03GIS的地理数学基础.docx
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03GIS的地理数学基础
第三章地理信息系统的地理数学基础
六十年代至今，世界各国已建成了上千个地理信息系统，这些系统应用领域广，特别是应用在自然资源和环境等方面显示了很强的能力和极好的效果。
对于每一个系统而言，具有各自不同的特征，但有一点是共同的，这就是每一个地理信息系统都具有统一的地理基础。
地理基础是地理信息数据表示格式与规范的重要组成部分。
它主要包括统一的地图投影系统，统一的地理网格坐标系以及统一的地理编码系统。
它为各种地理信息的输入输出以及匹配处理提供一个统一的定位框架，从而使各种地理信息和数据能够具有共同的地理基础。
§3.1地图投影概述
一、地图投影的基本问题
地图投影的基本问题是如何将地球表面（椭球面或圆球面）表示到地图平面上。
由于地球椭球面或圆球面是不可展开的曲面，即不能展开成平面，而地图又必须是一个平面，所以将地球表面展开成地图平面必然会产生裂隙或褶皱。
那么采用什么样的数学方法将曲面展开成平面，而使其误差最小，必须采用地图投影的方法，即用各种方法将地球表面的经纬网线投影到地图平面上。
不同的投影方法具有不同性质和大小的投影变形，因此在各类地理信息系统的建立过程中，选择恰当的地图投影系统就是首先必须要考虑的问题。
投影，数学上的含义是两个面之间点与点、线与线的对应。
同样，地图投影的定义是：
建立地球椭球表面（或球体表面）与地图平面之间点与点或线与线之间的一一对应关系。
如果地球表面上有一点A（
，λ），它在平面上的对应点是Aˊ（X,Y），按地图投影的定义，其数学转化公式为：
二、地图投影的变形
地球表面是一个不规则的曲面，即使把它当作一个椭球体或正球体表面，在数学上讲，它也是一种不能展开的曲面，要把这样一个曲面表现到平面上，就会发生裂隙或褶皱。
在投影面上，则以经纬线的“拉伸”或“压缩”（通过数学手段）来避免之，从而可形成一幅完整的地图，也就因此而产生了变形。
地图投影的变形，通常可分为长度、面积和角度三种变形，其中长度变形是其它变形的基础。
为了进一步了解地图上的变形，应知道下列术语及其定义：
长度比——地面上微分线段投影后的长度ds′与其相应的实地长度ds之比。
如用符号μ表示长度比，那么μ=ds′/ds。
长度变形——长度比与1之差值。
如用符号Vμ表示长度变形
即Vμ=μ-1
投影上的长度比不仅随该点的位置而变化，而且随着在该点上不同方向而变化。
这样，在一定点上的长度比必存在有最大值和最小值，称其为极值长度比，并通常用符号a和b表示极大与极小长度比。
极值长度比的方向称为主方向。
沿经线和纬线方向的长度比分别用符号m,n表示。
在经纬线正交投影中，沿经纬线方向的长度比即为极值长度比，此时m=a或b，n=b或a。
面积比——地面上微分面积投影后的大小dF′与其相应的实地面积dF的比称为面积比，通常用符号P表示，即
P=dF′/dF
面积变形——面积比与1之差值。
用符号Vp表示，那么
Vp=P-1
角度变形——地面上某一角度投影后的角值β′与其实际的角值β之差。
即β′-β。
在一定点上，方位角的变形随不同的方向而变化，所以一点上不同方向的角度变形是不同的。
投影中，一定点上的角度变形的大小是用其最大值来衡量的，即称最大角度变形，通常用符号ω表示。
变形椭圆——地球面上无穷小圆在投影中通常不可能保持原来的形状和大小，而是投影成为不同大小的圆或各种形状大小的椭圆，统称为变形椭圆。
如图3-1-1。
rr′r″baababab
实地上的
一个微分圆a=b=r′rab=r2a>r,b=ra≠b≠r
⑴⑵⑶
图3-1-1变形椭圆
一般可以根据变形椭圆来确定投影的变形情况。
