傅里叶变换性质证明.docx

傅里叶变换性质证明.docx

《傅里叶变换性质证明.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅里叶变换性质证明.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

傅里叶变换性质证明

2.6傅里叶变换的性质

2.6.1线性

若信号血和/啲傅里叶变换分别为血和珥少）,

F[fJ训=F1（£2?

）?

F[f2（t）]=F2（®）

则对于任意的常数a和b,有

F[af1（t）+f2（t）]=aF1（£y）+bF2（少）

将其推广，若仙）i=1^3……口则

£心©他耳佃）

2-12-1

其中爲为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.

显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们己经知道了，线性有两个含义：

均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数8,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数/即

叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换

之和

枷）S幼”加）卜屯⑵］

2.6.2反褶与共轨性

设f（t）的傅里叶变换为砒（幼=伫几）宀'=盹），下面我们来讨论信号反褶、共觇以与既反褶又共辘后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶

f（-t）是f（t）的反褶，其傅里叶变换为

（2）共觇

F[几）]=匚瑜）严加

=口代）捫血□炖严「（妨

因为dt是实数，所以（dt）*=dt将共純提到积分之外根据傅里叶变换的定义

二「/V）d£J-€O

=y*（—（0）

（3）既反褶又共觇

F『（-切二匚厂㈠）严必

切r「扌:

.十

二二二[产⑴严么二％）

木性质还可利用前两条性质来证明：

设g（t）=f（-t）,h（t）=g*（t）,贝lj

设g（O=f（-t）>h（t）=g*（t）f则

Fg（o>）=F（-®）,Fh（cD）=F/（-©）=F*（o）

在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f（t）是

实函数还是复函数，因此，无论f（t）为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下而三条性质

W-01=F（-^j）

兀广（#）]=F'E）

2.6.3奇偶虚实性

己知f（t）的傅里叶变换为。

在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即

F（co）=尸（旳）刃=去（为）+声（<9）（2-33）

显然|阴|=炳丽乔面

根据定义，上式还可以写成

%）=匚“）严办=匚"（0C0SC9Y）df一J匚⑴sinef姥（2-34）

下而根据f（t）的虚实性来讨论F（）的虚实性。

（1）f（t）为实函数

对比式（2-33）与（2-34）,由FT的唯一性可得

尺（3）=J=J（/（/）sin

（1.1）f（t）是实的偶函数，即f（t）=f（-t）

X（Q的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X（3）二0,于是

”（⑵）=/（/）

可见，若f（t）是实偶函数，则F（）也是实偶函数，即

盹）=%）左边反褶,右边共觇

（1.2）f（t）是实的奇函数，EP-f（t）=f（-t）

R（Q的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R（«）=0,于是

戸（0）=-2;£/（/）sin（加同

可见，若f（t）是实奇函数，则F@）是虚奇函数，即

J-CDJ-CD

/（/）cosG）tdt-j\/（Z）sin

左边反褶,

右边共辘有了上而这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。

2.6.4对称性

傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变

换的对称性质。

若己知

则有

FU）=F[f（t）]

F[f（t）]=2Jif（-w）

证明：

因为

于是

f（-t）=y-£F如-叫8

将变量t与互换，再将2乘过来，得

上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F（t）

所以

F[F（t）]=2Jif（-w）

若f（t）为偶信号，即f（t）=f（-t）,则有

F[F（t）]=2f（«）

从上式可以看出，当f（t）为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立——即f（t）的频谱是F（Q,F（t）的频谱为f（3）。

若f（t）为奇信号,即f（t）=-f（-t）,则有

F[F（t）]=-2f（«）

利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。

下而我们举些例子来说明这一点。

例Z2试根据FT的对称性，利用沖渤信号的傅里叶变换来求直流信号的傅里叶变换。

解：

己知冲激信号的傅里叶变换为F耐⑴]二E,将E视为常数函数，它是偶函数，根据FT的对称性，得F[E]=26E§（3）。

例2.3试根据FT的对称也利用矩形脉沖信号的傅里叶变换来求解S遏数的傅里叶变换.

