名师讲解小学列方程解应用题.docx
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名师讲解小学列方程解应用题
【重点难点提要】
重点：
1．理解并掌握列方程解应用题的一般步骤，学会按步骤设未知数列方程求解；
2．初步学会分析应用题中数量间相等关系的方法，知道常见的数量关系式（如路程=速度
时间等）和计算公式（如：
三角形的面积=底
高
2等）都可以作等量关系式列方程求解。
难点：
1．学会寻找应用题中数量间相等关系的方法，能正确地找出应用题中的等量关系列方程求解；
2．初步学会恰当地设未知数列方程；
3．初步学会根据应用题中数量关系的具体情况，灵活选用算术解法或方程解法解答应用题。
【知识方法归纳】
1.列方程解比较容易的两步应用题
（1）列方程解应用题的步骤
①弄清题意，找出未知数并用x表示；
②找出应用题中数量间的相等关系，列方程；
③解方程；
④检查，写出答案。
（2）列方程解应用题的关键
弄清题意后，找出应用题中数量间的相等关系，恰当地设未知数，列出方程。
（3）运用一般的数量关系列方程解应用题
①列方程解加、减法应用题。
如：
甲乙两人年龄的和为29岁，已知甲比乙小3岁，甲、乙两人各多少岁？
数量间的等量关系：
甲的年龄+乙的年龄=甲乙二人的年龄和
解：
设甲的年龄是x岁，则乙的年龄为：
（x+3）岁。
x+（x+3）=29
x+x+3=29
2x=29-3
x=26
2
x=13……甲的年龄
13+3=16（岁）……乙的年龄
答：
甲的年龄是13岁，乙的年龄是16岁。
②列方程解乘、除法应用题。
如：
学校图书馆买来故事书240本，相当于科技书的3倍，买来科技书多少本？
科技书的本数
3=故事书的本数
解：
设买来科技书x本
3x=240
x=80
答：
买来科技书80本。
（4）用计算公式、性质、数位及计数单位等做数量间的等量关系，列方程解应用题
①一长方形的周长是240米，长是宽的1.4倍，求长方形的面积。
（长+宽）
2=周长
解：
设宽是x米，则长是（1.4x）米。
（1.4x+x）
2=240
2.4x=240
2
x=120
2.4
x=50……长方形的宽
50
1.4=70（米）……长方形的长
70
50=3500（平方米）
答：
长方形的面积是3500平方米。
②三角形ABC中，角A是角B的2倍，角A与角B的和比角C小18°。
求三个角的度数。
这是一个什么三角形？
角A+角B+角C=180度
解：
设角B是x度，
则角A是（2x）度，角C是[（2x+x）+18]度。
2x+x+[（2x+x）+18]=180
6x+18=180
6x=180-18
x=162
6
x=27……角B的度数
27
2=54（度）……角A的度数
54+27+18=99（度）……角C的度数
答：
角A是54度，角B是27度，角C是99度。
因为：
角B<角A<角C，90°<角C<180°，所以这个三角形是钝角三角形。
③一个两位数，十位数字与个位数字的和是6。
若以原数减去7，十位数与个位数字相同，求原数。
十位上的数字个位上的数字
解：
设原数的个位数字为x。
则原数十位上的数字为：
6-x；若从原数中减去7，则个位上的数字变为：
10+x-7、十位上的数字变为：
6-x-1。
6-x-1=10+x-7
5-x=3+x
2x=2
x=1……原数的个位数字
6-1=5……原数的十位上的数
因此，原数是：
51。
2．列方程解二、三步计算的应用题
广水电影院原有座位32排，平均每排坐38人；扩建后增加到40排，可比原来多坐584人。
扩建后平均每排可以坐多少人？
解：
设扩建后平均每排坐x人。
x
40-38
32=584
40x-1216=584
40x=584+1216
x=1800
40
x=45
答：
扩建后平均每排可以坐45人。
3．列方程解含有两个未知数的应用题
某班学生合买一种纪念品，每人出1元，多4元6角；每人出9角，就差5角。
求这件纪念品多少钱？
这个班共有多少名学生？
解：
设这个班共有x名学生
x-4.6=9
10
x+5
10
x-4.6=0.9x+0.5
0.1x=5.1
x=51……这个班学生人数
51-4.6=46.4（元）……纪念品的单价
答：
这件纪念品46.4元；这个班共有学生51名。
4.用方程解和用算术法解应用题的比较
用方程解应用题和用算术法解应用题有什么区别，它们之间的主要区别在于思路不同。
