【答案】C
【知识要点】
1．集合的含义与表示
（1）一般地，我们把研究对象统称为__元素__，把一些元素组成的总体叫__集合__，简称为集．
（2）集合中的元素的三个特征：
__确定性__、__互异性__、__无序性__．
（3）集合的表示方法有：
__列举法__、__描述法__、__图示法__、__区间法__．
（4）集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“__∈__”与“__∉__”来表示．
（5）常用的数集：
自然数集N；正整数集N*（或N＋）；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
2．集合之间的关系
（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素__都是__集合B中的元素，我们就说这两个集合有__包含__关系，称集合A为集合B的__子集__，记作__A⊆B（或B⊇A）__；若A⊆B，且A≠B，则AB，我们就说A是B的真子集．
（2）不含任何元素的集合叫做__空集__，记作__∅__，它是__任何一个集合的子集__，是任何一个__非空集合的真子集__，即∅⊆A，∅B（B≠∅）．
3．集合的基本运算
（1）并集：
A∪B＝{x|x∈A__或__x∈B}；
（2）交集：
A∩B＝{x|x∈A__且__x∈B}；
（3）补集：
∁UA＝__{x|x∈U且x∉A}__．
4．集合的运算性质
（1）A∩B＝A⇔A⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；
（2）A∪B＝A⇔A⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝A；
（3）A⊆B，B⊆C，则A⊆C；
（4）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB），A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U，∁U（∁UA）＝A；
（5）A⊆B，B⊆A，则A＝B.
典例剖析 【p2】
考点1 集合的基本概念
（1）对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ）
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}
【解析】A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B中集合当k取负数时，多出了若干元素；C中集合当t＝0时多了－3这个元素，只有D正确．
【答案】D
（2）已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的，且2∈A，则实数m的值为（ ）
A．2B．3
C．0或3D．0或2或3
【解析】因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得只有m＝3符合．
【答案】B
（3）若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是（ ）
A．{1}B．{－1}
C．{0，1}D．{－1，0，1}
【解析】当m＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，满足题意；
m≠0时，Δ＝4－4m2＝0，m＝±1.
综上m的取值集合是{－1，0，1}．
【答案】D
【点评】
（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集，还是其他类型集合；
（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
考点2 集合间的基本关系
（1）已知集合A＝{x|y＝ln（x＋3）}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．A＝BB．A∩B＝∅
C．A⊆BD．B⊆A
【解析】由集合A中的函数y＝ln（x＋3），
得到x＋3＞0，即x＞－3，∴A＝（－3，＋∞），
∵B＝{x|x≥2}＝[2，＋∞），
∴A≠B，A∩B＝[2，＋∞），
∴B⊆A.
【答案】D
（2）若集合{a，0，1}＝
，则a＝______，b＝______．
【解析】∵0∈
，∴c＝0，从而
＝1，即b＝1，∴a＝－1.
【答案】－1；1
（3）已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，＋∞）B．[4，＋∞）
C．（－∞，4）D．（－∞，4]
【解析】集合A＝{x|x2－3x－4≤0}＝{x|－1≤x≤4}＝[－1，4]，B＝{x|x≤a}，
若A∪B＝B，则A⊆B，所以a≥4，
∴实数a的取值范围是[4，＋∞）．
【答案】B
【点评】已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
考点3 集合的基本运算
（1）设集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{x|x2－3x＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{－1}B．{1，2}
C．{1，2，3}D．{0，－1，3}
【解析】由题得B＝{x|0＜x＜3}，所以A∩B＝{1，2}．
【答案】B
（2）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，则∁UA＝________.
【解析】由已知得，A＝{x|x2－2x－3>0}＝（－∞，－1）∪（3，＋∞），又全集为R，根据补集的定义可得∁UA＝[－1，3]．
【答案】[－1，3]
（3）设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{0，2}，则B∪（∁UA）＝（ ）
A．{0}B．{－2，0，1，2}
C．{－1，0，2}D．{－1，0，1，2}
【解析】由题得A＝{－1，2}，所以∁UA＝{0，1，－2}，所以B∪（∁UA）＝{－2，0，1，2}．
【答案】B
（4）设全集U为实数集R，集合A＝{x|y＝ln（3－2x）}，B＝{y|（y－1）（y－3）≤0}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A.
∪
B.
C.
D.
∪
【解析】由题意可得：
A＝
，B＝[1，3]，
图中阴影部分表示集合∁U
，
其中A∩B＝
，
则∁U
＝
∪
.
