各向同性弹性介质非线性本构方程.docx
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各向同性弹性介质非线性本构方程
第27卷增刊IVol.27Sup.I2010年6月June2010
文章编号：
1000-4750（2010）Sup.I-0001-05
工程力学ENGINEERINGMECHANICS
各向同性弹性介质非线性本构方程
*
李忱1,2，杨桂通1，黄执中3
（1.太原理工大学应用力学研究所，山西，太原030024；2.山西大学工程学院，山西，太原030013；3.北京航空航天大学，北京100191）
摘要：
从张量函数出发，围绕共轭应力、应变变量，研究了各向同性非线性弹性介质各种形式的本构方程以及各种形式方程之间的关系。
推导出用张量不变量，标量不变量表示的两种形式非线性Green弹性介质本构方程。
证明了方程是完备的，不可约的。
作为应用举例，研究了橡胶材料的工程应用问题。
关键词：
非线性；本构方程；不变量；共轭应力-应变；张量函数中图分类号：
O343.5文献标识码：
A
ONCONSTITUTIVEEQUATIONSOFISOTROPICNON-LINEAR
ELASTICMEDIUM
*
LIChen1,2,YANGGui-tong1,HUANGZhi-zhong3
（1.InstituteofAppliedMechanics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan,Shanxi030024,China;
2.EngineeringCollegeofShanxiUniversity,Taiyuan,Shanxi030013,China;3.BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Beijing100191,China）
Abstract:
Bymeansoftensorfunction,conjugatevariablesofstressandstrain,thedifferentconstitutiveequationsofisotropicnon-linearelasticmediumandtherelationsbetweendifferentequationformsarestudied.Theconstitutiveequationsofnon-linearGreenelasticmediumintermsoftensorinvariablesandscalarinvariablesarededuced.Itisprovedthattheequationsarecompleteandirreducible.Finallytheconstitutiveequationsareappliedtorubbermaterialsasanillustrationofengineeringpractice.
Keywords:
non-linear;constitutiveequation;invariant;conjugatestressandstrain;tensorfunction
非线性本构定律的一般研究和张量函数表示理论在连续介质力学中的应用，始于RivLin的工作[1
的非线性本构方程，应采用可从实验观测到的最小数目的变量，强调了张量函数的表示不但是完备的，还应该是不可约的。
遗憾的是，一个按Wineman-Pipkin定理作为一般张量函数完备表示张量多项式的完备表示，在绝大多数情况都远不是不可约的。
目前文献，大多数文献描述的方程都是来自于一些不太严格的假设和经验[13
―18]
―2]
以及Reiner关于有限应变的各向同性不可压
―4]
缩超弹性材料和非线性流体研究[3
。
20世纪50年
―9]
代开始张量多项式表达理论得到了广泛发展[5
。
郑泉水的研究概括了该理论的发展状况[10]。
本构方程作多项式假设，数学上处理大为方便。
但是，当本构方程不具备解析性时有严重缺陷，Wineman和Pipkin的重要成果[11
―12]
。
本文从张量函数出
发，围绕共轭应力、应变变量，研究了各向同性非线性弹性介质各种形式的本构方程及其方程之间的关系。
推导出两种形式的各向同性非线性超弹性（Green弹性体）介质任意阶本构方程，并且用张量不
部分地消除了这一缺陷，他
们证明了张量多项式的完备表示均可以看作是一般张量函数的完备表示。
然而，为了得到简要准确
———————————————
收稿日期：
2009-03-14；修改日期：
2009-12-23基金项目：
山西省自然科学基金项目（2008011007）
作者简介：
*李忱（1959―），男，浙江人，教授，博士，主要从事材料本构理论研究（E-mail:
tydz_lc@）
杨桂通（1931―），男，河北人，教授，博导，主要从事塑性力学研究（E-mail:
gtyang@）；
黄执中（1932―），男，河北人，教授，博导，主要从事理性力学研究.