如投影后为大小不同的圆形，见图3―1－1
（1），a=b则该投影为等角投影；如果投影后为面积相等而形状不同的椭圆，如图3-1-1
（2），a·b=r2则该投影为等面积投影；如果投影后为面积不等形状各不相同的椭圆，如图3-1-1（3）则为任意投影，其中如果椭圆的某一半轴与微分圆的半径相等，如b=r则为等距离投影。
从变形椭圆中还可看出，变形椭圆的长短半轴即为极值长度比，长轴与短轴
的方向即主方向。
等变形线——投影上变形值相等的点的连线，有面积比等值线、最大角度变形等值线等。
地图投影略图上绘有等变形线，用以直观评价地图投影的变形分布状况和投影使用的优劣。
在地图制图实践中为了获得具有较小的变形及其在制图区域内变形分布最均匀的投影，提出使投影上的等变形线与制图区域的轮廓形状基本一致的要求，并把它作为投影选择上的一个基本原则。
三、地图投影的分类
地图投影的分类方法很多，总的来说，基本上可以依外在的特征和内在的性质进行分类。
下面介绍常用的几种地图投影分类方法。
1．根据地图投影的变形（内蕴的特征）分类
根据地图投影中可能引入的变形的性质，可以分为等角、等面积和任意（其中包括等距离）投影。
（1）等角投影：
地球表面上无穷小图形投影后仍保持相似，或两微分线段所组成的角度在投影后仍保持相似，或两微分线段所组成的角度在投影后仍保持不变，这种投影称等角投影（又称正形投影）。
在等角投影中，微分圆经投影后仍为圆形，随点位（纬度增加）的变化，面积有较大变形，见图3-1-2。
（2）等面积投影：
地球面上的图形在投影后保持面积不变，这种投影称等面积投影。
在等面积投影中，微分圆变成不同形状的椭圆，但变形椭圆面积保持相等，只有角度产生很大变形见图3-1-2。
等积投影
等距投影
等角投影
图3-1-2由变形椭圆看不同的三种投影
（3）任意投影：
既不具备等角性质，又没有等面积性质的投影，统称为任意投影。
在任意投影中，如果沿某一主方向的长度比等于1，即a=1或b=1，则这种投影称为等距离投影。
2.根据投影面与地球表面的相关位置分类
在地图投影中，我们首先将不可展的椭球面投影到一个可展曲面上，然后将该曲面展开成为一个平面，得到我们所需要的投影。
通常采用的这个可展曲面有圆锥面、圆柱面、平面（曲率为零的曲面），相应地可以得到圆锥投影、圆柱投影、方位投影。
同时还可以由投影面与地理轴向的相对位置区分为正轴投影（极点在两地极上，或投影面的中心线与地轴一致）、横轴投影（极点在赤道上，或投影面的中心线与地轴垂直）及斜轴投影（极点既不在两地极上又不在赤道上，或投影面的中心线与地轴斜交）。
对这一分类可以用图3-1-3表示出。
在这一分类中，当投影面与地球面相切时称为切投影，而投影面与地球面相割时称为割投影。
E1
图3-1-3投影方法示意图
3.根据正轴投影时经纬网的形状分类
据这一标志，投影可分为圆锥、圆柱、方位、伪圆锥、伪圆柱、伪方位和多圆锥投影等。
（1）圆锥投影：
投影中纬线为同心圆圆弧，经线为圆的半径（见图3-1-4C右），且经纬间的夹角与经差成正比例。
该投影按变形性质又可分为等角、等面积和任意（主要为等距离）圆锥投影。
等角圆锥投影也称为兰勃特（Lambert）正形圆锥投影；正轴等面积割圆锥投影亦叫亚尔勃斯（Albers）投影。
（2）圆柱投影：
投影中纬线为一组平行直线，经线为垂直于纬线的另一组平行直线，且两相邻经线之间的距离相等（图3－1―4C左）。
该投影按变形性质可分为等角、等面积和任意（包括等距离）圆柱投影。
等角圆柱投影亦叫墨卡托（Mercator）投影，它在海图和小比例尺区域地图上有广泛应用。
等角横切椭圆柱投影，即著名的高斯—克吕格（Gallss-kruger）投影，等角横割椭圆柱投影即通用横轴墨卡托（UTM）投影，它们都广泛用于编制大比例尺地形图。
（3）方位投影：
