数学中考专题尺规作图.docx

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数学中考专题尺规作图

　2016北京数学中考专题--尺规作图

知识梳理

一、必须掌握的五种基本作图：

1．作一条线段等于已知线段；

2．作一个角等于已知角；

3．作已知角的平分线；

4．过一点作已知直线的垂线；

5．作已知线段的垂直平分线．

二、基本作图的应用：

巧妙运用知识点的性质及推论，例如，线段的垂直平分线上的点到线段端点的距离相等；角平分线上的点到角两边的距离相等。

点到线的距离中，垂线段最短；

基本作图在圆上的应用

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）．——垂直平分线的交点就是外接圆的圆心，简称三角形的外心。

（2）作三角形的内切圆．-------角平分线的交点（内心）

三、作图题考试题例

1．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：

分别以A和B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D两点，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）

A．矩形B．菱形

C．正方形D．等腰梯形

2．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）

A．一组邻边相等的四边形是菱形

B．四边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

3．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝

90°.

（1）实验与操作

利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．

①作△ABC的外接圆，圆心为O；

②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；

③连接BD，交⊙O于点E，连接AE.

（2）综合运用

在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则

①AD与⊙O的位置关系是__________．

②线段AE的长为__________．

4．A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2,2），点B的坐标是（7,3）．

（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A，B两校的距离相等？

如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．

（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．

考点一、基本作图

【例1】按要求用尺规作图（只保留作图痕迹，不必写出作法）．

（1

）在图

（1）中作出∠ABC的平分线；

（2）在图

（2）中作出△DEF的外接圆O.

方法总结依据基本作图的方法步骤，规范作图，注意一定保留好作图痕迹．

触类旁通1画△ABC，使其两边为已知线段a，b，夹角为β.（要求：

用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法）

已知：

求作：

考点

二、基本作图的实际应用

【例2】如图，要在一块形状

为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB，BC都相切．请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．

方法总结要作一个圆与角的两边都相切，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可解决问题．

触类旁通2为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A，B，C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．

要求：

写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

2．（2012山东济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠

AOC＝∠BOC的依据是（　　）

A．SSSB．ASA

C．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等

3．（2012贵州铜仁）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：

不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）

4．（2012山东德州）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如

下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到

两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？

请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）

5．（2012广东）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，

（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．

1．如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：

（1）作∠A的角平分线交BC于D点．

（2）作AD的中垂线交AC于E点．

（3）连接DE.

根据他画的图形，判断下列关系何者正确？

（　　）

A．DE⊥ACB．DE∥AB

C．CD＝DED．CD＝BD

2．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于__________．

3．数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN（如图），让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画__________个．

4．如图，已知∠AOB，点M，N，求作点P，使点P在∠AOB的角平分线上，且PM＝PN.（保留作图痕迹，不写作法）

尺规作图专题试题精选一　

一．选择题（共22小题）

1．（2015•嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：

“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2015•魏县二模）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（　　）