2工程力学
变量、标量不变量的具体函数形式表述。
证明了方程是完备的、不可约的。
M（V）M（V）M（V−1）M（V−1,V）
根据表示定理，我们可以推出上述16种形式的本构方程。
定理.各向同性弹性介质的本构方程是：
1共轭应力-应变变量
我们将应力-应变关系一一对应，且成对的变量称为共轭应力-应变变量。
在连续介质力学中，可以定义如下共轭应力-应变变量：
1）K与E是共轭应力-应变变量。
⎧K=φ01+φ1c+φ2c2
⎪⎪−2
′c−1+φ′
（2）⎨K=φ′01+φ12c
⎪−1
′′′′′′1Kccφφφ=++⎪012⎩
或
K为第二类Piola-kirchhoff应力；
E为Lagrange应变张量。
2）K与c是共轭应力-应变变量。
c为右Cauchy-Green应变张量；3）K与c−1是共轭应力-应变变量。
4）T与B、B−1、e是共轭应力-应变变量，J雅可比行列式。
T为Cauchy应力张量；
B为左Cauchy-Green应变张量；e为Euler应变张量。
5）S与U、U、U−1是共轭应力-应变变量。
S为Jaumann应力张量；
U为右Cauchy-Green伸长张量；U为伸长比张量。
6）M与V、V−1、V是共轭应力-应变变量。
M为Biot应力的对称部分；V为左Cauchy-Green伸长张量；V为左伸长比张量。
1.1各种应变之间的关系
c=U2,V=1−V,U=U−1,c−1=2E,B=V2,1−B−1=2e,c=RTBR。
（1）1.2各种应力之间的关系
JT=FKFT，
1
S:
=（K⋅U+U⋅K），
R⋅U⋅K⋅RT=JV−1T，
1
M:
=J（T⋅V−1+V−1⋅T）。
⎧JT=φ′′′′′′2
01+φ1B+φ2B
⎪
′1+β1′B−1+β2′B−2⎪JT=β0⎪
（3）⎨−1
′1+β1′′B+β′′B⎪JT=β′02
⎪2⎪⎩JT=ρ01+ρ1e+ρ2e⎧S=ς1+ςU+ςU2
012
⎪
2⎪⎪S=ψ01+ψ1U+ψ2U
（4）⎨−1−2
′1+ψ1′U+ψ2′U⎪S=ψ0
⎪
′′1+ψ1′′U+ψ2′′U−1⎪⎩S=ψ0
或
⎧M=ζ1+ζ+ζ012
⎪
2⎪⎪M=h01+h1V+h2V
（5）⎨−1−2
′1+h1′V+h2′V⎪M=h0
⎪
′′1+h1′′V+h2′′V−1⎪⎩M=h0
或
证明：
各向同性弹性介质本构方程K=K（E）是对称张量E是张量值函数，根据表示定理，本构方程K=K（E）可以表示为：
2本构方程的形式
根据共轭应力-应变对应关系，我们可以确定各向同性弹性介质16种形式的本构方程，即：
K=ϕ01+ϕ1E+ϕ2E2（6）
1
∵E=（c−1）
（7）
1
∴E2=（c2−2c+1）
4
将式（7）上述两式代入式（6）得：
⎡1⎤⎡1⎤
K=ϕ01+2ϕ1⎢（c−1）⎥+3ϕ2⎢（c2−2c+1）⎥=
⎣2⎦⎣4⎦
11⎞11⎛2
⎜ϕ0−ϕ1+ϕ2⎟1+（ϕ1−ϕ2）c+ϕ2c=
24⎠24⎝
φ01+φ1c+φ2c2（8）
用c−1乘以张量c的Cayley-Hamilton方程：
K（E）K（c）K（c）K（c,c）JT（B）JT（B）JT（B,B）JT（e）S（U）S（U）S（U）S（U,U）
−1
−1
−1
−1
−1−1
c3=I1c2−I2c+I31
得出c2=I1c−I21+I3c−1
工程力学3
代入方程式（8）消去c2得到本构方程：
′1+φ1′c−1+φ2′c−2（9）K=φ0用c−1乘以张量c的Cayley-Hamilton方程：
对于2n阶弹性张量C的分量Cijkl、Cijklmn、