投影中纬线为同心圆，经线为圆的半径（图3－1―4C右），且经线间的夹角等于地球面上相应的经差。
该投影有非透视方位投影和透视方位投影之分。
非透视方位投影按变形性质可分为等角、等面积和任意（包括等距离）方位投影。
等面积方位投影亦称为兰勃特（Lambert）等面积方位投影。
等距离方位投影又称为波斯托（Postel）投影。
（4）伪圆锥投影：
投影中纬线为同心圆圆弧，经线为交于圆心的曲线（图3－1―4B2右）。
C
图3-1-4投影类型
（5）伪圆柱投影：
投影中纬线为一组平行直线，而经线为某种曲线（图3－1–4B2左）。
（6）伪方位投影：
投影中纬线为同心圆，而经线为交于圆心的曲线（图3－1–4B2右）。
（7）多圆锥投影：
投影中纬线为同轴圆圆弧，其圆心在中央直径线上，而经线为对称中央直径线的曲线（图3－1–4A右）。
§3.2地理信息系统中地图投影的配置与设计
一、地图投影与GIS的关系
地图是地理信息系统的主要数据来源，即地理信息系统的数据多来自于各种类型的地图资料。
不同的地图资料根据其成图的目的与需要的不同而采用不同的地图投影。
当来自这些地图资料的数据进入计算机时，首先就必须将它们进行转换，用共同的地理坐标系统和直角坐标系统作为参照系来记录存储各种信息要素的地理位置和属性，保证同一地理信息系统内（甚至不同的地理信息系统之间）的信息数据能够实现交换、配准和共享，否则后续所有基于地理位置分析、处理及应用都是不可能的。
地图投影对地理信息系统的影响是渗透在地理信息系统建设的各个方面的，它们之间的相互关系见图3－2–1。
地图投影
（地理基础）
数据输入数据处理数据应用数据输出
（源地图投影数据）（投影变换）（检索、空间分析（有相应投影的
依据数据库投影）地图）
图3-2-1地图投影与GIS的关系
二、GIS中地图投影的配置与设计
通过对国内外各种地理信息系统分析，可以发现，各种地理信息系统中投影系统的配置与设计一般具有以下的特点：
1．各个国家的地理信息系统所采用的投影系统与该国的基本比例尺地图系列所用的投影系统一致；
2．地理信息系统中各种比例尺的投影系统与其相应比例尺的主要信息源地图所用的投影一致；
3．各地区的地理信息系统中的投影系统与其所在区域适用的投影系统一致；
4．各种地理信息系统一般只采用一种或两种投影系统，以保证地理定位框架的统一。
对上述特征，还可以从国外一些国家的地理信息系统的配置中分析得到。
加拿大地理信息系统，简称为CGIS，是世界上公认的第一个地理信息系统。
这个系统的最主要的信息源是12000张各种用途的土地利用图，其比例尺系列为1∶12.5万、1∶25万、1∶50万，这些土地利用图是用同比例尺的地形图系列为地理底图编制而成的，采用了与加拿大国家地形图系列一致的地图投影系统，即大于、等于1∶50万时采用通用横轴墨卡托投影（UTM投影），小于1∶50万时采用正轴等角割圆锥投影（Lambert投影）。
CGIS以UTM投影作为系统的地理基础，考虑到图幅数量和使用方便等原因，选定了以1∶25万作为系统的主比例尺。
虽然小于1∶50万的地图上精确定位信息小，可量测性差，但鉴于CGIS的数据处理子系统具有自动拼幅形成较大区域数据库的能力，以及CGIS以全国、省、市、地方四级为存储、分析、检索和输出层次，且加拿大国家基本比例尺地图多采用Lambert投影，故该系统同时配置了Lambert投影作为中小比例尺数据的地理基础。
日本国土信息系统（ISLAND）是日本国家地理信息系统中最具规模和最具代表性的,它的目的是更为有效的管理有关国土的各种数字化信息和图像信息。
它的主要数据来源是地形图、土地利用图、航片和卫片。
日本的地形图和土地利用图系列采用了UTM投影，卫片采用了斜轴墨卡托（HOM）投影，航片采用了UTM投影，故ISLAND采用了UTM投影。
