同济大学马洪宽老师博弈论复习资料.docx

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同济大学马洪宽老师博弈论复习资料

博弈是一些个体，面对一定的环境，在一定的规章制度下，同时或先后，一次或多次在其允许的策略集中选择其行为并加以实施，最终获得一定结果的过程

博弈论从衡量利弊得失的角度出发，分析形势得出相应的对策，在决策的过程中考虑到参与的其他人的行为会相互影响的决策者，需要博弈论，决策中不考虑他人的行为的决策者不需要博弈论。

博弈论通常记为G或Γ，局中人的集合通常为N，为局中人n，局中人的策略集记为S，则某一策略记为αi，局中人i的策略组合为（αi,α-i），其中α-i表示局中人i以外所有人的策略组合。

局中人的收益U是α的函数，则博弈也记为G（N,S,U），若考虑信息则是G（N,S,U,I）

上策均衡：

每个人都有上策，博弈时必取上策，形成的均衡为上策均衡。

囚徒困境：

对每一行在第二个分量中划线，即甲策略不变时乙的策略。

反之亦然

乙

招

不招

甲

招

-5，-5

0，-8

不招

-8，0

-1，-1

两人都有上策均衡，亦为纳什均衡

智猪博弈：

有一开关，大猪小猪都按，则大猪得7单位，小猪得3单位；大猪按，小猪不按，大猪得6单位，小猪得4单位；小猪按，大猪不按，大猪得9单位，小猪得1单位；但是按一下会消耗2单位（此处隐含条件，两者都不按则无收益与支出）。

小

按

不按

大

按

5，1

4，4

不按

9，-1

0，0

此时小猪有上策[不按]，但是大猪无上策——小猪选择不同，大猪选择也相应不同。

此时（大猪，小猪）的纳什均衡为（按，不按）

此情境可推广至投资机构与散户的投资行为。

机构研究市场动向，之后散户跟风。

娱乐博弈：

甲爱象棋，乙爱围棋，甲乙一起下象棋，甲得5，乙得2；甲乙一起下围棋，甲得2，乙得5；但是两人选择不同则游戏无法开始。

乙

象

围

甲

象

5，2

0，0

围

0，0

2，5

两人均无上策，（甲，乙）的纳什均衡为（象，象）或（围，围）

便士博弈：

甲乙同时放一枚硬币，如同面则乙给甲1块钱，如异面则甲给乙1块钱

乙

正

反

甲

正

1，-1

-1，1

反

-1，1

1，-1

此题不存在纯策略静态博弈的纳什均衡，但有混策略均衡。

混策略的原则是做出某种概率，使对方的收益无差异。

设甲取正概率为p，可写出乙的期望收益，欲使乙无差异，则p=0.5；同样，对乙的选择亦如此。

定理：

任意有限博弈必定存在一纳什均衡。

古诺模型（产量决策模型）：

甲乙两厂商生产一产品，价格函数为P=8-Q，单位成本C=2，问甲乙应如何定产量？

解：

设甲产q1，乙产q2，则Q=q1+q2

π1=Pq1-Cq1=（8-q1-q2）q1-2q1=-q12+（6-q2）q1

同理可得：

令两偏导数均为零，解得q1=q2=2

则π1=π2=4

卡特尔：

甲乙约定“各产一半，利润均分”

π=（8-Q）Q-2Q，求导得Q=3时π最大，即各产1.5，各得4.5

但根据π1=-q12+（6-q2）q1可算出在q2=1.5时甲利润最大的产量并不是1.5，而是2.25，此时甲可得利润5.0625，因此合作不牢固

下策：

无论对方如何行动，甲在α和β两个策略中都有α优于β，则称β为下策；与上策不同，上策是优于所有其他策略的策略，而下策是只要劣于任意一个其他策略的策略

博弈树：

描述动态博弈的工具，注意两个节点是否因信息未知而实际为一个

借钱还钱博弈：

甲向乙借钱，乙可以选择借或不借，如果不借则两者均无收益支出，选择借，则甲可以选择还或者不还，选择还则甲乙收益均为1，选择不还则乙可选择诉讼还是不诉讼，诉讼收益为甲1.5，乙0.5，不诉讼则甲4，乙-2。