Cijklmnop、Cijklmnopqr…、k与l、m与n、o与p、q
与r、i与j是对称的，可以互换位置；（k,l）与（m,n）与（o,p）与（q,r）亦是对称的，可以互换位置。
但是对于（i,j）与（k,l）、（m,n）、（o,p）、（q,r）一般不对称。
当且仅当研究对象为Green弹性介质时，（i,j）与（k,l）、（m,n）、（o,p）、（q,r）对称，此时2n阶弹性张量C具有Voigt对称性。
C分量的自由标可以与求和标互换，势函数存在。
对于各Green弹性体，应力、应变均是对称的，弹性张量C的分量亦是对称的。
采用简记方式C112233122331:
=C123456。
Green弹性体弹性张量分量下标可以互换。
则各向同性材料有：
4阶（n=2）各向同性材料有2个独立常数，可以用C12C44表示。
6阶（n=3）各向同性材料有3个独立常数，可以用C123C344C456表示。
8阶（n=4）各向同性材料有4个独立常数，可以用C1123C1344C4466C1456表示。
10阶（n=5）各向同性材料有5个独立常数，可以用C11111C11112C11122C11123C11223表示。
可以证明（另文中给出）n>5，2n阶各向同性弹性张量分量等于零。
3.2本构方程
定义：
ea:
=e1⊗e1,eb:
=e2⊗e2,
c3=I1c2−I2c+I31
得出：
c=I11−I2c−1+I3c−2
代入方程式（9）消去c得到本构方程：
′′1+φ1′′c+φ′′c−1（10）K=φ02再将式（10）代入关系式：
JT=FKFT
有：
′′c−1）FT=JT=F（φ1′′c+φ′′1+φ2
′（FTF）−1]FT=F[φ1′′FTF+φ′′1+φ′2′′（FF）（FF）+φ′′（FF）+φ′′1]=[φ12
′′Β2+φ′′Β+φ′′1]（11）[φ12
同理可以证明式（3）―式（5）。
T
T
T
3不变量表示的本构方程
3.1张量函数多项式形式
我们研究自变量为E，函数值为K的张量值
函数，K=K（E）。
将Tayloar公式推广张量函数，有：
dK1d2K
K=K（0）+:
E+:
:
E⊗E+dE2!
dE1d3K
E⊗E⊗E+3!
dE
应力-应变考虑初始构形为自然状态K（0）=0，
关系可用多项式表示为：
K=C:
E+C:
:
E⊗E+C:
:
:
E⊗E⊗E+
ec:
=e3⊗e3,ed:
=e1⊗e2+e2⊗e1,ee:
=e2⊗e3+e3⊗e2,ef:
=e3⊗e1+e1⊗e3
C:
:
:
:
E⊗E⊗E⊗E（12）设：
{ei}（i=1,2,3）为右手笛卡尔坐标系的自然
{eα}α=a,,f,构成了2阶对称张量空间
Sym正交基。
采用简记符号，则对于张量不变量有：
基向量，式（12）可以表示为：
K=CijklEklei⊗ej+CijklmnEklEmnei⊗ej+
1=ea+eb+ec=e1⊗e1+e2⊗e2+e3⊗e3，
E=E1ea+E2eb+E3ec+E4ed+E5ee+E6ef，
22222
）ea+（E2）eb+E2=（E12+E4+E6+E4+E5
222
（E3）ec+（E1E4+E2E4+E5E6）ed++E5+E6
CijklmnopEklEmnEopei⊗ej+
CijklmnopqrEklEmnEopEqrei⊗ej…（13）
其中：
kl、mn、op、qr为求和标；ij为自由标。
为了进一步研究本构方程，将式（12）、式（13）赋予物理含义，即：
采用一对共轭应变、应力变量
（E2E5+E3E5+E4E6）ee+