用方程解应用题，要设未知数x，并且把未知数x与已知数放在一起，分析应用题所叙述的数量关系，再根据数量关系和方程的意义，列出方程式。
用算术法解应用题，要把已知数集中起来，加以分析，找出已知数与未知数之间的联系，列出算式表示未知数。
例如：
小华身高160厘米，比小兰高15厘米。
小兰的身高是多少厘米？
用方程解：
解：
设小兰的身高x厘米
160-x=15
x=160-15
x=145
或：
x+15=160
x=160-15
x=145
用算术法解：
160-15=145
通过比较，同学们可以看出，这两种方法的主要区别是未知数参加不参加到列式之中。
列算术式，是根据题中的条件，由已知推出未知，用已知数之间的关系来表示未知数。
未知数是运算的结果，已知与未知数用等号隔开。
列方程式，是根据题目叙述的顺序，未知数参加列式，未知数与已知数用运算符号相连接，从整体上反映数量关系的各个方面，所以，解题方式灵活多样，适用面广，用来解答那些反叙的问题更显得方便。
【典型范例剖析】
例1甲乙两桶油，甲桶里有油45千克，乙桶里有油24千克，问从甲桶里倒多少千克的油到乙桶里，才能使甲桶里的油的重量是乙桶里的1.5倍？
分析：
根据变动以后“甲桶里油的重量是乙桶的1.5倍”，可以列出等量关系式：
现在乙桶里油的重量
1.5=现在甲桶里油的重量
设从甲桶里倒x千克的油到乙桶里，那么，现在甲桶里的油是（45-x）千克，现在乙桶里的油是（24+x）千克。
解：
设从甲桶里倒x千克油到乙桶里。
（24+x）
1.5=45-x
36+1.5x=45-x
36+1.5x+x=45
36+2.5x=45
x=（45-36）
2.5
x=3.6
答：
从甲桶里倒3.6千克的油到乙桶里，才能使甲桶里油的重量是乙桶的5倍。
例2一位三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？
分析：
原三位数中只知道个位数字，百位和十位上的数字都不知道。
如果设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x，则原三位数可表示为“10x+5”，那么新数就可以表示为“5
100+x”。
解：
设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x，可得方程：
10x+5=5
100+x+108
10x-x=500+108-5
9x=603
x=67
10
67+5=675……原三位数
答：
原三位数是675。
例3某校附小举行了两次数学竞赛，第一次及格人数是不及格人数的3倍还多4人，第二次及格人数增加5人，正好是不及格人数的6倍，问参加竞赛的有多少人？
分析：
本题所求的参赛人数包括了及格的和不及格的人数，而第二次的参赛人数与第一次参赛人数有直接关系的条件，总人数又不变。
所以我们设第一次参赛的不及格人数为x人，那么第一次参赛及格的人数可以用“（3x+4）”人来表示，总数是（4x+4）人，第二次参赛及格的人数是（3x+4+5）人，不及格的人数是（x-5）人，根据“第二次及格人数是不及格人数的6倍”，这一等量关系，可列方程。
解：
设第一次参赛不及格的人数为x，依据题意可得方程：
3x+4+5=（x-5）
6
3x+9=6x-30
3x=39
x=13
则4x+4=13
4+4=56……参加竞赛的人数
答：
参加竞赛的有56人。
【易错题解举例】
例1吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？
错误：
设经济作物有x公顷
x=（84-2）÷4
x=82÷4
x=20.5
答：
经济作物有20.5公顷。
分析：
这题列出的式子是一个算术式，不是方程。
错误在于没有弄清方程和算术式的区别。
算术式是由已知数和运算符号组成的，用来表示未知数，如本题的“x=（84-2）÷4”；而在方程里，未知数则是参加运算的，本题中的“x”则没有参加运算。
改正：
设经济作物有x公顷
4x+2=84（或4x=84-2）
4x=82
x=20.5
答：
经济作物有20.5公顷。
例2食堂运来一批煤，原计划每天烧210千克，可以烧24天。
改进炉灶后这批煤可烧28天。
问：
改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克？
错误：
设每天比原计划节约x千克
28x=210
24