解：

己知矩形册中信号的傅里叶变换为

/\

^[SG^）]=洛a—

I2丿

根据FT的对称性,可得

即s通数的n•星脉宽为2、脉高为p的矩形般中。

矩形脉沖信号波形与频谱、s趣数的波形与频谱如下因所示。

團2T2根据FT的对称性求S通数的FT

呵做]

-10

=2彳丿卜纠（弋）

证明:

因为川心）]=匚

例Z4试根据FT的对称性，利用符号函数的俾里叶变换乘求解茨信号f〔t）H/t的傅里叶变换。

解:

己知符号函数的傅里叶变换为Ffen（O]=2丿根据盯的线性可得

・]・[

Fj-s^n（r）=一

26J

■■

根据FT的对称性，考虑亂gn（t[是奇函数」有

=-J%sgn（co）

2.6.5尺度变换

若F[f（t）]=F（Q,则月何三詁（3

这里a是非零的实常数。

下而利用FT的定义与积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证

明傅里叶变换的尺度变换特性。

令at=x,

1严_扣_1d）

当8>0时

agaa

当8〈0时

破）］二一丄「=

a"aa

上述两种情况可综合成如下表达式:

（CO）

由上可见，若信号f（t）在时域上压缩到原来的1/8倍，则其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/ao

尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。

对于a-1的特殊情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。

对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快,这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。

反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。

2.6.6时间平移（延时）

若F[f（-t）]=F（ffl）,贝=F（咖-）①X°

下而进行证明

证明：

因为F[f（t-If（t-t0Xja）tdt,

J—CO

令t-to=X,则有

F[f（tjt0）]=F[f（x）]二广f仗肓如叫加J-B

J-8

上式右边的积分项为傅里叶变换定义式,

于是可以得到F[f（t%）]=巩吸-皿

同理可以得到（咖*

2.6.7时域微分

若F[f（t）]=F（«）,贝！

J

证明：

因为触戶莎丄乳却滋，两边对t求导，可得

竽二£匸口胡㈣护加

所以

同理，可以推出

jajF（a）

由上可见，在时域中f（t）对t取n阶导数等效于在频域中f（t）

的频谱F（s）乘以（j）n.下而举一个简单的应用例子。

若已知单位阶

跃信号u（t）的傅里叶变换，可利用此定理求出（t）的FT

F夙f）]

=4i

2.6.8频域微分

若F[f（t）]=FW,则

5"倚

证明：

因为忑/⑷一厠（加叫两边分别对3求导，可得

川3）二「

J—8

所以

[讐]5

例2.6利用频域锻分特性求F［th

解:

由于皿］二2朋9）,根据频域徽分特性可得

再由F啲线性可得

用-丿少2和Q）

/［打二211J（©）

2.6.9时域积分

叮丄/（咖十伽尸尸（劲+吨何0?

）

证明；

”『『（咖+「『/（步诈心尬

2-8」J-8J-8

=r［Pf（T）u（t-T）dT］e-^dtJ-8J-O^"

变换积分次序，并且利用阶跃信号的傅里叶变换关系式

型以—7）］=疣（3）42旷押

J3

■•

于是

『/（?

-）［^（2

r

=f了（0）兀3（中诊-砂必十ff（T）必

H卄ja

=0妙・】巩劲十曲（0）占（少）

特别地，如果竺在,J=o处有界，则

=gy'f（眄

例2.7利用时域积分特性求F［u⑷］o

解：

由于F"⑷］二1■且

u（f）=|J6（t）dt

J—8

由时域积分特性可得

可见，这与利用符号函数求得的结果一致。

2.6.10频域积分

若F[f（t）]=F«,则有

F（3）血

2.6.11时域卷积定理

◎列了心"②卜⑴打也©]

证明：

可小）为斜=口仃（讪（1讥*-%

C°L8」（卷积和FT的定义）

=[:

久（T）匸£0一处必咬换躍次序）

二r靳⑴卜儒⑹旷押非ft定迎苴般特性）

=啦⑹匚気何严必

眾于积分变量的常函数提出来）

=毗⑹•恢）卜恤）]•卩儒⑹血輙）

由上可见，两个时间函数卷祝的频请等于各个时间函数频诸的乘'积，也就是说,两信号时錢卷积等效于频谙相乘Q

2.6.12频域卷积定理

与时域卷积定理类似,砒（°忆（0]=存‘⑹心⑹

证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。

由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。

或者说，两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以l/2o

显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。

2.6.13帕斯瓦尔定理

前而我们在讲信号分解时，提与帕斯瓦尔定理。

下面我们来研究

一下该定理在FT中的具体表现形式。

若F[f（t）]=FW,则

9219292

这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的。

下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解。

■▼

=尸（少）$少"£少必

■

=£/（』）•£（£肘（少）g*為”=矿⑷）（f列）旷知必”中

匸陆=匸几）于•©必

（IFT定义）

（FT定叉）

（交换积分次序）

式中匸M是信号f（t）的总能量，IT为信号f（t）的能量谱密度。

帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量|f（t）|2在整个时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量|验）上/2在整个频率范围内积分来得到。

此定理也可以如下证明。

由相关性定理可得

取t=o,即得帕斯瓦尔定理。