（E1E6+E3E6+E4E5）ef。
（14）
定义.I1、I2、I3为E的第一、第二、第三主不变量，
E（Lagrange应变张量）、K（第二类Piola-Kirchhoff
应力张量）研究。
E是对称的，K是对称的，C称为2n阶弹性张量（n=2,3,4,…）亦是对称的。
1、2、3为E的3个主迹trE、trE2、trE3，将
式（14）按分量形式展开，可以推导出一对共轭应变、应力变量E、K表示的各向同性非线性弹性介质
4工程力学
本构方程：
K=ϕ01+2ϕ1E+3ϕ2E2=
（k1I1+k3I1+k4I2+k6I1+2k7I1I2+k8I3+k10I1+3k11I1I2+k12I2+2k13I1I3）1+
2（k2+k4I1+k7I1+k9I2+k11I1+2k12I1I2+k14I3）E+3（k5+k8I1+
2
k13I1
2
2
2
2
333
（J1−3）−（J2−3）+（J3−3）。
（18）888
将式（18）代入式（7）得到，势函数的另一种形式。
即以右Cauchy-Green应变张量c的主不变量J1、J2、J3的表示形式。
W=λ1（J1−3）+λ2（J1−3）2+λ3（J2−3）+λ4（J1−3）3+λ5（J1−3）（J2−3）+λ6（J3−1）+λ7（J1−3）4+λ8（J1−3）2（J2−3）+λ9（J2−3）2+2λ10（J1−3）（J3−1）+λ11（J1−3）5+
+k14I2）E（15）
2
我们可以推导出如下关系式：
⎧1:
dE=δijdEij=dEii=dI1⎪⎪
（16）⎨2E:
dE=2EijdEij=d（EijEji）=d2
⎪2⎪⎩3E:
dE=3EijEjkdEki=d（EijEjkEki）=dI3将式（15）代入W=K:
dE积分，且应用式（16）可得非线性各向同性Green弹性材料势函数：
23111
W=k11+k22+k31+k412+k53+k61+
23422511
k7I1I2+k8I1I3+k9I2+k10I1+k11I1I2+
25
λ12（J1−3）3（J2−3）+λ13（J1−3）（J2−3）2+λ14（J1−3）2（J3−1）−λ10（J2−3）（J3−1）（19）
对于Green弹性介质，共轭应力-应变张量与势函数之间有如下微分关系：
dWdW
=2=K=dEdc
∫
k1212+k1313+k1423（17）
其中：
2⎡∂WdJ1∂WdJ2∂WdJ3⎤2⎢⎥=∂∂∂JdJdJcc23dc⎦⎣1⎡⎛∂W∂W⎞∂W∂W−1⎤
J2⎢⎜+J1−+1cc⎥（20）⎟3
JJJJ∂∂∂∂⎢2⎠23⎦⎣⎝1
ϕ0=k11+k31+k42+k61+2k712+k83+
k10I1+3k11I1I2+k12I2+2k13I1I3，
2将式（19）代入式（20）得本构方程K（c−1,c）形式：
′c−1=K=φ′′1+φ1′′c+φ′2
2[（λ1+3λ3）+（2λ2+λ3+3λ5）（J1−3）+（3λ4+λ5+3λ8）（J1−3）2+（λ5+6λ9）（J2−3）+（4λ7+λ8+3λ10）（J1−3）3+2λ8（J1−3）（J2−3）−
ϕ1=k2+k41+k71+k92+k111+2k1212+k143,ϕ2=k5+k8I1+k13I1+k14I2。
kij是独立弹性常数Cijk的函数
2K与右Cauchy-K与E是共轭应力-应变变量。
Green应变张量c亦是共轭应力-应变变量。
下面我们通过K与c（c与弹性张量C是有区别的）这对共轭应力-应变变量，推导本构方程的另一种表达形式。
定义.
