苏教版高一数学集合二.docx

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苏教版高一数学集合二

苏教版高一数学集合

第二课时集合

（二）

教学目标：

使学生了解有限集、无限集概念，掌握表示集合方法，了解空集的概念及其特殊性；通过本节教学，培养学生逻辑思维能力；渗透抽象、概括的思想.

教学重点：

集合的表示方法，空集.

教学难点：

正确表示一些简单集合.

教学方法：

自学辅导法

在学生自学基础上，进行概括、总结.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

集合元素的特征有哪些?

怎样理解?

试举例说明.

集合与元素关系是什么?

如何表示?

Ⅱ.讲授新课

1.集合的表示方法

通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法，常用表示方法有：

（1）列举法：

把集合中元素一一列举出来的方法.

（2）描述法：

用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.

［师］由方程x2－1＝0的所有解组成的集合可以表示为{－1，1}，不等式x－3＞2的解集可以表示为{x｜x－3＞2}.

下面请同学们思考：

幻灯片（A）：

请用列举法表示下列集合

（1）小于5的正奇数

（2）能被3整除且大于4小于15的自然数

（3）方程x2－9＝0的解的集合

（4）{15以内的质数}

（5）{x｜∈Z,x∈Z}

［生］

（1）满足题条件小于5的正奇数有1，3.故用列举法表示为{1，3}

（2）能被3整除且大于4小于15的自然数有6，9，12.故用列举法表示为{6，9，12}

（3）方程x2－9＝0的解为－3，3.故用列举法表示为{－3，3}

（4）15以内的质数2，3，5，7，11，13.故该集合用列举法表示为{2，3，5，7，11，13}

（5）满足∈Z的x有：

3－x＝±1，±2，±3，±6，解之x＝2，4，1，5，0，6，－3，9.故用列举法表示为{2，4，1，5，0，6，－3，9}

［师］通过我们对上述题目求解，可以看到问题求解的关键应是什么?

［生］依题找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在.

［师］用列举法表示集合时，要注意元素不重不漏，不计次序地用"，"隔开并放在大括号内.

除了刚才练习题目中涉及到的问题外，还有如下问题，注意比较各问题的形式，试用描述法表示下列集合.

（6）到定点距离等于定长的点

让学生充分考虑，相互研讨后师给出结果

{（x，y）|（x－a）2＋（y－b）2＝r2}

（7）方程组的解集为｛（x，y）|｝

（8）由适合x2－x－2＞0的所有解组成集合

{x｜x2－x－2＞0}

下面给出问题，经学生考虑后回答：

幻灯片（B）：

用描述法分别表示：

（1）抛物线x2＝y上的点.

（2）抛物线x2＝y上点的横坐标.

（3）抛物线x2＝y上点的纵坐标.

（4）数轴上离开原点的距离大于6的点的集合.

（5）平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合.

［生］

（1）集合中的元素是点.它是坐标平面内的点，其坐标是一个有序实数.对，可表示为{（x，y）｜x2＝y}

（2）集合中的元素是实数.该实数是平面上点的横坐标，用描述法表示即为{x｜x2＝y}.

（3）集合中的元素是实数.该实数是符合条件的平面上点的纵坐标.用描述法表示即为{y｜x2＝y}.

（4）该集合中元素是点.而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，所以可以表示成{x∈R||x|＞6}.

（5）平面直角坐标系中点是该集合元素.该点可以用一对有序实数对表示，用描述法即可表示为{（x，y）｜xy＞0}.

［师］同学们通过对上述问题的解答，解决该类问题的关键是什么?

［生］（经讨论后得出结论）

解决该类问题关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素.

［师］集合中元素的公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但必须抓住其实质.

［师］再看几例

1.用列举法表示1到100连续自然数的平方；

2.{x}，{x，y}，{（x，y）}的含义是否相同.

［生］{x}表示单元素集合；{x，y}表示两个元素集合；{（x，y）}表示含一点集合.

