性流动,其速度分布曲线可用公式为
假设甘油在21C条件下流动,压强梯度d^-1.570kNm3,两板间距离
dx
B=5.08cm。
求:
距壁面12.7cm处及两壁上的速度和剪切应力。
题图1-30
解:
;u
1dPBy_y2
2」dx
查表1-1,甘油的动力粘度尸149010-3Pas
=0.255
当y=12.7mm时,
23
2J
15705.0810-212.710
19.939
由牛顿内摩擦定律
iidu||19.939
dy4
=19.939Pa
当y=0mm时,
u=0ms
du
dy
订煦B—2y)
2sdx
=-:
叫=10570工5.08^10,2」dx2J
1
=浜39.8781s
du_i39.878
dy「J=