第九届华杯赛决赛试题及解答.docx
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第九届华杯赛决赛试题及解答
第九届华杯赛决赛试题及解答
2004年4月10日10:
00—11:
00
一、填空（每题10分，如果一道题中有两个填空，则每个5分）
1.计算：
2004.05X1997.05-2001.05X1999.05=（）
2.图1是一些填有数字的方形格子，一个微型机器人从图中阴影格子开
始爬行，每爬进邻近一个格子后，它就将该格子也涂上阴影，然后再爬
进与该格子有公共边的格子中，继续将该格子涂上阴影，…。
依次将微
型机器人所涂过的阴影格子中的数除以3得到的余数排成一列，结果是
5
歹
10
&
14
3
13
4
10
6
14
Z
5
13
1
7
9
11
3
7
14
12
12
7
2
12
13
2
11
4
可
a
4
1
g
1
5
g
€
3.等式：
39X-
恰好出现1、2、3、4、…、9九个数字，“潮州市”代表的三位数是（）
4.一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图2）,小圆
盘运动过程中扫出的面积是（）平方厘米。
（匸=3.14）
5.甲、乙、丙三只蚂蚁从AB、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴CAB爬行，然后返回自己出发的洞穴。
如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了（）米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了（）米。
6.如图3,甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后,甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走。
甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相（）米。
7.
8.李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有古是母牛，李家和王家各养了多少头牛？
9.一个最简真分数兰，化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2004,求M的值。
10.小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支。
问她最多能买多少支？
最少能买多少支？
11.在3X3的方格纸上（如图4）,用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，贝V认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。
例如图5
和图6是相同类型的涂法。
回答最多有多少种不同类型的涂法？
说明理由。
Hrrn
rtrl
hhtl
图4图5
12.三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整
数的积称为“美妙数”。
问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约
数是多少？
13.用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿梭的小正方体，则尚余下371个小正方体，问所粘成的大长方体的棱长各是
多少？
拆下沿棱的小正方体后的多面体（图7是示意图）的表面积是多
少？
一、填空（每题10分，如果一题中有两个填空，则每个5分）
题目
1
2
3
4
5
6
答案
1989.5
9
728
18.84
2.4;2.1
1680
二、解答下列各题，写出简要过程（每题10分）：
7•解答：
李家和王家各养了300头和221头牛.算术解法：
1李家养牛数的67%是母牛，母牛数应当是整数，67是质数，所以，李
家养牛数应当是100的倍数，可能是500、400、300、200或100头，王家养牛数则可能是21、121、221、321和421头.
丄
2王家的牛群中有匸是母牛，21、121、221、321和421中仅有221能
为13整除，所以，王家养牛数是221头，李家养牛数是300头.
代数解法:
1李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x,
丄
王家的牛群中仅有匸是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y，列
出方程
100x+13y=521.
②x和y是整数，分别取x=1,2,3,4,5.可以得到x=3,y=13.或者解同余方程（*）.
（*）式两边除13,
-4x=1,Mod（13）x=3是（**）式的解，得到y=13.
8解答：
M是3.
■■Q■■
01428571,-=0.28571427
5•■石・"
-=0.7142557,-=1E571428
77
2上面6个最简真分数的循环小数节的数字和都是27，2004被27除的余数是6，仅3/7符合要求．
9．解答：
小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔．
方法一：
1买圆珠笔总费用是奇数，所以，买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇数．
2高价格的笔买的越少，买圆珠笔的总数量就越多，若3元和4元的圆珠笔只各买1支，则小丽能买（31-4-3）-2=12支单价2元的圆珠笔，最多能买12+2=14（支）
3类似，低价格笔买的越少，买圆珠笔总的数量就越少，如果小丽2元
和3元的圆珠笔计划各买1支，余下的钱有26元，能买6支单价4元的笔，尚余2元，可以再买1支2元的圆珠笔．所以，小丽最少能买9支圆珠笔．
方法二：
1设2元、3元、4元的圆珠笔各买x、y、z支，则：
2x+3y+4z=31,（*）
2分析等式（*）的奇偶性，y必须是奇数•因为x,y,z>1,
3y=31-2x-4z<25,y<7.列下表：
y=1
x12108642
z123456
y=3
x13579
z54321
y=5
x246
z321
y=7
x13
z21
从上表，小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔.
方法三:
①因为x,y,z>1,所以从（*）式，2x+2y+2z=31-y-2zw31-3=28，得到x+y+zW14.
②取x=12,y=1,z=1满足（*）式，且x+y+z=14.小丽最多能买14支圆
珠笔.
3类似，4x+4y+4z=31+2x+y>31+3=34,―+三》匸.
取x=2,y=1,z=6满足（*）式，并且，x+y+z=9.小丽最少可以买9支圆
珠笔.
10.解答：
不同类型的涂法有3种，如下图A
说明:
1所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格.同样,仅有一列涂有3个阴影方格.
2所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”.“特征阴影方格”在3X3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3X3的方格纸的涂法.“特征阴影方格”
在方格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图A中间）和中心的方格（图A右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法.
11.解答：
60
说明:
①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除.所以，任何“美妙数”必有因子3.
②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4
整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4.
3完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所以，任何“美妙数”必有因子5．
4上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60.60=3X4X5是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60．所有的美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，只能是60.
12.解答：
多面体的表面积是358.
1设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设x>z>y,它们只能取正整数.长方体的体积是455，则有xXyXz=455，分解455=5X7X13,即：
xXyXz=5X7X13
（1）
2沿棱拆下的小正方体有455-371=84个,若认为从“长”边拆下的小正方体为（x-1）个,则从每个“宽”边拆下的小正方体为（y-1）个,而从每个“高”边拆下的小正方体为（z-2）个,应当有下面关系式：
4X（x-1+y-1+z-2）=84,x+y+z=25.
（2）
分析
（1）和
（2）,既然x,y,z只取正整数,验证x=13,z=7,y=5是唯一解.
3计算表面积：
方法一：
如右图B,拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分
组成：
第一部分是突出在外面的6个平面，总面积是:
2X（11X5+11X3+5X3）=206.
第二部分是24个宽都是1的长条，总面积是：
8X（11+3+5）=152.
方法二：
拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积和原长方体表面积去
掉8个顶点处的小正方体的三个侧面的面积相同（想像一下为什么）.所
以，2X（13X7+13X5+7X5）-3X8=358.
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