画博弈树，利用递推归纳法

乙

甲

乙

借

不借

还

不诉

诉

0,0

1,1

0.5,1.5

-2,4

斯塔克伯格模型：

P=8-Q，单位成本C=2，甲先确定其产量，之后已确定其产量，问两者产量各多少。

先看第二阶段，乙的利润函数π2=6q2-q1q2-q22，对q2求偏导，可得q2=（6-q1）/2，之后将此式代入π1，得π1=3q1-q12/2，求导得q1=3，q2=1.5

工资的确定：

第一阶段，工会定工资，收益U（w,L），w为工资，L为被雇佣人数。

第二阶段，企业雇佣人，利润π=R（L）-wL，R为L个人生产的产值。

解：

先分析第二阶段，企业雇佣人数为π对L的偏导，求出L，继而进入第一阶段，将L代入U（w,L），求U对w的偏导，即可求出w。

这种方法现实中并非双方默契，而需要双方谈判达成。

折现率：

明年100元在今年值a元，则折现率δ=a/100。

注意：

老师上课将δ称为贴现率，这是错误的。

讨价还价博弈：

甲乙分钱，甲先提出一种分法，乙可以选择同意或拒绝，如拒绝则乙提一种分法，甲同意或拒绝，如拒绝则甲提一种分法，乙必须同意。

如果规则仅仅如此，则结果必然是甲全拿，乙无收获，即（1,0）。

理由如下：

如果博弈可以进入第三阶段，则甲必然将钱全部据为既有，则在第二阶段无论乙如何划分，甲都必须拒绝，则在第一阶段甲亦会做出甲得1，乙得0的划分，第一阶段乙无论同意或拒绝都改变不了最终结果。

规则修改：

每一阶段的折现率为δ（0<δ<1），即假设博弈进入第二阶段，则总钱数将不为1而是δ。

解：

博弈树如下：

之所以将第二阶段与第三阶段的分钱方案写为δq2与δ2q3，是因为这样会简化计算，无实质性差异。

第三阶段的分法是（δ2q3,δ2（1-q3）），而如果在第二阶段有δq2>=δ2q3，则在第二阶段甲会选择同意而不会进入第三阶段（注意，如果甲此时选择进入下一阶段则甲收益不少，但乙收益会减少，而我们假设每个理性人只考虑自己利益最大化，而不理会其他人利益，故在保证自己利益的情况下不会去损害他人，当然零和博弈保护自己即是损害他人，如每一阶段独立来看都是广义零和博弈）。

同样，如果在第一阶段有1-q1>=δ（1-q2），则乙会直接同意而不进入第二阶段。

取临界等式，可得q1=1-δ+δ2q3。

即如果在第三阶段有一分法（δ2q3,δ2（1-q3）），则相应的在第一阶段必定有双方同意分法（1-δ+δ2q3,δ-δ2q3）。

显然，在第三阶段甲会独吞剩余钱数，即q3=1，甲得到δ2，则第一阶段的分法将会是（1-δ+δ2,δ-δ2），即如果折现率为1或0，则甲都会独吞，但折现率在0和1之间，甲不会独吞。

甲乙永远不会相等，差距最小时为δ=0.5，说明该规则先下手为强。

规则改变2：

假设可进行无限多次讨价还价，即如有一方不同意，则永远按上述规则讨论下去，直到双方同意为止，同样现值也会以每回合δ的比率折减。

博弈树如图

无法使用递推归纳，因不存在最后一个阶段。

可将决策树砍掉前两个阶段并与原决策树进行比较，由于有无限多过程，则两决策树等同，即第三阶段与第一阶段没有任何差别，是全等的，因此在第三阶段可以达到的协议在第一阶段就也可以达成。

这样就可以将无限阶段动态博弈改为三阶段动态博弈。

如上题结论，如果在第三阶段甲可以得到1-δ+δ2q，则第一阶段甲必定可以得到q，由于第一和第三阶段完全等同，则q=1-δ+δ2q，解得q=1/（1+δ），即第一阶段分法为（1/（1+δ）,δ/（1+δ））。

此时结论便不相同，如果δ为1，即不发生现值折减，则两人会平分；如果δ为0，则甲独吞——因即使乙不同意乙也什么都得不到，这可以解释现实情况，因现实中多为终点不确定的博弈——可等同于无限次博弈。