x=180
210-180=30（千克）
答：
改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。
分析：
题中所设未知数x与方程式中的x所表示的意义不同。
题目中的方程式的“x”所表示的是“改进炉灶后平均每天烧煤数”，并不表示“节约”的数。
本题可以采用“间接设未知数法”或“直接设未知数法”。
改正：
（1）间接设未知数
解：
设改进炉灶后每天烧煤x千克，则每天比原计划节约（210-x）千克。
28x=210
24
28x=5040
x=180
210-x=210-180=30
（2）直接设未知数
解：
设改进炉灶后平均每天比原计划节约x千克。
（210-x）
28=210
24
210-x=180
x=210-180
x=30
答：
改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。
例3王兰有64张画片，雷江又送给她12张，这时王兰和雷江的画片数相等。
雷江原有画片多少张？
（用方程解）
错误：
设雷江原有画片x张
x-12=64
x=76
分析：
雷江送12张画片给王兰后，两人的画片数才相等。
也就是说，雷江减少12张，王兰增加12张之后，他们的画片数才同样多。
此解法把等量关系弄错了，误认为雷江的画片减少12张后与王兰原有的画片数相等。
改正：
设雷江原有画片x张。
x-12=64+12
x=76+12
x=88
答：
雷江原有画片88张。
【解题技巧指点】
1.列方程解应用题时，往往列出来的是一个算术式，误以为是方程。
如：
广水市吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？
解：
设经济作物有x公顷
x=（84-2）
4
x=82
4
x=20.5
答：
经济作物有20.5公顷。
本题中的“x=（84-2）
4”是一个算术式。
出现上述错误，原因在于没有弄清方程式和算术式的区别。
算术式是由已知数和运算符号组成的，用来表示未知数；而在方程里，未知数则是参加运算的。
本题的方程应该列为：
4x+2=84或4x=84-2或84-4x=2
2．按照题意，恰当地设未知数。
如：
第一教工食堂运来一批煤，原计划每天烧煤210千克，可烧24天，改进炉灶后这批煤可烧28天。
问：
改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克？
设未知数时一般有两种方法：
一种是直接设未知数为x，题目中问什么，就设什么为x；另一种是间接设未知数为x，再通过这个量与所求问题的关系，求出应用题中要求的未知量。
如果按直接设未知数为x的方法解答，那么本题中所列方程应该是：
解：
设每天比原计划节约x千克煤
（210-x）
28=210
24
210-x=180
x=210-180
x=30
如果采用间接设未知数x的方法：
解：
设改进炉灶后每天烧煤x千克，则每天比原计划节约（210-x）千克。
28x=210
24
x=180
210-180=30（千克）
答：
每天比原计划节约30千克。
【课本难题提示】
[P112-113练习二十七]
12．分析：
被除数是一个数的3倍，为3x，被除数等于商乘以除数加上余数。
3x=4
5+4这个方程是正确的，这个数是8。
13．分析:
等边三角形的每个角是60°，因此：
∠2=60°
2=30°，∠4=60°
2=30°，∠2+∠4=x°=180°。
x是多少就很容易求出来了。
30+30+x=180x=120
[P116-117练习二十八]
14.2x+3
3=17x=4
[P119-120练习二十九]
13．分析：
甲乙两人所走路程的和是860-300。
37
7+7x=860-300x=43
思考题：
分析：
从第一个条件可以推断：
小明所跑的路程的2倍比爸爸的路程长，从第二条件可以推断：
妈妈跑的路程的2倍比爸爸跑的路程短。
由此可以推断：
小明跑的路程的2倍比妈妈跑的路程的2倍长，所以，小明比妈妈跑的路程长。
[P122-124练习三十]
16.设每本《故事大王》x元
（1.6+x）
4=20-7.6x=1.5
17.设杏树x棵，则桃树为3x+20棵。
x+3x+20=340x=803
80+20=260（棵）
18．乙车每小时行x千米，则甲车每小时行2x千米。
（x+2x）
4=480x=40
[P126-127练习三十一]
1.
