道路减速带的减速模型的研究数学建模.docx

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道路减速带的减速模型的研究数学建模

道路减速带的减速模型的研究

一．摘要

本文将轮胎视为刚体建立车辆经过减速带时的减速模型——圆弧形数学模型和相切抛物形数学模型，对车辆经过减速带时进行动力学分析，并建立适当的平面直角坐标系进行相应的几何分析得到车辆速度和加速度的表达式，利用MATLAB和Lingo等计算软件进行求解，进而对减速带的减速效果进行分析。

对于问题一，模型一得出汽车轮轴在经过减速带时的轨迹方程，分别对时间求一阶导数和二阶导数得到相应的速度和加速度的表达式。

考虑到车辆通过减速带的安全性和平稳性，运用物理知识对汽车通过减速带时进行力学分析，得到临界速度。

模型二在模型一的基础上，在减速带截面曲线两边接上过度曲线，增加汽车通过减速带的安全性，经MATLAB对该数学模型仿真发现相切抛物线作为过渡曲线为最佳减速带形状，用类似于模型一的方法得到临界速度。

通过查阅文献得知六种减速带的尺寸参数，分别代入上述表达式便求得相应的临界速度。

对于问题二，模型一定义减速效果为在车辆通过减速区域的时间内车辆以初速度做匀速直线运动通过的距离与在相同时间内同过减速区域的距离之差再与做匀速直线运动通过的距离之商。

相应的距离通过相关的动力学分析和计算便可得到，最后将所对应的六种减速带的尺寸规格与减速带之间的距离的关系用MATLAB画出它们的关系图。

模型二则是通过对车辆通过减速带前后的动力学分析，求得车辆通过减速带的总时间以及在减速区域内的最大速度来说明减速带的减速效果，总时间为12.79s，减速区域中的最大速度为13.1m/s。

对于问题三，定义减速效果最优为在不超过限制速度的前提下，人体的舒适度最大，并且保证不堵车的情况下的通过减速带的时间最短。

模型一对能达到最优减速效果的车辆速度每隔10km/h设定了限速区间，在不同的限速区间内减速带的最优设置不同，对范围内的速度进行分析，最终得到每一个限速区间所对应的减速带的最优设置尺寸和通过相应减速带的最短时间。

模型二在其对问题二分析的基础上，对减速带之间的距离进行限制，使得车辆在第二次减速之前的速度还未加速到初始速度，再在最优减速效果的基础上求使经过减速区域的总时间最小的三条减速带两两之间的距离，结果为当时，即第一二两条减速带之间距离为18或82米，二三两条减速带之间为82或18米时，最短时间为。

关键词：

圆弧形相切抛物线动力学分析临界速度限速区间

二．问题重述

某单位的办公场所地处一主干道边上，主干道上车流量较大，车速达到平均每小时60公里，对人员的进出造成了一定的威胁。

交警部门打算在该路段路面设置减速带，达到使来往车辆减速的目的。

（1）建立道路减速带减速的数学模型；

（2）利用所建的数学模型分析在等距连续设置三道减速带的减速效果；

（3）利用所建的数学模型给出减速效果最优的三道减速带的设置方案。

三．问题分析

减速带作为一种特殊的道路安全设施，对遏制交通事故的发生发挥了重要作用。

从驾驶人速度选择来说，车辆的行驶速度很大程度上取决于驾驶人的期望车速,而驾驶人的期望速度又是根据其行驶安全感和乘坐舒适性决定的。

如果驾驶人的安全感高、乘坐舒适性好,则他的期望车速比较高；反之,驾驶人的期望车速就比较低。

道路减速带的控制车速原理是通过影响驾驶人的驾驶心理实现的。

当车辆以较高车速通过道路减速带时,剧烈的振动会从轮胎经由车身及座椅传递给驾驶人,产生强烈的生理刺激（包括振动刺激和视觉刺激）和心理刺激。

生理刺激使驾驶人产生很强烈的不舒服感,心理刺激会加深驾驶人的不安全疑虑,进一步降低了驾驶人对道路环境的安全感。

一般情况下,驾驶人认为不舒适度越大,车辆行驶安全性也越小,即安全感越小。

由此可知,道路减速带的设置会大大降低驾驶人行车安全感和乘坐舒适性的期望值,促使驾驶人选择较低的期望车速。

在期望车速的指导下,驾驶人将在没有外界压力的情况下,主动使车辆以较低的行车速度接近道路减速带。

目前常用的减速带主要有道钉减速带、驼峰式减速带、水泥台减速带、热塑振动减速带等,我国城市道路上最常见的是条状的橡胶减速带，因此本文主要对橡胶减速带建立相应的数学模型[3]。