关税与国际市场模型：

太复杂，略过

银行挤兑模型：

银行有一200万元项目，一年后本利和220万，甲乙各有100万，如甲乙都将100万存入，一年后可得110万，如中途有人提前取款，银行只得卖掉项目得160万，先到者得100万，后到者60万，如两人同时提前取，各得80万。

分析：

第一阶段，甲乙是否存款；第二阶段，甲乙提前还是到期取款。

解：

先分析第二阶段，见下表：

乙

提前

到期

甲

提前

80，80

100，60

到期

60，100

100，100

则有两个纳什均衡（提前，提前）和（到期，到期），再分析第一阶段

乙

存

不存

甲

存

进入第二阶段

100，100

不存

100，100

100，100

综合来看，在（存，存）策略中会有两种可能的收益情况：

乙

存

不存

甲

存

110,110或80,80

100，100

不存

100，100

100，100

但此时双方都会预见到只要自己不主动提前支取，另一方不会提前支取的，同时自己没必要提前支取，因到期支取获得的收益要大，因此博弈的稳定结果为（存，存）以及（到期，到期）

重复博弈：

一次博弈，策略集中有P个元素，则重复T次，策略集中有PT个元素。

连锁店悖论：

甲在某地先开连锁店，之后乙也想在此地开连锁店，甲的策略集（默许，斗争），乙的策略集（进入，不进入）

乙

进入

不进入

甲

默许

50，40

100，0

斗争

0，-10

100，0

纳什均衡应当为（默许，进入）

修改规则：

将此博弈重复20次（可理解为有20个地区遇到相同情况），问结果如何？

完美信息动态博弈，最后一阶段必取均衡。

假设有n个阶段（n有限），在第n阶段时前n-1个阶段的收益已定，在第n阶段收益多少决定了总博弈收益多少。

同理，n-1也必取均衡……因此所有阶段都要取均衡。

这样甲乙的收益为（2000,1600）。

但这样分析可能与现实产生矛盾。

甲可以在前5回合都选斗争，之后乙亏损严重退出竞争，之后15回合乙都不进入，此时甲收益1500>1000。

说明不能简单认为每回合都取均衡，可以设计策略。

定价博弈：

甲乙对一个商品进行定价，支付矩阵如下表

乙

高

中

低

甲

高

5，5

0，6

0，2

中

6，0

3，3

0，2

低

2，0

2，0

1，1

在一次博弈中均衡为（中，中）或（低，低），但在重复博弈中可设计策略。

现将此博弈重复两次，策略可如此设计：

第一阶段甲取高，如乙也取高，则第二阶段甲取中；如第一阶段乙取中，则第二阶段甲取低。

此策略对乙也是相同。

如果乙选择合作，则收益为5+3=8，如乙不合作，则收益至多为6+1=7，则乙会选择合作。

对甲亦如此

最后一阶段必然需要取均衡，因最后一阶段没有约束手段，不可能达成合作。

一次性博弈中如局中人收益和最大者对应的策略组合未实现，则在重复博弈中产生合作的可能，即产生新的均衡（提高社会总收益）的可能。

产生的方法：

先试图合作，如对方合作则继续合作；如对方不合作，则从此一直不合作，称为触发策略。

