高等数学I1试题.docx

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高等数学I1试题

高等数学I

（1）试题选编

1．求函数的极限

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）。

2．求数列的极限：

（1）；

（2）；

（3），其中为正的常数。

3．研究并确定。

4．求之值使

5．设，确定之值，使得当时为无穷小；当时为无穷大。

6．设在内有定义，且单调增加，存在，求证在处连续。

7．确定的间断点，并判定其类型。

8．求的间断点，并指出各间断点的类型。

9．求的间断点，并判定其类型。

10．求的间断点，并判定其类型。

11．设，确定的连续区间，并指出间断点的类型。

12．写出分段函数的表达式。

13．设有次多项式，若此多项式的第一个系数与最后一个系数异号，求证方程至少有一个正根。

14，若在上连续，且存在，求证在上有界。

15．求证在处连续但不可导。

16．常数取何值时在处连续且可导？

17．设，求。

18．设，求。

19．设，求。

20．设，求。

21．设，求。

22．设是由方程所确定，求。

23，求由所确定的函数的导数。

24．设，其中存在且，求及。

25．设，其中为常数，求及。

26．设是由方程组所确定，求之值。

27．设，求。

28．设，求。

29．设，求。

30．设可微，，若，试求，使。

31．求曲线在点处的切线和法线方程。

32．求方程所表示的曲线在处的切线方程与法线方程。

33．设在二阶可导，，且曲线与抛物线在内有一个交点，求证在内至少存在一点，使。

34．设在连续，在内可导，且有。

求证存在使（为自然数）。

35．设在上可导，试证明使。

36．设在上二阶可导，。

求证在存在一点，使。

37．设在闭区间上二阶可导，且，求证。

38．求极限。

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）（其中为不等于零的常数）。

39．确定的单调区间。

40．设可微函数由方程所确定，试求此函数的单调区间。

41．已知在处有极值，试确定系数，并求出所有极值与曲线的拐点。

42．求证方程只有一个正根。

43．求函数在上的最大值与最小值。

44．外切于半径为1的定圆的等腰三角形，在什么条件下它的面积最小?

45．欲做一个横截面为等腰梯形的水槽，且梯形的腰长及下底长均为b。

问水槽的两侧壁间的夹角为何值时，此水槽有最大的横截面积？

46．证明不等式：

（1）设,求证.；

（2）设,求证。

47．求曲线对应于的曲率及曲率半径。

48．求函数的连续区间，可导区间，单调区间，凹凸区间，极值点，拐点和渐近线。

49．求下列不定积分：

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

（7）（8）（9）

（10）（11）（12）

（13）（14）

（15）（16）

50．求下列不定积分：

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

（7）（8）

51．设，求。

52．求下列定积分：

（1），其中为正的常数，为自然数；

（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）。

53．求极限。

54．研究反常积分的敛散性。

55．设，证明。

56．设，研究。

57．求极限。

58．设，其中为连续函数，且，若在处连续，求之值。

59．设处处连续且满足方程，求。

60．求在上的最小值和最大值。

61．已知周期为的函数在上为连续的奇函数。

求证也是以为周期的周期函数。

62．设，其中处处连续，，求。

63．设为任意的二次多项式，试证，利用上述结果证明：

对任意闭区间，恒有。

64．证明。

（）

65．设在上连续且单调减少，证明有。

66．求下列曲线所围成的平面图形的面积：

（1）

（2）

（3）（4）

67．求过点与且对称轴平行于轴，开口向下的抛物线，使它与轴所围成的平面图形面积最小。

68．抛物线与圆相交于三点，问为何值时抛物线与公共弦所围成的平面图形面积最大？

并求此最大面积，其中为定值，且。

69．已知曲边三角形由抛物线及直线所围成，求：

（1）曲边三角形的面积；

（2）该曲边三角形绕轴旋转所成旋转体的体积V。

70．求由和它在处的法线所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积。

71．求由直线与抛物线所包围的图形绕直线旋转所得的旋转体的体积。

72．已知一立体，以长半轴，短半轴的椭圆为底，而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求其体积。

73．一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线绕轴的旋转面，容器的外高为10，比重为，把它铅直地浮在水中，再注入比重为3的重溶液。

问要保持容器不沉没，注入的溶液其最大深度是多少？

（长度单位为厘米）

74．求曲线之全长。

75．一物体由静止开始做直线运动，在秒末的速度为，问

（1）在第三秒时物体离开出发点的距离是多少米？

（2）需要多长时间走完343米？

162．求微分方程满足的特解。

163．求微分方程满足的特解。

164．求微分方程的通解。

165．求微分方程满足的特解。

166．求微分方程满足的特解。

167．求的通解。

168．求的通解。

169．求微分方程满足初始条件的特解。

170．求的通解。

171．微分方程的哪一条积分曲线以原点为拐点，且在原点处以为其切线？

172．求微分方程的通解。

173．求的通解。

174．求的通解。

175．求的一个特解。

176．已知可导，，试确定使

是全微分方程，并求此全微分方程的通解。

177．设曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可导，且，求。

178．设是一阶线性微分方程的三个相异特解。

求证：

为一常数。

179．设在左半平面内有一条过点的曲线，其上任一点处的切线斜率为，求此曲线方程。

180．一单摆长为，质量为，作简谐振动，假定其往来摆动的偏角很小。

试求其运动方程，并确定每振动一次的时间。

参考答案：

1．

（1）

（2）2（3）（4）（5）（6）2

2．

（1）1

（2）（3）

3．04．5．

7．。

8．。

9．10．11．的连续区间为，

12．16．

17．18．

19．20．

21．22．

23．24．

25．0，26．27．

28．29．

30．31．切线：

；法线：

32．切线：

；法线

38．

（1）1

（2）（3）0（4）

（5）（6）（7）1（8）

39．在上单调增加；在上单调减少。

40．在上单调增加；在上单调减少。

41．

43．

44．当外切三角形为等边三角形时面积最小。

45．47．

48．连续区间；可导区间，单减区间；单增区间；极小值点，极大值点；上凹区间，上凸区间，拐点和；渐近线。

49．

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）（8）

（9）（10）

（11）（12）

（13）（14）

（15）（16）

50．

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）

（8）

51．

52．

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

53．54．发散56．不存在

57．58．59．

60．62．

66．

（1）

（2）（3）（4）

67．68．

69．

（1）

（2）70．

71．72．73．

74．475．

（1）

（2）7秒162．

163．164．

165．166．

167．168．

169．170．

171．172．

173．174．

175．

176．，通解为

177．179．

180．，