对问题一分析，减速带的截面形状近似看成是圆弧形，忽略车轮的弹性，对车轮与减速带碰撞时进行几何分析，可以得到轮轴速度和加速度与时间的关系。

当司机行驶到距离减速带30米时，开始减速，将其近似为匀减速直线运动，到达减速带时看成匀速通过减速带，考虑到速度过大时车辆通过振动过大易飞出去，因此，对于问题一只要求出通过减速带时的临界速度即可。

对问题二分析，在问题一的基础上，定义减速效果为在车辆通过减速区域的时间内车辆以初速度做匀速直线运动通过的距离与在相同时间内同过减速区域的距离之差再除以做匀速直线运动通过的距离。

根据问题一求出的临界速度可以计算在相邻两减速带之间车辆经过减速和加速的时间，最后可以算得通过的距离，得到等间距设置的减速带的减速效果。

对问题三分析，定义减速效果最优为在不超过限制速度的前提下，人体的舒适度最大，并且保证不堵车的情况下的通过减速带的最大速度。

为使减速效果最优，则应在车辆加速时未达到初始速度就到达距离减速带为30米开始减速，若车辆在达到初始速度后有一段匀速期，则三条减速带的效果就和一条减速带的效果一样，这样设置三条减速带就失去了其减速作用的意义，故在刚达到或还未达到初始速度时就开始减速。

为达到效果最优，设定限制条件，由此并可求得三条减速带两两之间的距离以及最优宽度和高度。

四．基本假设

1、由于碰撞情况较复杂，为简化模型，忽略轮胎的弹性，将其视为刚体；

2、由于车轮经过减速带的距离很短，将汽车在通过减速带的这一段时间内的速度的大小近似看做是不变的；

3、为保证汽车在行驶过程中的速度只受减速带的影响，假设道路是平坦的，无弯道、坡度和凹坑等；

4、假设车辆在看到减速带区域之前做匀速直线运动；

5、假设通过减速带的车辆的载荷，型号以及车轮的半径相同；

6、由于司机的最远可视距离有限，并且每个人的视力范围有所差别，为简化模型，假设司机的刚看到减速带时到车辆的最远可视距离为定值；

7、司机看到减速带后并没有马上减速，而是在距离减速带约30米时才开始减速，通过减速带后又开始加速[1]；

8、车辆到达减速带前和越过减速带后的速度变化忽略，即减速带本身对车速的影响忽略不计，把车辆在减速带的位置看作为一质点；

9、不考虑车轮与减速带之间的摩擦。

五．模型建立

5.1模型一圆弧数学模型

5.1.1符号说明

表5.1模型一中变量符号说明

符号

描述

减速带圆弧半径（mm）

汽车轮胎半径（mm）

汽车通过减速带时的速度（km/h）

圆弧减速带圆心的纵坐标

汽车轮胎半径（mm）

司机在看到减速带之前做匀速直线运动的初速度（km/h）

汽车通过减速带时轮胎不脱离时的最大临界速度（km/h）

车辆在未到达第一条减速带前开始减速的时刻（s）

车辆到达减速带的时刻（s）

车辆后轮刚离开减速带的时刻（s）

车辆在通过第三条减速带时的时刻（s）

车辆通过第三条减速带后加速到初始速度的时刻（s）

在时间段内车辆已初始速度匀速行驶的距离（m）

设置了减速带后，在时间段内汽车行驶的距离（m）

保证车辆限速的两条减速带之间的最大距离（m）

不造成堵车等问题的两条减速带之间的最小距离（m）

两条减速带之间的距离（m）

车辆匀减速时驶过的距离（m）

车辆匀加速时驶过的距离（m）

相邻两条减速带之间的距离（m），其中

车辆在匀减速阶段的加速度（）

车辆在匀加速阶段的加速度（）

减速效果（%）

5.1.2问题一模型建立

设减速带横截面曲线为一段圆弧，当汽车轮胎与减速带刚接触时，以圆弧减速带弦长的中点为坐标原点，以地面水平线为轴，过圆弧减速带圆心并垂直于地面为轴，建立平面直角坐标系，如图5.1所示：