A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧

C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧

3．（2014•滨州）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（　　）

A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行

C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等

4．（2014•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：

①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=

AB中，一定正确的是（　　）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

5．（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于

AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（　　）

A．AD=BDB．BD=CDC．∠A=∠BEDD．∠ECD=∠EDC

6．（2014•宁德）如图，用尺规作图：

“过点C作CN∥OA”，其作图依据是（　　）

A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行

C．同旁内角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行

7．（2014•河西区模拟）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：

以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于

CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

8．（2014•曲靖）如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于

AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：

①BD垂直平分AC；

②AC平分∠BAD；

③AC=BD；

④四边形ABCD是中心对称图形．

其中正确的有（　　）

A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④

9．（2010•佛山）尺规作图是指（　　）

A．用直尺规范作图

B．用刻度尺和圆规作图

C．用没有刻度的直尺和圆规作图

D．直尺和圆规是作图工具

10．（2014•葫芦岛）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（　　）

A．PQ为∠APB的平分线B．PA=PB

C．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ=∠BPQ

11．（2013•曲靖）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于

CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（　　）

A．射线OE是∠AOB的平分线

B．△COD是等腰三角形

C．C、D两点关于OE所在直线对称

D．O、E两点关于CD所在直线对称

12．（2015•邢台一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：

①AD是∠BAC的平分线；

②CD是△ADC的高；

③点D在AB的垂直平分线上；

④∠ADC=61°．

其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

13．（2015•东城区二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于

BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；

②作直线MN交AB于点D，连接CD．

若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为（　　）

A．90°B．95°C．100°D．105°

14．（2015•裕华区模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：

①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于

EF长为半径画弧，两弧相交于点G；

③作射线AG，交BC边于点D．

则∠ADC的度数为（　　）

A．40°B．55°C．65°D．75°

15．（2015春•保定校级期中）下列作图语句正确的是（　　）

A．作线段AB，使α=ABB．延长线段AB到C，使AC=BC

C．作∠AOB，使∠AOB=∠αD．以O为圆心作弧

16．（2005•荆门）用一把带有刻度的直角尺，

（1）可以画出两条平行线；

（2）可以画出一个角的平分线；（3）可以确定一个圆的圆心．以上三个判断中正确的个数是（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

17．（2014秋•内江期末）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（　　）

①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；

③分别以D，E为圆心，大于

DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．

A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①

18．（2011•虹口区模拟）图中的尺规作图是作（　　）

A．线段的垂直平分线B．一条线段等于已知线段

C．一个角等于已知角D．角的平分线

19．（2015•燕山区一模）在△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以A，B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=（　　）

A．40°B．50°C．60°D．70°

20．（2011秋•武昌区期末）四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过A，B，C三点，且点C在点A与点B之间”，画出图形

（1）；乙同学读语句“两条线段AB，CD相交于点P”画出图形

（2）；丙同学读语句“点P在直线l上，点Q在直线l外”画出图形（3）；丁同学读语句“点M在线段AB的延长线上，点N在线段AB的反向延长线上”画出图形（4）．其中画的不正确的是（　　）

A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学

21．（2015秋•绍兴校级期中）小明同学画角平分，作法如下：

①以O为圆心，适当长为半径作弧，交两边于D、E

②分别以C、D为圆心，相同的长度为半径作弧，两弧交于E，

③则射线OE就是∠AOB的平分线．

小明这样做的依据是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

22．（2014•安顺）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）

二．填空题（共8小题）

23．（2014•百色）如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于

AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是　　　　　　°．

24．（2014秋•罗平县校级期末）下列语句表示的图形是（只填序号）

①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点：

　　　　　　．

②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD：

　　　　　　．

③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点：

　　　　　　．

25．（2015•北京）阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如下：

老师说：

“小芸的作法正确．”

请回答：

小芸的作图依据是　　　　　　．

26．（2014•濮阳一模）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于

EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=120°，则∠MAB的度数为　　　　　　．

27．（2004•江西）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠ACB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在∠ACB的平分线上．　　　　　　．

28．（2005•长沙）请在图中作出△ABC的角平分线BD（要求保留作图痕迹）．

29．（2011春•巴东县校级期末）作图题的书写步骤是　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　，而且要画出　　　　　　和　　　　　　，保留　　　　　　．

30．（2014秋•单县期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为　　　　　　．

　尺规作图专题试题精选二

一．选择题（共3小题）

1．（2015春•中山期末）如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，连接AC，BC，BD，CD．其中AB=4，CD=5，则四边形ABCD的面积为　　　　　　．

2．（2012•郴州模拟）如图，已知∠AOB和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′=∠AOB（要求保留作图痕迹）．

3．（2013秋•邢台期末）已知∠α、∠β，如图，画∠AOB=∠α+∠β．

二．选择题（共26小题）

4．（2014•汕头）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．

5．（2014•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．

（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）

（2）连接AP，当∠B为　　　　　　度时，AP平分∠CAB．

6．（2014•来宾）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．

（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）求证：

DE=BF．

7．（2014•汕尾）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于

AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．

（1）求∠ADE；（直接写出结果）

（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．

8．（2015•庆阳）如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°．

（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；

（2）求证：

BD平分∠CBA．

9．（2012•沙坪坝区校级二模）如图，某大学有A、B、C三栋教学楼，A、B在校内的主干道上，C在校内支路的末端．为了方便教学和管理，现计划修建一栋办公楼P，使办公室到公路AB、BC的距离相等，且到B、C两栋教学楼的距离也相等，请在图中作出办公楼P的位置（要求：