触发策略产生了重复博弈的一均衡。

市场选择

甲乙各有A、B连个投资机会，如两人均A，各得3；一A一B，选A得1，选B得4；如两人均B，各得0。

问重复2、3、4次会如何？

一次博弈矩阵：

乙

A

B

甲

A

3，3

1，4

B

4，1

0，0

重复2次：

如两次（A，B），则甲2乙8；两次（B，A），则甲8乙2；一次（A，B）一次（B，A），则甲乙各5。

则可采用轮换策略，以示公平。

但此时（A，A）取不到，因没有惩罚方式，不会合作。

重复3次：

可设计策略。

第一阶段甲先取A，如乙也取A，则第二阶段甲取A，第三阶段甲取B；如第一阶段乙取B，则甲在二、三阶段均取B。

此时乙如果合作，收益为3+4+1=8；如不合作，收益为4+1+1=6。

因此乙会合作。

用后两个阶段的轮换策略保证第一阶段的合作。

重复4次：

设计策略类似，即甲在第一阶段先取A，如乙也取A，则与重复3次的情况相同；如乙取B，则甲在后续所有阶段均取B。

此时乙如果一直合作，收益为11；如乙第二阶段不合作，收益为9；一直不合作，收益为7。

价格战无限次重复

甲乙两厂商，各有高、低两种价格可选择，两人均高，各得4；一高一低，高者0，低者5；两人均低，各得1。

无限次重复，贴现率δ。

一次博弈的收益矩阵：

乙

高

低

甲

高

4，4

0，5

低

5，0

1，1

则在一次博弈中有均衡（低，低），收益之和最大值（高，高）未实现。

触发策略：

先试图取高，如对方取高，则继续取高；如对方取低，则此后一直取低。

如果合作，第一次得4，现值4；第二次得4，现值4δ；第三次得4，现值4δ2。

无限次后现值为：

如果不合作，第一次得5，以后都得1。

无限次后现值为：

令合作>不合作，得δ>1/4，因此当δ>1/4时合作，否则不合作。

古诺模型无限次博弈

低水平合作：

先产q*，如对方也q*，则会继续合作，如不产q*，则以后都产2。

高水平合作：

需加大惩罚力度，实现高水平合作——各产1.5。

第一阶段先产1.5，如对方不合作，则在第二阶段选择一产量惩罚对方，迫使对方合作。

并且如果对方想和好则产与己方相同的产量，否则会招致更严厉惩罚。

只适用于我强敌弱的情况。

具体计算太复杂。

信息不对称——有人多有人少。

信息不对称发生在交易前称为事前信息不对称（如商家欺诈消费者，商家在交易前便知道商品有问题，但消费者不知道），反之称为事后信息不对称（如贪污腐败的官员在上任之前无法贪污，此时官与民都不知其是否会贪污，只有权力在手才是其贪污的基础）。

研究事前不对称的理论称为逆向选择，研究事后不对称的理论称为道德风险。

旧车模型

甲有一辆二手车要卖掉，乙考虑是否买。

乙不清楚车质量为何，只愿意以这类车的平均价格成交，此时相对较好车的卖家会因损失太大而退出市场，市场中只留下差车，即为逆向选择。

类比：

贷款利率提高，还贷能力强（之前能还贷，现在不能还贷）的人不会贷款，而还贷能力弱（之前还不起，现在更还不起）的人会继续贷款——次贷危机；医疗保险收费增加，不爱生病的人由于用不掉医疗费而不投保，总生病的人却依然要投保。

