数学安徽省芜湖市届高三模拟考试试题理解析版.docx
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数学安徽省芜湖市届高三模拟考试试题理解析版
安徽省芜湖市2018届高三5月模拟考试理科数学试题
一、选择题
1.已知集合，则（）
A.[-2，-1]B.[-1，2）C.[-1，1]D.[1，2）
2.设复数，则下列命题中错误的是（）
A.B.
C.在复平面上对应的点在第一象限D.的虚部为2
3.若满足约束条件则的最大值为（）
A.2B.6C.7D.8
4.若圆锥曲线的离心率为，则（）
A.B.C.D.
5.芜湖高铁站芜湖至地上午发车时间分别为7:
00，8:
00，8:
30，小明需在当天乘车到地参加一高校自主招生，他在7:
50至8:
30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）
A.B.C.D.
6.我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：
“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：
米几何？
右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的（单位：
升），则输入的值为（）
A.6B.7C.8D.9
7.已知是定义在上偶函数，对任意都有且，则的值为（）
A.2B.3C.4D.5
8.某几何体的三视图如右图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正（主）视图、侧（左）视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）
A.B.C.D.
9.已知函数．将的图象向左平移个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数，下列命题正确的是（）
A.函数在区间上有最小值B.函数的一条对称轴为
C.函数在区间上单调递增D.函数的一个对称点为
10.设，，均为实数，且，，，则（）
A.B.C.D.
11.已知椭圆的右焦点为．圆上所有点都在椭圆的内部，过椭圆上任一点作圆的两条切线，为切点，若，则椭圆C的离心率为（）
A.B.C.D.
12.已知函数，其中为自然对数的底数．若函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
二、填空题
13.已知向量的夹角为，，，则=_______．
14.已知展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_______．
15.在三棱锥中，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_______．
16.已知的内角的对边分别为，若，则最小值是_______．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.已知等比数列的前项和为.若，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18.如图，在三棱柱中，，，平面平面，为中点.
（1）求证：
；
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.某市疾控中心流感监测结果显示，自年月起，该市流感活动一度出现上升趋势，尤其是月以来，呈现快速增长态势，截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知位同学中有位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方法：
方案甲：
逐个化验，直到能确定感染同学为止；
方案乙：
先任取个同学，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这位中的位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外位同学中逐个检测；
（1）求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；
（2）表示依方案甲所需化验次数，表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑那种化验方案最佳．
20.设抛物线的焦点为，准线为．已知点在抛物线上，点在上，是边长为4的等边三角形．
（1）求的值；
（2）若直线是过定点的一条直线，且与抛物线交于两点，过作的垂
线与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值．
21.已知函数．曲线在处切线的斜率为，（为自然对数的底数）
（1）求a的值；
（2）证明：
．
22.在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线和曲线交于两点（在之间），且，求实数的值．
23.已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）记的最小值为，已知实数a，，都是正实数，且，
求证：
．
【参考答案】
一、选择题
1.【答案】A
【解析】分析：
化简集合，利用数轴法计算可得.
详解：
因为，
所以：
故选A.
2.【答案】D
【解析】将复数化简整理得，依次验证A、B、C、D四个选项，可知D错误.
详解：
，知复数的虚部为1，故选D.
3.【答案】C
【解析】作出可行域，研究目标函数的几何意义可知，当时目标函数取得最大值为.
详解：
作出可行域，如下图中的阴影部分，
易知目标函数中的值随直线向上平移而增大，
过点时取得最大值为，故选C.
4.【答案】A
【解析】根据题目中离心率的取值范围，确定所给圆锥曲线为双曲线，化成标准式，利用，可求出.
详解：
离心率，所以该圆锥曲线为双曲线，
又可化为，则，
解得，故选A.
5.【答案】B
【解析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案.
详解：
设小明到达时间为，
当在7：
50至8：
00，或8：
20至8：
30时，小明等车时间不超过十分钟，
故，故选B.
6.【答案】C
【解析】分析：
执行程序框图，得到输出值，令，可得.