（1）×
（2）×（3）√
2.S=ah20
15=300（平方厘米）
S=ah2.3x
2=2.07x=1.8
9.第一个x表示甲数，第二个x表示乙数，第三个x表示甲数，都符合题意。
10.设宽为x厘米，则（2x+x）=30
2x=5，则面积为：
5
2
5=50
思考题：
分析：
一共取了x次，乒乓球比羽毛球多取了6个。
5x-3x=6x=33
5=15（个）
【同步达纲练习】
1．填空
（1）______________叫方程；____________叫解方程；____________叫方程的解。
（2）用含有字母的式子表示。
①甲比乙大a，甲是x，乙是______；如果乙是x，那么甲是_______。
②与a相邻的两个整数是______、______；它们的和是_______。
③长方形的周长是x，长是a，宽是______，正方形的周长是x，边长是______。
④甲骑自行车每小时行x千米，5小时行______千米，a小时行______千米，行24千米要______小时，行s千米要_______小时。
⑤食堂买来200千克的煤，烧了a天，还剩b千克，平均每天烧煤______千克。
⑥x的一半与y的3倍的差是_______。
⑦m与n的和的3.5倍是_______。
⑧3与a的7.43倍的差是_______。
（3）先写出应用题中数量间的相等关系，再列方程。
①粮店运来大米和面粉480包，大米的包数是面粉的3倍，运来大米和面粉各多少包？
（）（）=（）______
②阿姨买4块肥皂、2条毛巾共用去2.8元，已知肥皂每块0.26元，毛巾每条多少元？
（）（）=（）______
③爷爷今年71岁，比小华年龄的6倍还多5岁，小华今年几岁？
（）（）=（）______
④甲乙两站相距255千米，一列客车从甲站开出，一列货车从乙站开出，2.5小时后相遇。
客车每小时行48千米，货车每小时行多少千米？
（）（）=（）______
2.选择（把正确答案的序号填在横线上）
（1）下面各式中_____是方程。
①8x+7<15②7x-3x③41y=89
④6+x=12⑤a+b=b+a
（2）83-12x=23，在0、1、2、3、4、5、6、7各数中，______是方程的解。
①0②1③2④4⑤4⑥5⑦6⑧7
（3）4x-13.5=85.5，x=_____是方程的解。
①24.75②18
3．化简
（1）（5x+7）-（4x+0.18）
（2）6x-28-2.5x+30.5
（3）6x
（3+0.8）（4）8a-（5a+8）
4．解方程
（1）3
（x+2）-96=0
（2）0.3
7+4x=12.5
（3）（x+3）
5=1.5（4）3
（x+2）=4
（x+1）
5．列方程并求解
（1）某数的8倍加上10等于它的10倍减去8，求这个数。
（2）4.9减去2.9与0.5的积比x的5倍少1.65，求x。
（3）一个数加它的1.8倍是0.56，求这个数。
6．列方程解应用题
（1）要运走一堆土，每天运36车，需要15天运完，现在要求提前5天运完，每天应多运几车？
（2）三个数的平均数是13.5，甲是乙的4倍，丙比甲多4.5，求三个数各是多少？
（3）一个长方形周长是240米，长是宽的1.5倍，这个长方形的面积是多少？
（4）一个三角形ABC中，角A是角B的3倍，角C比角A与角B的和还大12°。
求三个角的度数。
（先用算术法，再用方程解。
）
（5）每边长度相差5厘米的三角形周长是120厘米，最短的一边是几厘米？
最长的呢？
（6）有一分、二分、五分三种硬币共10元，已知每种硬币的个数相同，求三种硬币共有多少个？
【思维拓展训练】
三年前母亲的岁数是儿子的6倍，今年母亲33岁，儿子今年几岁？
参考答案
【同步达纲练习】
1.填空：
（1）含有未知数的等式；求方程的解的过程；使方程左右两边相等的未知数的值