好车价值V，差车价值W，价格P，有W

好车的概率是q。

第一阶段不是甲的主观选择，而是客观事实，可以用自然代替。

递推归纳法：

先第三阶段，乙考虑是否买：

买的期望效用q（V-P）+（1-q）（W-P），不买效用为零。

当前式的值大于零时买。

再第二阶段，甲决定是否卖，并且差车是否要伪装成好车：

当P-C<0时，差车一定不伪装，否则亏本

双价二手车模型：

有P低

第三阶段，乙决定买高价车或低价车：

买高价的期望效用：

q（V-PH）+（1-q）（W-PH）；买低价的效用：

W-PL——低价不存在概率，因甲没必要将好车卖低价。

当高价车的期望效用大于低价车的效用时买高价，化简可得临界点：

q（V-W）>PH-PL

V-W>（PH-PL）/q>PH-PL，也即价值差要大于价格差，说明消费者买东西希望物有所值。

（不进行市场监管会损害合法商家的利益）

市场完全成功：

好商品的厂商将商品完全投放市场，差商品不投放市场，消费者购买所有商品。

市场部分成功：

好商品和差商品的厂商都将商品完全投放市场，消费者购买市场上所有商品

市场趋于失败：

好商品的厂商将商品完全投放市场，差商品部分投放市场，消费者以某个概率购买商品。

（会导致逆向选择）

市场完全失败：

厂商不进入市场，消费者不买东西

博弈中，如局中人甲有信息A，其他局中人不完全了解信息A（不是完全不了解），且信息A影响其他局中人的收益，则称信息A为局中人甲的私人信息。

均衡中，不同类型私人信息的局中人行为不同，则此均衡为分离均衡；均衡中不同类型私人信息的局中人行为相同，则此均衡为混同均衡。

有私人信息的局中人成为代理；没有私人信息的局中人成为委托。

委托不能控制代理的行为，也无法监督，并且代理的努力程度与工作结果并无直接的关系。

委托只能根据委托——代理合同影响代理的努力程度。

设计一合同（机制）让代理努力。

激励机制设计。

委托——代理模型（讨论道德风险）

三个层次：

1.代理的努力程度与工作结果有直接的关系

2.代理的努力程度与工作结果无直接关系，但委托可以监督代理的行为

3.代理的努力程度与工作结果无直接关系，且委托不能完全监督代理的行为

有一个送水站雇主，自己可送30个客户，现有45个客户，考虑是否雇帮手。

第1层次：

代理努力，则委托得高收益RH1；代理偷懒，则委托得低收益RL1；代理努力得高工资WH1，代理偷懒得低工资WH2；代理的努力成本e，委托有初始收益R0（即不雇人时的收益），代理有机会成本W0

第一阶段：

委托决定是否雇人；第二阶段：

代理决定是否应聘；第三阶段：

代理决定是否努力

逆推归纳：

第三阶段：

当WH1-e>WL1时，代理努力

第二阶段：

代理可用保守策略，即当WH1-e和WL1均大于W0时应聘，但委托不希望这样，则委托会设定：

WH1>W0>WL1

第一阶段：

委托用保守策略，当RH1和RL1均大于R0时雇。

但既然鼓励工人努力，则应RH1>R0时即雇

第2层次：

因代理的努力程度，委托可监督。

不论产出多少，努力即给高工资，偷懒即给低工资，风险（因努力也有可能低产出）由委托一人承担。

对代理模型不变；对委托，当努力的期望收益大于不雇人时收益时雇，即pRH2+（1-p）RL2>R0时雇。

RL2RH1

以上可说明在不确定情况下，产出水平要提高才会雇，不确定情况下就业形势比确定情况严峻。

第3层次：

代理的努力程度与工作结果无直接关系，且代理的努力程度委托无法监督，委托只能看到高产出或低产出。

此时风险分担。

第三阶段：

代理努力得期望工资p（WH3-e）+（1-p）（WL3-e）；代理偷懒得期望工资qWH3+（1-q）WL3。

当前者大于后者时努力，即WH3-WL3>e/（p-q）时努力。

而在第1层次WH1-WL1>e时努力。

0e，亦差距很大。

同时WH3-WL3>WH1-WL1。

第3层次的工资差要比前两个层次都大。

p（WH3-e）+（1+p）（WL3-e）>W0时应聘，比照第1层次，WL3WH1。

同理pRH3+（1-p）RL3>R0

效率工资：

高工资能提高员工的生产率，从而提高企业的利润

在发展中国家，高工资能使员工多购买一些生活必需品，从而提高了员工的身体健康水平，使员工能更好地工作；在发达国家，高工资能减少员工的离职情况，使企业有一稳定的员工队伍，保证企业的生产能正常进行。

