傅里叶变换性质证明.docx

1、傅里叶变换性质证明2. 6傅里叶变换的性质2. 6. 1线性若信号血和/啲傅里叶变换分别为血和珥少),FfJ 训=F1(2?)?Ff2(t)=F2()则对于任意的常数a和b,有Faf1(t)+f2(t)=aF1(y)+bF2(少)将其推广，若仙)i=13口则心 他耳佃）2-1 2-1其中爲为常数，n为正整数。由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们己经知道了， 线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数8, 则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数/即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和枷)S幼”加)卜屯2. 6

2、. 2反褶与共轨性设f(t)的傅里叶变换为砒(幼=伫几)宀=盹)，下面我们来 讨论信号反褶、共觇以与既反褶又共辘后，新信号的傅里叶变换。(1)反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为(2)共觇F几)=匚瑜)严加=口代)捫血炖严(妨因为dt是实数，所以(dt)*=dt 将共純提到积分之外 根据傅里叶变换的定义二/V)d J-O=y*(0)(3)既反褶又共觇F(-切二匚厂)严必切r扌:. 十二二二产严么二)木性质还可利用前两条性质来证明：设 g(t)=f (-t), h(t)=g*(t),贝lj设g(O=f(-t) h(t)=g*(t)f 则Fg(o)=F(-), Fh(cD)=F/(-)=

3、F*(o)在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶 变换都满足下而三条性质W-01 = F(-j)兀广(#) = FE)2. 6. 3奇偶虚实性己知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可 以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即F(co)=尸(旳)刃 =去(为)+声(0和a 0时a g a a当8 0时破）二一丄=a a a上述两种情况可综合成如下表达式:(CO)由上可见，若信号f（t）在时域上压缩到原来的1/8倍，则其频 谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/ao尺度变换性质表明，在时域中信

4、号的压缩对应于频域中信号频带 的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。对于a-1的特 殊情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵 轴反褶。对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的 实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快, 这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起 来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。反之，当慢放时，放音的速 度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富 了（频域压缩）。2. 6.6时间平移(延时)若 Ff(-t)=F(ffl),贝= F(咖-)X下而进行证明证明：因为Ff(t - I

5、 f(t-t0Xja)tdt ,J CO令t-to=X,则有Ff(tjt0) = Ff(x) 二广f仗肓如叫加 J -BJ -8上式右边的积分项为傅里叶变换定义式,于是可以得到Ff(t%) =巩吸-皿同理可以得到(咖*2. 6.7时域微分若 Ff (t)=F(),贝！J证明：因为触戶莎丄乳却滋，两边对t求导，可得竽二匸口胡护加所以同理，可以推出jajF(a)由上可见，在时域中f (t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F(s)乘以(j)n.下而举一个简单的应用例子。若已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换，可利用此定理求出(t)的FTF 夙 f)=4i2. 6. 8频域微分若 F f(t

6、)=FW,则5倚证明：因为忑/一厠(加叫两边分别对3求导，可得川3)二J 8所以讐5例2.6利用频域锻分特性求Fth解:由于皿二2朋9),根据频域徽分特性可得再由F啲线性可得用-丿少2和Q)/打二211J ()2. 6. 9时域积分叮丄/（咖十 伽尸尸（劲+吨何0?）证明；”（咖+/（步诈心尬2-8 J-8 J-8=r P f（T）u（t-T）dTe-dt J-8 J -O 变换积分次序，并且利用阶跃信号的傅里叶变换关系式型以7）=疣（3）4 2旷押J3 于是/（?-） （2r=f 了（0）兀3（中诊-砂必十f f（T） 必H 卄 ja=0妙】巩劲十曲（0）占（少）特别地，如果竺在,J=o处有

7、界，则=gy f(眄例2.7利用时域积分特性求Fuo解：由于F二1 且u(f) = |J 6(t)dtJ8由时域积分特性可得可见，这与利用符号函数求得的结果一致。2. 6. 10频域积分若 Ff(t)=F ,则有F（3）血2. 6.11时域卷积定理列了心卜打也证明：可小）为斜=口仃（讪（1讥*-%CL 8 （卷积和FT的定义）=:久（T）匸 0 一 处 必 咬换躍次序）二r靳卜儒旷押非 ft定迎苴般特性）=啦匚気何严必眾于积分变量的常函数提出来）=毗恢）卜恤）卩儒血輙）由上可见，两个时间函数卷祝的频请等于各个时间函数频诸的乘积，也就是说,两信号时錢卷积等效于频谙相 乘Q2. 6.12频域卷积定

8、理与时域卷积定理类似,砒（忆（0=存心证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘 积。或者说，两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以 l/2o显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称 性决定的。2. 6.13 帕斯瓦尔定理前而我们在讲信号分解时，提与帕斯瓦尔定理。下面我们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式。若 F f(t)=FW ,则9 2 1 9 2 9 2这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量 在时域与频域是守恒的。下面利用FT的定义和性质，推导信号能量 的求解。 = 尸（少）$少少必= /（）（ 肘（少）g*為” =矿）（f列）旷知必”中匸陆=匸几）于必（IFT定义）（FT定叉）（交换积分次序）式中匸M 是信号f（t）的总能量，IT为信号f（t）的能量谱 密度。帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量 |f（t）|2在整个时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量 |验）上/2在整个频率范围内积分来得到。此定理也可以如下证明。由相关性定理可得取t=o,即得帕斯瓦尔定理。