尺规作图，不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，在所作图中标出P的位置）．

10．（2015•宜昌）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：

以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于

GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．

（1）求证：

AB=AE；

（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．

11．（2014•河池）如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．

（1）作图：

①过B作AC的平行线BH；

②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G．

（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．

12．（2015春•兴平市期中）如图，在△ABC中，延长BC至D，∠A=60°，∠B=45°．

（1）过点C作直线CE∥AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求∠ACD的度数．

13．（2015•滨海县一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，AE∥BC．

（1）作∠ADC的平分线DF，与AE交于点F；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在

（1）的条件下，若AD=2，求DF的长．

14．（2015秋•青海校级期中）某地区要在区域S内（即∠COD内部）建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？

（要求：

尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

15．（2015春•泾阳县期中）如图所示，已知线段AB，∠α，∠β，分别过A、B作∠CAB=∠α，∠CBA=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）

16．（2011秋•泰兴市期末）根据要求画图，并回答问题．

已知：

直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB

（1）过点O画直线MN⊥CD；

（2）若点F是

（1）所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC=34°，求∠EOF的度数．

17．（2015春•碑林区期中）已知∠AOB，点P在OA上，请以P为顶点，PA为一边作∠APC=∠O（不写作法，但必须保留作图痕迹）

问：

（1）PC与OB一定平行吗？

答：

（2）简要说明理由：

18．（2013春•围场县期末）如图，∠AOB内一点P：

（1）过点P画PC∥OB交OA于点C，画PD∥OA交OB于点D；

（2）写出两个图中与∠O互补的角；

（3）写出两个图中与∠O相等的角．

19．（2008•成都）23．如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM、ON上确定点B、点C，使△ABC的周长最小．写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点（要求画出草图，保留作图痕迹）

20．（2005•南通）已知：

∠AOB，点M、N．求作：

点Q，使点P在∠AOB的平分线上，且QM=QN．（要求：

用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

21．（2015春•阳新县期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．

（1）过点P画AB的垂线段PE．

（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．

（3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？

22．（2013•莘县模拟）如图已知∠AOB内有两点，M、N求作一点P，使点P在∠AOB两边距离相等，且到点M、N的距离也相等，保留作图痕迹并完成填空．

解：

（1）连接　　　　　　；作　　　　　　垂直平分线CD；

（2）作∠AOB的　　　　　　OE与CD交于点　　　　　　，所以点　　　　　　就是要找的点．

23．（2014•五通桥区模拟）如图，已知点A、点B以及直线l，

（1）用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA=PB．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；

（2）在

（1）中所作的图中，若AM=PN，BN=PM，求证：

∠MAP=∠NPB．

24．（2015秋•镇江期中）如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？

请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

25．（2013秋•建阳市期末）如图，平面内有A，B，C，D四点，按下列语句画图．

（1）画射线AB，直线BC，线段AC；

（2）连接AD与BC相交于点E．

26．（2014春•达县校级期末）作图与证明按下列要求尺规作图（保留作图痕迹）：

如图，已知∠ABC，在边AB上有一点D，请过点D用尺规作出与BC平行的一条直线，并将你的理由填写在横线上．理由：

　　　　　　．

27．尺规作图题、不写作法，但保留作图痕迹：

如图，过点C作AB的平行线．

28．（2013秋•沙洋县期末）阅读：

在用尺规作线段AB等于线段a时，小明的具体作法如下：

已知：

如图，线段a：

求作：

线段AB，使得线段AB=a．

作法：

①作射线AM；

②在射线AM上截取AB=a．

∴线段AB即为所求，如图．

解决下列问题：

已知：

如图，线段b：

（1）请你仿照小明的作法，在上图中的射线AM上求作点D，使得BD=b；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹）

（2）在

（1）的条件下，取AD的中点E．若AB=10，BD=6，求线段BE的长．（要求：

第

（2）问重新画图解答）

29．（2014秋•兴化市校级月考）如图，求作点P，使点P同时满足：

①PA=PB；②到直线m，n的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹）

三．解答题（共1小题）

30．如图，已知∠AOB=α，以P为顶点，PC为一边作∠CPD=α，并用移动三角尺的方法验证PC与OB，PD与OA是否平行．