J1、J2、J3为c的第一、第二、第三主不变量，J1、J2、J3为c的3个主迹数trc、trc2、trc3。
因为：
c=1+2E可以推出：
1
1=（J1−3）,
2
λ10（J3−1）+5λ11（J1−3）4+（2λ9+6λ13）（J1−3）（J2−3）+
（3λ2+2λ13）（J1−3）2（J2−3）+λ13（J2−3）2+
（2λ14−λ12）（J1−3）（J3−1）]⋅1−2[λ3+λ5（J1−3）+λ8（J1−3）2+
2λ9（J2−3）+λ12（J1−3）3+2λ13（J1−3）（J2−3）−
λ10（J3−1）]c+2[λ6+2λ10（J1−3）+λ14（J1−3）2−λ10（J2−3）+λ6（J3−1）+
2λ10（J1−3）（J3−1）+λ14（J1−3）2（J3−1）−
λ10（J2−3）（J3−1）]c−1（21）其中：
λij是kij的函数。
11
2=（J1−3）2+（J1−3）−（J2−3）,
42
133
3=（J1−3）3+（J1−3）2−（J1−3）（J2−3）+
848
4讨论
（1）Green弹性体应力张量K可表示为Green应变张量E的张量值函数。
如果材料是各向同性的，
工程力学5
则根据对称性要求，应力张量K可以进一步表征为3个张量不变量和3个标量不变量的函数。
本文给出的是“构造性”证明，即将Taylor公式推广到单变量E的张量函数，采用张量积E⊗E,
名义应力f/（N/mm2）
纯剪
等比拉伸单轴拉伸
式（19）曲线模式
E⊗E⊗E,…,保证了函数K的完备性。
又因为trE,trE2,trE3，1、E、E2是完备的，不可约的标
量不变量、张量不变量，且独立的弹性常数亦是完备的、不可约的，所以推出的本构方程是Green各向同性弹性体完备的，不可约的表达式。
（2）弹性系数k1,k2,k3,k4,k5,k6,用独立弹性常数表示。
可以证明独立的弹性常数是不变量，所以弹性系数k1,k2,k3,k4,k5,k6,亦是不变量。
（3）K（Ε）与S（U）方程的形式完全一样。
（4）若用位移法解决问题，S（U）、S（U−1）、
拉伸λ
图1Treloar试验曲线拟合数据
Fig.1CurvefittingofTreloarexperimentdata
参考文献：
[1]
RivlinRS.Largeelasticdeformationsofisotropicmaterials,IV.Furtherdevelopmentsofthegeneraltheory[J].PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSocietyofLondonSeriesA-MathematicalPhysicalandEngineeringSciences,1948,A241:
379―397.
[2]RivlinRS.Thehydrodynamicsofnon-Newtonianfluids:
I[J].PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSocietyofLondonSeriesA-MathematicalPhysicalandEngineeringSciences,1948,A193:
260―281.
[3]ReinerM.Amathematicaltheoryofdilatancy[J].
AmericanJournalofMathematics,1945,67:
350―362.[4]ReinerM.Elasticitybeyondtheelasticlimit[J].
AmericanJournalofMathematics,1948,70:
433―446.[5]RivlinRS.Furtherremarksonthestress-deformation
relationsforisotropicmaterials[J].RationalMechanicsandAnalysis,1955,4:
681―702.
[6]SpencerAJM.Theoryofinvariants.In:
EringenACed.
Continuumphysics[M].NewYork:
AcademicPress,1971,I:
239―353.
[7]SpencerAJM.In:
BoehlerJPed.ApplicationsofTensor
FunctionsinSolidMechanics[M].CISMCoursesandLectures.Berlin:
Springer-Verlag,1987,292:
141―201.[8]TruesdellC,NollW.Thenon-linearfieldtheoriesof
mechanics[M].FIüggeSed.HandbuchderPhysik.Berlin/Heidelberg/NewYork:
Springer-Verlag,1965,III/3.
[9]RivlinRS.Non-linearcontinuumtheoriesinmechanics
andphysicsandtheirapplications[M].EdizioniCremonese,Rome,1970.
[10]郑泉水.张量函数的表示理论——本构方程统一不变
性研究[J].力学进展,1996,26
（1）:
114―137.
ZhengQuanshui.Theoryofrepresentationsfortensorfunctions─Aunifiedinvariantapproachtoconstitutiveequations[J].AdvancesinMechanics,1996,26
（1）:
114―137.（inChinese）
[11]WinemanAS,PipkinAC.Materialsymmetry
restrictionsonconstitutiveequations[J].ArchiveforRationalMechanicsAna1ysis,1964,17:
184―214.
S（U−1U）、M（V）、M（V−1）、M（V−1V）形式的
方程比较复杂涉及位移梯度开平方。
（5）仅研究材料的力学性能时，
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