广东省东莞市学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案.docx
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广东省东莞市学年高二上学期期末考试数学理试题Word版含答案
东莞市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测
高二理科数学（B卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、命题“若，则”的否命题是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2、若，则“”是“”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3、在中，角，，的对边长分别为，，，，，，则（）
A．B．C．D．
4、抛物线的准线方程为（）
A．B．C．D．
5、已知等比数列，，，则（）
A．B．C．D．
6、已知双曲线的渐近线方程是，焦点在轴上，焦距为，则它的方程为（）
A．B．C．D．
7、已知等差数列，，，则数列的前项和为（）
A．B．C．D．
8、设，，若是与的等比中项，则的最小值为（）
A．B．C．D．
9、如右图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（）
A．B．
C．D．
10、当双曲线不是等轴双曲线时，我们把以双曲线的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
11、已知向量，，，若，则．
12、不等式组表示的平面区域的面积是．
13、已知等差数列，，公差，若，，成等比数列，则．
14、已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是．（用区间表示）
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15、（本小题满分12分）在中，，，分别是角，，的对边，且．
求的面积；
若，求角．
16、（本小题满分12分）设命题实数满足，其中，命题实数满足．
若，且为真，求实数的取值范围；
若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17、（本小题满分14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过亩，总成本不超过万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩元和每亩元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩万元和每亩万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？
18、（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点．
求证：
平面；
若平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值．
19、（本小题满分14分）已知为数列的前项和，且有，（）．
求数列的通项公式；
若数列满足，其前项和为，求证：
．
20、（本小题满分14分）已知椭圆（）经过点，且椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、及、．
求椭圆的方程；
求的值；
求的最小值．
东莞市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测
高二理科数学（B卷）参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
C
C
D
A
B
B
D
二、填空题
11.12.13． １４．
三、解答题
15.解：
（1）∵，
∴，又，…………………………………3分
∴.……………………………………6分
（2）由，a=7，
得c=5，…………………………………………………………………7分
∴，
∴，…………………………………………………………………9分
∴……………………………10分
又…………………………………………………………………11分
∴.……………………………………………………………………12分
16.解：
（1）由得.……………………1分
当时，，即为真命题时，实数的取值范围是……3分
由得.
所以为真时实数的取值范围是.…………………………5分
若为真，则，所以实数的取值范围是．……6分
（2）设，………………………8分
是的充分不必要条件，则…………………………………10分
所以，所以实数的取值范围是．………12分
17.解：
设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则……1分
………①…………5分
目标函数为，……………6分
不等式组①等价于
可行域如图所示，……………………………9分
当目标函数对应的直线经过点M时，
目标函数取最小值.……………………………………………………10分
解方程组
得M的坐标，，……………………………………12分
所以.………………………………13分
答：
分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元.
………………………………………………………………………………14分
18.解：
（1）连接
为四棱柱，
又为的中点，
为平行四边形
………………4分
又
………………6分
（2）方法一：
作,连接
则即为所求二面角………………8分
在中，
在中，,
………………14分
方法二：
作于点
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，
设平面的法向量为
显然平面的法向量为
显然二面角为锐角，
所以平面和平面所成角的余弦值为………………14分
19.解：
（1）当时，；……1分
当时，
，
两式相减得，，……2分
又，……３分
所以是首项为,公比为2的等比数列，……4分
所以.……6分
（2）由
（1）知，所以，……７分
所以
，…８分
两式相减得，
所以（或写成或…１０分
…１１分
是递增的，又
…１４分
20．解：
（1）法一：
由椭圆的定义可知
……1分
由得……2分
故椭圆的方程是；……3分
法二：
由已知得，
，……1分
得，……2分
故椭圆的方程是；……3分
（2）椭圆的右焦点为，分两种情况讨论如下：
1°当直线AB的斜率不存在时，AB:
，则CD:
．此时，,
；……5分
2°当直线AB的斜率存在时，设AB:
，则CD：
．
又设点．
联立方程组
消去并化简得，
所以
，
……7分
……8分
由题知，直线的斜率为，同理可得……9分
所以为定值.……10分
（3）解：
由（II）知，
所以……11分
，……12分
当且仅当，即，即时取等号…13分
所以的最小值为.……14分
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