而对于1题经教师指导给出结论，该集合列举法表示为{1，4，9，25，...，1002}.

3.{x｜y＝x2＋1}，{y｜y＝x2＋1}，{（x，y）｜y＝x2＋1}，的含义是否相同.

（3）集合相等

两个集合相等、应满足如下关系：

A＝{2，3，4，5}，B＝{5，4，3，2}，即有集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素都是集合A的元素.

幻灯片：

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.我们就说集合A等于集合B.记作A＝B.

用式子表示：

如果AB，同时BA，那么A＝B.

如：

{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；

{2，3，4}与{3，4，2}相等；

{2，3}与{3，2}相等.

［师］请同学互相举例并判断是否相等.

稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.

如：

A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.

2.集合的分类

师指出：

（1）有限集--含有有限个元素的集合.

（2）无限集--含有无限个元素的集合.

那么投影（A）中的集合和（B）中的集合是有限集还是无限集，经重新投影后，学生作答.

［生］幻灯片（A）中的五个集合都是有限集；幻灯片（B）中的五个集合都是无限集.3.空集

［师］表示空集，既不含任何元素的集合.

例如：

{x｜x2＋2＝0}，{x｜x2＋1＜0}

请学生相互举例、验证，师补充说明：

4.［师］集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图（文氏图）叙述如下：

画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：

表示任意一个集合A

边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.

Ⅲ.课堂练习

1.解：

（1）满足题意的集合可用描述法表示

{x∈N｜x＞10}；它是一个无限集.

（2）满足题意的集合可用列举法表示如下：

{2，3，6}；它是一个有限集.

（3）满足题意的集合可用列举法表示如下：

{－2，2}；它是一个有限集.

（4）满足题意的集合可用列举法表示如下：

{2，3，5，7}；它是一个有限集.

2.解：

（1）该集合可用描述法表示如下：

{x｜x是4与6的公倍数}；它是一个无限集.

（2）该集合可用描述法表示如下：

{x｜x＝2n，n∈N*}；它是一个无限集.

（3）该集合可用描述法表示如下：

{x｜x2－2＝0}；它是一个有限集.

（4）不等式4x－6＜5的解集可用描述法表示如下：

{x｜x＜}；它是一个无限集.

问题的解决主要靠判断集合中元素的多少，进而确定表示方法.

3.判断正误：

（1）x＝－1，0，1时，y＝x2＋1的值的集合是｛2，1，2｝

（2）方程组的解集是｛1，－1｝

（3）方程x2＋2x－3＝0的解集是

{x｜1，－3}，{x｜x＝1，x＝－3}，{1或－3}，｛（1，－3）｝，｛1｝或｛－3｝

4.方程组的解集用列举法表示为_____________；用描述法表示为_______.

解：

因的解集为方程组的解.

解该方程组x＝，y＝－

则用列举法表示为{（，－）}；用描述法表示为｛（x，y）|}

5.{（x，y）｜x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为__________.

解：

因x＋y＝6，x，y∈N的解有：

故列举法表示该集合，就是{（0，6）,（1，5）,（2，4）,（3，3）,（4，2）,（5，1）,（6，0）}

Ⅳ.课时小结

1.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以.

2.注意在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究.

Ⅴ.课后作业

（一）1.用列举法表示下列集合：

（1）x2－4的一次因式组成的集合.

（2）{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.

（3）方程x2＋6x＋9＝0的解集.（4）{20以内的质数}.

（5）{（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}.（6）{大于0小于3的整数}.

（7）{x∈R｜x2＋5x－14＝0}.

（8）{（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.

（9）{（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.

分析：

用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用"，"隔开放在大括号内.

解：

（1）因x2－4＝（x－2）（x＋2），故符合题意的集合为{x－2，x＋2}.

（2）y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0，1，2，3，4.

故{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}＝{0，1，2，3，4}.