由图5.1可知，当轮胎从圆弧上面滚过时，轮轴的运动轨迹为以圆弧圆心为圆心、以为半径的圆弧，轨迹方程为

………………………………………………（5.1.1）

参数方程为

……（5.1.2）

式中，，将参数方程对求导可得轮轴速度：

……………………………………………………………………（5.1.3）

将其对求导可得轮轴的加速度：

………………………………………………………………………（5.1.4）

为保证车辆经过减速带时的安全，在通过圆弧减速带最高点时应有，此时，，则，得到，车辆通过减速带时轮胎不脱离的最大临界速度

………………………………………………………（5.1.5）

5.1.3问题二的模型建立

先研究一条减速带单独作用的情形，动力学分析图如下：

图5.2一条减速带的减速作用动力学分析图

如图5.2所示，三点分别为汽车在减速带前开始减速、到达减速带、驶离减速带的相应时刻汽车的位置。

从图中可以直观地看出，在时间段内，车速有所下降，是由于司机看到减速带开始减速一直到通过减速带，在时间段内，车辆离开减速带后开始加速。

将与时刻对应的之间的距离定义为减速带的作用区域，定义为一条减速带的作用时间。

如果相邻两条减速带之间的距离过长，则车辆在经过减速带后在开始第二次减速之前，就已经加速到初始速度开始以初始速度做匀速运动，使得三条减速带的作用于一条减速带的作用效果相同，这样便失去了设置三条减速带的意义。

此种情况的动力学分析图如下：

图5.3三条等距离且相距较远的减速带的减速作用分析图

考虑到上述情况，相邻两条减速带之间的距离应控制在某一范围内，即。

在时速度刚达到初始速度的临界情况，根据动力学知识有：

…………………………………………………………（5.1.6）

此时，，即

………………………（5.1.7）

定义为汽车的加速反应度，由定义可知，加速反应度值越小，则汽车的加速减速性能越好。

于是有：

……………………………………………………（5.1.8）

再来考虑连续等距三条减速带的情形,其动力学分析图如下：

图5.4连续等距三条减速带的减速作用动力学分析图

如上图，将对应的间的距离定义为三条减速带的作用区域。

而定义为减速带作用时间。

如果没有设置减速带，则这段时间内，汽车会以的速度匀速行驶，对应的距离为：

………………………………………………………（5.1.9）

而设置了减速带后，时间段汽车试过的距离则为间的距离。

由此减速效果为：

…………………………………………………………（5.1.10）

因为，所以由定义可知为一个介于0与1之间的数。

在不考虑其他因素的情况下，值越大则减速效果越好。

设减速带之间的距离为一变量。

结合图形求得如下结果：

……………………………………………………（5.1.11）

……………………（5.1.12）

……………………………………………………（5.1.13）

所以有：

…（5.1.14）

………………………（5.1.15）

…（5.1.16）

将上述两式带入得：

…………………………………（5.1.17）

可见为的函数。

5.1.4问题三的模型建立

考虑到如果两条减速带的距离过近，则司机在驶过第一条减速带后，不会再加速，而是以匀速驶过下一条减速带。

由第一问可知，的速度一般较小，在左右。

在一条限制速度为的道路上，如果出现一段平均车速的路程，虽然降低了车速，但过低的速度也会造成诸如堵车等问题，这是交通部门在设置减速带时就应设法避免的问题。

因此两条减速带之间的距离必须大于。

如果两条减速带的距离过长，则汽车又会加速到后再减速，达不到限速保证安全的作用，所以两条减速带之间的距离必须小于。

把能达到最优减速效果的适宜平均车速定为。

三条任意间距减速带的减速作用动力学分析图如下：

图5.5三条任意间距减速带的减速作用动力学分析图

分析上图，三个时刻对应