美国的地理信息系统建设的特点是先分散后统一，其所建系统的数量之多遥遥领先于世界上任何一个国家。
UTM投影是美国国家基本比例尺地图系统所用的投影系统，州平面坐标系是美国国家海洋测量局，在国家大地测量系统中的UTM投影的基础上，为每个州设计的平面坐标系统。
州平面坐标系统以高斯—克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）和Lambert投影为主，局部地区采用了HOM投影。
州平面坐标系在设计时已经顾及到了投影对所在区域的地理适应性，保证了该州范围内投影的精度，故大多数州际的地理信息系统也选用了州平面坐标系为系统的数学基础。
由此，可以给出地理信息系统中地图投影配置的一般原则为：
1．所配置的投影系统应与相应比例尺的国家基本图（基本比例尺地形图、基本省区图或国家大地图集）投影系统一致；
2．系统一般最多只采用两种投影系统，一种服务于大比例尺的数据处理与输入输出，另一种服务于中小比例尺；
3．所用投影以等角投影为宜；
4．所用投影应能与网格坐标系统相适应，即所用的网格系统在投影带中应保持完整。
§3.3我国地理信息系统中的地图投影的应用
我国的各种地理信息系统中都采用了与我国基本比例尺地形图系列一致的地图投影系统，这就是大于等于1∶50万时采用高斯—克吕格投影，1∶100万采用正轴等角割圆锥投影。
这种坐标系统的配置与设计是因为：
1．我国基本比例尺地形图（1∶5千，1∶1万，1∶2.5万，1∶5万，1∶10万，1∶25万，1∶50万和1∶100万）中大于等于1∶50万的图均采用高斯—克吕格投影为地理基础；2．我国1∶100万地形图采用正轴等角割圆锥投影，其分幅与国际百万分之一所采用的分幅一致；
3．我国大部分省区图多采用正轴等角割圆锥投影和属于同一投影系统的正轴等面积割圆锥投影；
4．正轴等角圆锥投影中，地球表面上两点间的最短距离（即大圆航线）表现为近于直线，这有利于地理信息系统中空间分析和信息量度的正确实施。
因此，我国地理信息系统中采用高斯投影和正轴等角圆锥投影既适合我国的国情，也符合国际上通行的标准，下面对这两种投影分别予以介绍。
一、高斯—克吕格投影
我国现行的大于及等于1∶50万比例尺的各种地形图都采用高斯—克吕格投影，简称高斯投影。
（一）高斯投影的概念
高斯投影从几何概念上分析，它是一种等角横切椭圆柱投影。
如图3-3-1所示，我们把地球看成是地球椭球体，假想用一个椭圆筒横套在其上，使筒与地球椭球体的某一经线相切，椭圆筒的中心轴位于赤道上，按等角条件将地球表面投影到椭圆筒上，然后将椭圆筒展开成平面。
X
Nˊ
N
O
Y
O
赤道
Sˊ
S
图3-3-1高斯—克吕格投影
（二）高斯投影的基本条件（性质）
1．中央经线（椭圆筒和地球椭球体的切线）和赤道投影成垂直相交的直线；
2．投影后没有角度变形（即经纬线投影后仍正交）；
3．中央经线上没有长度变形，等变形线为平行于中央经线的直线。
根据上述三个条件，即可导出高斯投影的直角坐标基本公式：
Y
式中：
X，Y——平面直角坐标系的纵、横坐标；
ϕ、λ——椭球面上地理坐标系的经纬度（分别自赤道和投影带中央经线起算）；s——由赤道至纬度的子午线弧长；
N——纬度处的卯酉圈曲率半径（可据纬度由制图用表查取）；
η——η2=e′2cos2，其中e′2=（a2－b2）/b2，为地球的第二偏心率，a，b分别为地球椭球体的长短轴。
（三）投影的变形分析与投影带的划分
+…
高斯投影没有角度变形，面积变形是通过长度变形来表达的。
其长度变形的基本公式为：
由公式可知长度变形的规律是：
1．中央经线上没有长度变形，即λ=0时，μ=1；
2．在同一条纬线上，离中央经线越远变形越大，即λ增大，μ也增大；
3．在同一条经线上，纬度越低，变形越大，即φ越小，μ越大。