（3）由x2＋6x＋9＝0得x1＝x2＝－3∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}.

（4）{20以内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.

（5）因x∈Z,y∈Z，则x＝－1，0，1时，y＝0，1，－1.

那么{（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}＝{（－1，0），（0，1），（0，－1），（1，0）}.

（6）{大于0小于3的整数}＝{1，2}.

（7）因x2＋5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，则{x∈R｜x2＋5x－14＝0}＝{－7，2}.

（8）当x∈N且1≤x＜4时，x＝1，2，3，此时y＝2x，即y＝2，4，6.

那么{（x，y）｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}＝{（1，2），（2，4），（3，6）}.

（9）{（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}＝{（0，6）（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}.

2.用描述法表示下列集合：

（1）方程2x＋y＝5的解集.

（2）小于10的所有非负整数的集合.

（3）方程ax＋by＝0（ab≠0）的解.（4）数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.

（5）平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.

（6）方程组的解的集合.（7）{1，3，5，7，...}.

（8）x轴上所有点的集合.（9）非负偶数.

（10）能被3整除的整数.

分析：

用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.

解：

（1）{（x，y）｜2x＋y＝5}.

（2）小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为{x｜0≤x＜10，x∈Z}.

（3）方程ax＋by＝0（ab≠0）的解用描述法表示为{（x，y）｜ax＋by＝0（ab≠0）}.

（4）数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x｜x＞3}.

（5）平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{（x，y）｜xy＜0}.

（6）方程组的解的集合用描述法表示为{（x，y）｜}.

（7）{1，3，5，7，...}用描述法表示为{x｜x＝2k－1，k∈N*}.

（8）x轴上所有点的集合用描述法表示为{（x，y）｜x∈R，y＝0}.

（9）非负偶数用描述法表示为{x｜x＝2k，k∈N}.

（10）能被3整除的整数用描述法表示为{x｜x＝3k，k∈Z}.

3.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，求B.

解：

∵y∈A∴y＝－2，－1，0，1

此时｜y｜＝0，1，2，则有B＝{0，1，2}.

4.将方程组的解集用列举法、描述法分别表示.

解：

因的解为（3，－7）

则用描述法表示该集合：

{（x，y）｜}；

用列举法表示该集合：

{（3，－7）}.

5.设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.

解：

因A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，则集合A由偶数构成，集合B由奇数构成.

即a是偶数，b是奇数设a＝2m，b＝2n＋1（m∈Z,n∈Z）

则a＋b＝2（m＋n）＋1是奇数，那么a＋bA，a＋b∈B

又C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2・2k＋1

故m＋n是偶数时，a＋b∈C；m＋n不是偶数时，a＋bC.

综上a＋bA，a＋b∈B，a＋bC.

（二）预习内容：

1.预习课本P8～P9子集，子集的概念及空集的性质.

2.预习提纲：

（1）两个集合A、B具有什么条件，就能说明一个集合是另一个集合的子集？

（2）一个集合A是另一个集合B的真子集，则其应满足条件是什么?

（3）空集有哪些性质?

集合

（二）

1.用列举法表示下列集合：

（1）x2－4的一次因式组成的集合.

（2）{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.

（3）方程x2＋6x＋9＝0的解集.

（4）{20以内的质数}.

（5）{（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}.

（6）{大于0小于3的整数}.

（7）{x∈R｜x2＋5x－14＝0}.

（8）{（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.

（9）{（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.

2.用描述法表示下列集合：

（1）方程2x＋y＝5的解集.

（2）小于10的所有非负整数的集合.

（3）方程ax＋by＝0（ab≠0）的解.

（4）数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.

（5）平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.

（6）方程组的解的集合.

（7）{1，3，5，7，...}.

（8）x轴上所有点的集合.

（9）非负偶数.

（10）能被3整除的整数.

3.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，求B.

4.将方程组的解集用列举法、描述法分别表示.

5.设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.