（2）用含有字母的式子表示
①x-a；x+a
②a-1；a+1；3a
③x÷2-a；x÷4
④5x；ax；24÷x；s÷x
⑤（200-b）÷a
⑥x÷2-3y
⑦（m+n）×3.5
⑧3-7.43a
（3）先写出应用题中数量间的相等关系，再列方程
①（大米的包数）+（面粉的包数）=（大米和面粉的总包数）
解：
设运来面粉x包，大米则是3x包
3x+x=480
②（肥皂的总价）+（毛巾的总价）=（一共用去的钱数）
解：
设毛巾每条x元
0.26×4+2x=2.8
③（小华的年龄×6）+（5岁）=（爷爷的年龄）
解：
设小华今年x岁
6x+5=71
④（客车的速度+货车的速度）×（相遇时间）=甲、乙两站间的距离
解：
设货车每小时行x千米
（48+x）×2.5=255
2.选择：
（1）（③、④）
（2）（⑥）
（3）（①）
3.化简：
（1）（5x+7）-（4x+0.18）
=5x+7-4x-0.18
=5x-4x+7-0.18
=x+7-0.18
=x+6.82
（2）6x-28-2.5x+30.5
=6x-2.5x-28+30.5
=3.5x+30.5-28
=3.5x+2.5
（3）6x×（3+0.8）
=6x×3.8
=22.8x
（4）8a-（5a+8）
=8a-5a-8
=3a-8
4.解方程
（1）3×（x+2）-96=0
解：
3x+6-96=0
3x-90=0
3x=90
x=30
（2）0.3×7+4x=12.5
解：
2.1+4x=12.5
4x=12.5-2.1
x=10.4÷4
x=2.6
（3）（x+3）÷5=1.5
解：
x+3=1.5×5
x=7.5-3
x=4.5
（4）3×（x+2）=4×（x+1）
解：
3x+6=4x+4
4x-3x=6-4
x=2
5.列方程并求解：
（1）解：
设这个数为x
8x+10=10x-8
10x-8x=10+8
2x=18
x=9
（2）解：
5x-2.9×0.5=1.65
5x-1.45=1.65
5x=1.65+1.45
x=3.1÷5
x=0.62
（3）解：
设这个数为x
x+1.8x=0.56
2.8x=0.56
x=0.56÷2.8
x=0.2
6.列方程解应用题：
（1）解：
设每天应多运x车
（36+x）×（15-5）=36×15
（36+x）×10=540
36+x=540÷10
x=54-36
x=18
（2）解：
设乙为x，则甲数为4x，丙数为（4x+4.5）
x+4x+4x+4.5=13.5×3
9x+4.5=40.5
9x=40.5-4.5
x=36÷9
x=4
（3）解：
设长方形的宽为x米，则长为1.5x米
（x+1.5x）×2=240
2.5x×2=240
2.5x=240÷2
x=120÷2.5
x=48
48×1.5=72
72×48=3456（平方米）……面积
（4）解法一：
算术方法：
（180-12）÷（1+3+4）
=168÷8
=21（度）……∠B
21×3=63（度）……∠A
21×4+12
=84+12
=96（度）……∠C
解法二：
方程：
解：
设∠B为x度，则∠A为3x度，∠C为（4x+12）度
x+3x+4x+12=180
8x+12=180
8x=180-12
x=168÷8
x=21
21×3=63
21×4+12
=84+12
=96
（5）解：
设最短边是x厘米，最长边是（x+5+5）厘米
x+（x+5）+（x+5+5）=120
x+x+5+x+10=120
3x+15=120
3x=120-15
x=105÷3
x=35
35+5+5=45
（6）解：
设三种硬币共有x个
10元=1000分
（1+2+5）x=1
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