工资逆向选择：

当企业工资较低，员工们就会想另谋他只，此时技术好、能力强的员工更容易找到其他工作而离职，而能力较差的员工不易找到其他工作，只有留在原企业（逆向选择）。

工资相对其他企业较高时，不但本企业员工不愿离职，而且其他企业员工也会想要进来就只（如择优录取，则本企业员工平均水平上升）

高工资会减少道德风险。

通常企业无法完全监督员工的努力程度，只能偶尔监督，或考察一些指标，不合格者则辞退。

当企业工资较高时，员工因担心不努力被检测到后遭辞退而失去高工资，故会提高努力程度。

高工资会提高失业率

效率工资如何确定——给多少工资能使员工努力工作？

员工如努力，则一直高产出；员工偷懒时，p可能性高产出，1-p概率低产出。

贴现率δ。

员工一直努力，每阶段工资W*-e，总现值为

等价为两阶段博弈：

第一阶段得W*-e，第二阶段得Ve。

Ve=W*-e+Veδ，得相同结果

考试内容：

概念：

完全信息：

一博弈中，一局中人对各种策略组合下格局中人的收益完全了解。

不完全信息：

对局中人收益不完全了解

完美信息：

动态博弈中，轮到行为的局中人能完全观测已行为的局中人的行为。

不完美信息：

对已行为的有些局中人的有些行为不能完全观测

静态博弈：

一博弈，所有的局中人都只有一次行为机会，且其在信息意义下同时行为。

动态博弈：

有些局中人有不止一次的行为机会，或有些局中人在行为前能观测一些他人的行为。

纳什均衡：

一博弈中，如存在一策略组合，单个局中人独自离开这个策略组合，其收益不会增加。

（选了其他策略，而不是离开博弈）

逆向选择：

信息不对称发生在签约前，称为事前信息不对称。

研究事前信息不对称的理论或模型称为逆向选择。

道德风险：

信息不对称发生在签约后。

分离均衡：

如一均衡中，不同类型局中人的行为不同，则此均衡称为分离均衡

混同均衡：

如一均衡中，不同类型局中人的行为相同。

海萨尼转换：

引进一虚拟局中人（自然），让自然确定有私人信息的局中人的类型作为博弈的第一阶段，然后再进行原博弈（原静态变动态，原n阶段动态变n+1阶段动态）。

把对局中人类型的不了解转化为对局中人行为的不了解；把不完全信息转化为不完美信息。

基本方法：

分析博弈的类型：

静态、动态、完全、完美？

收益矩阵分析博弈（划线法）

博弈树分析博弈

旧车模型

委托代理

无限次重复博弈，求δ，使可以合作

古诺模型：

最简单的一种

旧车模型

甲有一辆二手车要卖掉，乙考虑是否买。

乙不清楚车质量为何，只愿意以这类车的平均价格成交，此时相对较好车的卖家会因损失太大而退出市场，市场中只留下差车，即为逆向选择。

类比：

贷款利率提高，还贷能力强（之前能还贷，现在不能还贷）的人不会贷款，而还贷能力弱（之前还不起，现在更还不起）的人会继续贷款——次贷危机；医疗保险收费增加，不爱生病的人由于用不掉医疗费而不投保，总生病的人却依然要投保。

好车价值V，差车价值W，价格P，有W

好车的概率是q。

第一阶段不是甲的主观选择，而是客观事实，可以用自然代替。

递推归纳法：

先第三阶段，乙考虑是否买：

买的期望效用q（V-P）+（1-q）（W-P），不买效用为零。

当前式的值大于零时买。

再第二阶段，甲决定是否卖，并且差车是否要伪装成好车：

当P-C<0时，差车一定不伪装，否则亏本

双价二手车模型：

有P低

第三阶段，乙决定买高价车或低价车：

买高价的期望效用：

q（V-PH）+（1-q）（W-PH）；买低价的效用：

W-PL——低价不存在概率，因甲没必要将好车卖低价。

当高价车的期望效用大于低价车的效用时买高价，化简可得临界点：

q（V-W）>PH-PL

V-W>（PH-PL）/q>PH-PL，也即价值差要大于价格差，说明消费者买东西希望物有所值。

（不进行市场监管会损害合法商家的利益）

委托——代理模型（讨论道德风险）

三个层次：

1.代理的努力程度与工作结果有直接的关系

2.代理的努力程度与工作结果无直接关系，但委托可以监督代理的行为

3.代理的努力程度与工作结果无直接关系，且委托不能完全监督代理的行为

有一个送水站雇主，自己可送30个客户，现有45个客户，考虑是否雇帮手。

第1层次：

代理努力，则委托得高收益RH1；代理偷懒，则委托得低收益RL1；代理努力得高工资WH1，代理偷懒得低工资WH2；代理的努力成本e，委托有初始收益R0（即不雇人时的收益），代理有机会成本W0

第一阶段：

委托决定是否雇人；第二阶段：

代理决定是否应聘；第三阶段：

代理决定是否努力

逆推归纳：

第三阶段：

当WH1-e>WL1时，代理努力

第二阶段：

代理可用保守策略，即当WH1-e和WL1均大于W0时应聘，但委托不希望这样，则委托会设定：

WH1>W0>WL1

第一阶段：

委托用保守策略，当RH1和RL1均大于R0时雇。

但既然鼓励工人努力，则应RH1>R0时即雇

第2层次：

因代理的努力程度，委托可监督。

不论产出多少