表3－1为高斯投影6°带内长度变形值。
表3－1说明，投影变形最大值在赤道和投影边缘经线的交点上。
当经差为±3°时，长度变形为1.38‰，3°带范围内最大长度变形为0.38‰。
表3―1
变经
形差纬度值
0°
1°
2°
3°
90°
0
0．00000
0．00000
0．00000
80°
0
0．00000
0．00002
0．00004
70°
0
0．00002
0．00004
0．00006
60°
0
0．00004
0．00015
0．00034
50°
0
0．00006
0．00025
0．00057
40°
0
0．00009
0．00036
0．00081
30°
0
0．00012
0．00046
0．00103
20°
0
0．00013
0．00054
0．00121
10°
0
0．00014
0．00059
0．00134
0°
0
0．00015
0．00061
0．00138
为了控制投影变形不致过大，保证地形图精度，高斯投影采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度。
我国规定1∶2.5万—1∶50万地形图均采用经差6°分带，大于等于1∶1万比例尺地形图采用经差3°分带。
6°分带法从格林尼治零度经线起，自东半球向西半球，每经差6°分为一个投影带，见图3-3-2。
……
图3―3―2高斯投影分带示意图
东半球的30个投影带，是从0°起算往东划分，即东经0°—6°，6°—12°，…，174°—180°，用阿拉伯数字1—30予以标记。
各投影带的中央经线位置，可用下式计算（式中n为投影带带号）：
L0=（6n-3）°
西半球的30个投影带，是从180°起算，回到0°，即，西经180°-174°，174°-168°，……，6°—0°；各带的带号为31—60，各投影带中央经线的位置，可用下式计算（式中n为投影带带号）：
L0=（6n-3）°-360°
我国领土位于东经72°—136°之间，共包括11个投影带，即13—23带，各带的中央经线分别为75°，81°，……，135°，如图3-3-2。
3°分带法从东经1°30′算起，每3°为一带，将全球划分为120个投影带，即东经1°30′—4°30′，4°30′—7°30′，……，东经178°30′至西经178°30′，……，西经1°30′至东经1°30′。
其中央经线的位置分别为3°，6°，9°，……，180°，西经177°，……，3°，0°。
这样分带的目的在于使6°带的中央经线均为3°带的中央经线。
即3°带中有半数的中央经线同6°带重合，在从3°带转换成6°带时，可以直接转用，不需任何计算。
X
Xˊ
（四）高斯平面直角坐标网
高斯投影平面直角网，它是由高斯投影每一个投影
带构成一个单独的坐标系。
投影带的中央经线投影后的
B
直线为x轴（纵轴）,赤道投影后的直线为y轴（横轴）,它
XB
A
们的交点为原点。
Y
XA
我国位于北半球，全部x值都是正值，在每个投影
YBˊ
YB
Yˊ
O
Oˊ
带中则有一半的y值为负。
为了使计算中避免横坐标y
500km
YA
值出现负值，规定每带的中央经线西移500公里。
由于
YAˊ
图3―3―3
高斯投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相
对值，所以，各带的坐标完全相同。
为了指出投影带是
哪一带，规定要在横坐标（通用值）之前加上带号即可。
因此，计算一个带的坐标值，制成表格，就可供查取各投影带的坐标时使用（有关地形图图廓点坐标值可从《高斯—克吕格坐标表》中查取）。
如图3-3-3，A、B两点原来的横坐标分别为：
yA=245863.7m
yB=-168474.8m