详解：
阅读程序框图，初始化数值，
循环结果执行如下：
第一次：
成立，；
第二次：
成立，；
第三次：
成立，；
第四次：
不成立，输出，解得.
故选C.
7.【答案】D
【解析】根据题设求出函数的周期，则，再利用函数的奇偶性可得.
详解：
由，知函数为周期函数，且周期，
则
又函数为上的偶函数，所以，
故选D.
8.【答案】A
【解析】由三视图还原可知，原图形为一个边长为1的正方体，挖去了一个高为的，正四棱锥，所以体积为。
选A.
9.【答案】C
【解析】根据题设以及的取值范围，求出的值，代入得，依次验证A、B、C、D四个选项，可得正确结论.
详解：
设将的图像向左平移后得到，
则，
因为为偶函数，且，
则，即，所以.
分别验证四个选项，只有C正确，故选C.
10.【答案】B
【解析】将题目中方程的根转化为两个函数图像的交点的横坐标的值，作出函数图像，根据图像可得出的大小关系.
详解：
在同一平面直角坐标系中，
分别作出函数的图像
由图可知，故选B.
11.【答案】B
【解析】分析可知，当且仅当点为椭圆的左、右顶点时，取得最小值和大值，根据条件列出的方程组，可解出的值，求解离心率.
详解：
如下图可知，当且仅当点为椭圆的左顶点时，最小，
即，
在中，，则，
同理，当点为椭圆的右顶点时，最大，
可得
解得，
离心率，故选B.
12.【答案】D
【解析】分析：
对求导得，由题设可知，且先减后增，欲使函数在区间内有两个零点，则必有，求解不等式得的取值范围.
详解：
，易知当时，恒成立，不符合题意；
则必有，此时函数先减后增，
欲使函数在区间内有两个零点，则必有
，
解得.故选D.
二、填空题
13.【答案】
【解析】欲求的值，可先求的值，展开代入可得.
详解：
由已知，
，
14.【答案】61
【解析】根据题设可列出关于的不等式，求出，代入可求展开式中常数项为.
详解：
的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，
，解得，
又，
则展开式中常数项为.
15.【答案】
详解：
在三棱锥中，
当且仅当时，三棱锥体积达到最大，
此时，设外接球的半径为，
则有，
表面积为.
16.【答案】3
【解析】利用正弦定理及二倍角公式，将原问题转化为求三角函数的最值问题，再利用均值定理进行求解.
详解：
由，及正弦定理可得
所以的最小值为.
三、解答题
17.解：
（1）由，可得．
即公比，又，故．
（2），
．
18.
（1）证明：
过点做交于，因为面，，
所以，故，
又因为，所以，故，
因为，所以，又因为，所以面，
故．
（2）解：
以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标，
，
设面的法向量为，则令，
得；
设面的法向量为，则令
得；
面与面所成锐二面角的余弦值为．
19.解：
（1）设分别表示依方案甲需化验为第次；表示依方案乙需化验为第次；
表示方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数．
，
（2）的可能取值为．的可能取值为．
（次），
∴（次），∴故方案乙更佳．
20.解：
（1）由题意知，则．设准线与轴交于点，则，
又是边长为4的等边三角形，，所以，即．
（2）设直线的方程为，设，
联立得，则，，
，
，同理得，
则四边形的面积
，
令，
是关于的增函数，
故，当且仅当时取得最小值．
21.（Ⅰ）解：
因为，
所以，
则，得.
（Ⅱ）证明：
，，
设函数，，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
则。
设函数，，令，，则在为减函数，又因为，则当时，，即，为增函数，则当时，，即，为减函数，所以，综上所述，。
22.解：
（1）的参数方程，消参得普通方程为，
的极坐标方程为两边同乘得即；
（2）将曲线的参数方程（为参数，）代入曲线得，由，得，
设对应的参数为，由题意得即或，
当时，，解得，
当时，解得，
综上：
或．
23.
（1）解：
或或，
解得或．
综上所述，不等式的解集为
（2）证明：
由（时取等号）
.即，从而，
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