【答案】A
【点评】
（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况；
（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
考点4 集合中的创新问题
（1）定义一种集合运算A⊗B＝{x|x∈（A∪B）且x∉（A∩B）}，设M＝{x||x|<2}，N＝{x|x2－4x＋3<0}，则M⊗N用区间表示为________．
【解析】M＝{x||x|<2}＝（－2，2），N＝{x|x2－4x＋3<0}＝（1，3），
∴M∪N＝（－2，3），M∩N＝（1，2），
∴M⊗N＝（－2，1]∪[2，3）．
【答案】（－2，1]∪[2，3）
（2）S（A）表示集合A中所有元素的和，且A⊆
，若S（A）能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【解析】因为A⊆
，所以符合条件的非空集合A可以是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共11个．
【答案】B
【点评】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；
（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
方法总结 【p3】
1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．
4．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）．对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算．
5．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
6．解题时注意区分两大关系：
一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
7．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．
走进高考 【p3】
1．（2018·全国卷Ⅲ）集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}
【解析】由题意知，A＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{1，2}．
【答案】C
2．（2018·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝（ ）
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
【解析】A＝{x|x2－x－2＞0}＝{x|x＜－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．
【答案】B
3．（2018·全国卷Ⅱ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【解析】∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1，0，1，
当x＝1时，y＝－1，0，1；
当x＝0时，y＝－1，0，1；
当x＝－1时，y＝－1，0，1，
所以共有9个．
【答案】A
考点集训 【p175】
A组题
1．集合{x∈N|x－3<2}用列举法表示是（ ）
A．{1，2，3，4}B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5}D．{0，1，2，3，4}
【解析】由题意x<5，又x∈N，∴集合为{0，1，2，3，4}．
【答案】D
2．下列各式：
①1∈{0，1，2}；②∅⊆{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2}；④{0，1，2}＝{2，0，1}，其中错误的个数是（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解析】对于①，由元素与集合的关系的可得正确；对于②，由空集是任何集合的子集知正确；对于③，根据集合间的关系知不正确；对于④，由于集合的元素具有无序性知正确．
【答案】A
3．设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|－1＜x＜3}，则（ ）
A．A＝BB．A⊇B
C．A⊆BD．A∩B＝∅
【解析】∵A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1B＝{x|－1【答案】C
4．设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，则∁UA＝（ ）
A．{－1，2}B．{－2，0，1}
C．{－2，1}D．{－1，0，2}
【解析】集合A＝{x|（x＋2）（x－1）＝0}＝{－2，1}，
因为全集U＝{－2，－1，0，1，2}，
所以∁UA＝{－1，0，2}．
【答案】D
5．设全集U＝R，集合A＝{x|1A．{x|1≤x<2}B．{x|1C．{x|x<2}D．{x|x≥5}
【解析】∁UB＝{x|x<2或x≥5}，
故A∩（∁UB）＝{x|1【答案】B
6．设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6<0}，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|x<3}B．{x|－3C．{x|x<2}D．{x|－2＜x≤1}
【解析】由题意可得：
A＝{x|x≤1}，B＝{x|－2又由图可知，阴影部分表示的集合为A∩B，
∴A∩B＝{x|－2＜x≤1}．
【答案】D
7．设A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x－a＞0}，若A⊆B，则a的取值范围是________．
【解析】由题意B＝{x|x＞a}，∵A⊆B，∴a≤1.
【答案】（－∞，1]
8．已知集合A＝{2，4}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{2}，则实数a的值为________．
【解析】集合A＝{2，4}，B＝{a，a2＋3}，
若A∩B＝{2}，则a＝2或a2＋3＝2（无解）．
所以a＝2，此时B＝{2，7}．
【答案】2
B组题
1．设集合M＝{x|x≥4}，a＝
，则下列关系中正确的是（ ）
A．a∈MB．a∉M
C．{a}∈MD．{a}∉M
【解析】∵4>
，∴a∉M.
【答案】B
2．已知m，n∈R，集合A＝{2，log7m}，集合B＝{m，n}，若A∩B＝{0}，则m－n＝（ ）
A．1B．2C．4D．8
【解析】因为A∩B＝{0}，故0∈A，0∈B，所以log7m＝0，故m＝1，
又n＝0，因此m－n＝1.
【答案】A
3．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈（A∪B）且x∉（A∩B）}，已知M＝{y|y＝－x2＋2x，00}，则M⊗N＝______________．
【解析】由已知，M＝{y|y＝－x2＋2x，0N＝{y|y＝2x－1，x>0}＝
，
所以M∪N＝（0，＋∞），M∩N＝
，
所以M⊗N＝
∪（1，＋∞）．
【答案】
∪（1，＋∞）
4．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【解析】∵A∩B＝B，∴B⊆A，
∵A＝{0，－4}，
∴B＝∅，或B＝{0}，或B＝{－4}，或B＝{0，－4}．
当B＝∅时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0无实数根，
则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，整理得a＋1<0，解得a<－1；
当B＝{0}时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0有两等根均为0，则
解得a＝－1；
当B＝{－4}时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0有两等根均为－4，则
无解；
当B＝{0，－4}时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两根分别为0，－4，则
解得a＝1.
综上所述：
a≤－1或a＝1.
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