纵坐标轴西移500公里后，其横坐标分别为：
yA′=745863.7m
yB′=331525.2m
加上带号，如A、B两点位于第20带，其通用坐标为：
yA″=20745863.7m
yB″=20331525.2m
二、正轴等角圆锥投影
（一）定义
假想一个圆锥其轴与地球椭球旋转轴重合地套在椭球上，按等角的条件把地球椭球上经纬线投影到圆锥面上，然后沿一条母线（经线）将圆锥面切开展成平面，这就是正轴等角圆锥投影。
这种投影最适合于中纬度地区，为世界上许多国家制作地图所使用。
我国新编的1∶100万地图采用双标准纬线正等轴角圆锥投影，见图3-3-4，即圆锥面与椭球面相割的两条纬线圈，称之为标准纬线（φ1,φ2）。
采用双标准纬线的相割比采用单标准纬线的相切，其投影变形小而均匀。
为了提高投影精度，我国1∶100万地图的投影是按百万分之一地图的纬度划分原则（从0°开始，纬差4°一幅），从南到北共分成15个投影带，每个投影带单独计算坐标，建立数学基础。
图3-3-4正等角割圆锥投影及其经纬线图形
两条标准纬线近似地选在下式所示的位置，见图3-3-5。
φ1≈φs+30′
φ2≈φN–30′
处于同一投影带中的各图幅的坐标成果完全相同，因此，每投影带只需计算其中一幅图（纬差4°，经差6°）的投影成果即可。
（二）投影变形
正等角割圆锥投影变形的分布规律是：
1.角度没有变形，即投影前后对应的微分面积保持图形相似，故亦可称为正形投影。
2.等变形线和纬线一致，同一条纬线上的变形处处相等；
3.两条标准纬线上没有任何变形；
4.在同一经线上，两标准纬线外侧为正变形（长度比大于1），而两标准纬线之间为负变形（长度比小于1）。
因此，变形比较均匀，绝对值也比较小；
5.同一纬线上等经差的线段长度相等，两条纬线间的经纬线长度处处相等。
φS
图3-3-5双标准纬线图3-3-6投影变形规律
图3-3-6是用微分圆表示的双标准纬线正等角圆锥投影的变形分布情况。
由于采用分带投影，每带纬差较小，我国范围内的1∶100万地图变形值几乎相等，其长度变形最大不超过±0.03%（南北图廓、中间纬线上），面积变形约为长度变形的2倍。
由于是纬差4°分带投影的，所以当沿着纬线方向拼接地图时，不论多少图幅，均不会产生裂隙。
但是，当沿着经线方向拼接时，因拼接线分别处于上下不同的投影带，投影后的曲率不同，致使拼接时产生裂隙，其裂隙角（α）和最大裂隙距（Δ）可由下式计算：
α=λsin2°cosφ
Δ=Lsinα
式中λ和L分别为图幅的经差和边长。
当上下两幅拼接时（例如J区和K区两图幅），接点在中间（图3-3-7），φ=40°,λ=
6°/2=3°,L=512/2mm，按上述公式算出：
λ=4.82′，Δ=0.36mm
K-48
K-49
L
L
K-49
J-48
J-49
α
J-49
α
图3-3-7两幅图拼接图3-3-8四幅图拼接
当四幅图拼接时，例如J区和K区各两幅拼接（图3-3-8），φ=40°，λ=6°，L=512mm，按上述公式算出：
λ=9.625′
Δ=1.43mm
（三）成果表的应用
这种投影的直角坐标，是以图幅的中央经线作x轴，中央经线与最南边的纬线（φs）的交点作原点，过此点的切线作y轴，构成直角坐标系来计算的。
因此，按投影公式，以经
纬线交点的纬度和该点对中央经线的经差，即可算出其直角坐标值。
而且由于经纬网图形是以中央经线为轴左右对称的。
因此，只要计算右方经差为1°、2°、3°的经纬线交点的坐标，左方的经纬线交点的坐标，只需y值为负即可,见图3-3-9。
O
一幅图的直角坐标成果，可以在同一纬度带中通用。
现已将投影坐标数据列成表格，以供方便查用。
习题
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