第九届华杯赛决赛试题及解答.docx

1、第九届华杯赛决赛试题及解答第九届华杯赛决赛试题及解答2004 年 4 月 10 日 10: 0011: 00一、填空（每题10分，如果一道题中有两个填空，则每个 5分）1.计算：2004.05 X 1997.05 -2001.05 X 1999.05=（）2.图1是一些填有数字的方形格子， 一个微型机器人从图中阴影格子开始爬行，每爬进邻近一个格子后，它就将该格子也涂上阴影，然后再爬进与该格子有公共边的格子中，继续将该格子涂上阴影，。依次将微型机器人所涂过的阴影格子中的数除以3得到的余数排成一列， 结果是5歹10&14313410614Z51317911371412127212132114可a4

2、1g15g3.等式：39X -恰好出现1、2、3、4、9九个数字，“潮州市”代表的三位数是（）4.一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为 4厘米的圆盘外侧做无滑动 的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动 90度后（如图2）,小圆盘运动过程中扫出的面积是（ ）平方厘米。（匸=3.14）5.甲、乙、丙三只蚂蚁从 A B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞 穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴 C A B爬行，然后返回自 己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距 离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞 穴B到达洞穴C时爬行了（）米，蚂蚁丙从洞穴C到

3、达洞穴A时爬行 了（）米。6.如图3,甲、乙二人分别在 A、B两地同时相向而行，于 E处相遇后, 甲继续向B地行走，乙则休息了 14分钟，再继续向A地行走。甲和乙 到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲分钟行走 60米，乙每 分钟行走80米，则A和B两地相（）米。7.8.李家和王家共养了 521头牛，李家的牛群中有 67%是母牛，而王家的 牛群中仅有古是母牛，李家和王家各养了多少头牛？9.一个最简真分数兰，化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干 位的数字之和等于2004,求M的值。10.小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每 种至少买1支。问她最多能买多少支？最

4、少能买多少支？11.在3X3的方格纸上（如图4）,用铅笔涂其中的5个方格，要求每 横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相 同，贝V认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图 5和图6是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理 由。Hrrnrtrl hhtl图4 图512.三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小于 2008的“美妙数”的最大公约数是多少？13.用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿梭的 小正方体，则尚余下371个小正方体，问所粘成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿

5、棱的小正方体后的多面体 （图7是示意图）的表面积是多少？一、填空（每题10分，如果一题中有两个填空，则每个 5 分）题目123456答案1989. 5972818. 842. 4;2 . 11680二、解答下列各题，写出简要过程（每题 10分）：7 解答：李家和王家各养了 300头和221头牛. 算术解法：1李家养牛数的67%是母牛，母牛数应当是整数，67是质数，所以，李家养牛数应当是100的倍数，可能是500、400、300、200或100头， 王家养牛数则可能是 21、121、221、321和421头.丄2王家的牛群中有匸是母牛，21、121、221、321和421中仅有221能为13整除

6、，所以，王家养牛数是 221头，李家养牛数是300头.代数解法:1李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x,丄王家的牛群中仅有匸是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y，列出方程100x+13y=521.x和y是整数，分别取x=1, 2, 3, 4, 5.可以得到x=3, y=13.或者 解同余方程（*）.（* ）式两边除13,-4 x=1, Mod (13) x=3是（* ）式的解，得到y=13.8解答：M是3. Q 0 1428571, -= 0.2 85714 2 75 石 -=0.714255 7, -= 1E57142 87 72上面 6个最简真分数的

7、循环小数节的数字和都是 27，2004被 27除的 余数是 6，仅 3/7 符合要求9解答：小丽最多能买 14 支圆珠笔，小丽最少能买 9 支圆珠笔方法一：1买圆珠笔总费用是奇数，所以，买 3元1支的圆珠笔的数量必须是奇 数2高价格的笔买的越少， 买圆珠笔的总数量就越多，若 3元和 4元的圆 珠笔只各买1支，则小丽能买（31-4- 3） -2=12支单价2元的圆珠笔，最 多能买 12+2=14（支）3类似，低价格笔买的越少，买圆珠笔总的数量就越少，如果小丽 2元和 3元的圆珠笔计划各买 1 支，余下的钱有 26元，能买 6支单价 4元 的笔，尚余 2元，可以再买 1 支 2 元的圆珠笔所以，小

8、丽最少能买 9 支圆珠笔方法二：1设 2元、3元、4元的圆珠笔各买 x、y、z 支，则：2x+3y+4z=31, （*）2分析等式（*）的奇偶性，y必须是奇数因为x, y, z 1,3y=31-2x-4z 25, y 1,所以从(*)式，2x+2y+2z=31-y-2zw31-3=28，得到 x+y+zW14.取x=12, y=1, z=1满足(*)式，且x+y+z=14.小丽最多能买14支圆珠笔.3类似，4x+4y+4z=31+2x+y31+3=34, +三匸.取x=2, y=1, z=6满足(*)式，并且，x+y+z=9.小丽最少可以买9支圆珠笔.10.解答：不同类型的涂法有 3种，如下图

9、A说明:1所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格.同样, 仅有一列涂有3个阴影方格.2所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有 3个阴影方格，有这种性 质的方格称为“特征阴影方格”.“特征阴影方格”在 3X3正方格纸 中的位置，就唯一地决定了 3X3的方格纸的涂法.“特征阴影方格”在方格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图 A中间）和中心的 方格（图A右边）三个位置确定了只有 3种类型的涂法.11.解答：60说明: 任何三个连续正整数，必有一个能为 3整除.所以，任何“美妙数” 必有因子3.若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为 4整除；若中间的数是奇数，

10、则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙 数”必有因子4.3完全平方数的个位只能是 1、 4、 5、6、9 和 0，若其个位是 5 和 0， 则中间的数必能被 5整除，若其个位是 1和 6，则第一个数必能被 5整 除，若其个位是 4和 9，则第三个数必能被 5整除所以，任何“美妙 数”必有因子 54上述说明“美妙数”都有因子 3、4、和 5，也就有因子 60，即所有的 美妙数的最大公约数至少是 60. 60=3X4X5是一个“美妙数”，美妙 数的最大公约至多是 60所有的美妙数的最大公约数既不能大于 60， 又至少是 60，只能是 60.12.解答：多面体的表面积是 358.1设长方体长宽高分别

11、为 x、y、z无仿设xzy,它们只能取正整数.长 方体的体积是455，则有xXyXz=455，分解455=5X 7X 13,即： xXyXz=5X 7X 13(1)2沿棱拆下的小正方体有 455-371=84 个,若认为从“长”边拆下的小 正方体为 (x-1) 个,则从每个“宽”边拆下的小正方体为 (y-1) 个,而从 每个“高”边拆下的小正方体为 (z-2) 个,应当有下面关系式：4X(x-1+y-1+z-2)=84 , x+y+z=25. (2)分析 (1) 和 (2) ,既然 x, y, z 只取正整数,验证 x=13, z=7, y=5 是唯 一解.3计算表面积：方法一：如右图B,拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分组成：第一部分是突出在外面的6个平面，总面积是:2X (11 X 5+11X 3+5X 3)=206 .第二部分是24个宽都是1的长条，总面积是：8X (11+3+5)=152 .方法二：拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积和原长方体表面积去掉8个顶点处的小正方体的三个侧面的面积相同 (想像一下为什么).所以，2X (13 X 7+13X 5+7X 5) -3X 8=358.