传感器计算题详解.doc
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《传感器与传感器技术》计算题
解题指导（供参考）
第1章传感器的一般特性
1-5某传感器给定精度为2%F·S，满度值为50mV，零位值为10mV，求可能出现的最大误差d（以mV计）。
当传感器使用在满量程的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。
由你的计算结果能得出什么结论?
解：
满量程（F•S）为50~10=40（mV）
可能出现的最大误差为：
Dm＝40´2%=0.8（mV）
当使用在1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：
1-6有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述，试求这两个系统的时间常数t和静态灵敏度K。
（1）
式中，y为输出电压，V；T为输入温度，℃。
（2）
式中，y——输出电压，mV；x——输入压力，Pa。
解：
根据题给传感器微分方程，得
（1）τ=30/3=10（s），
K=1.5´10-5/3=0.5´10-5（V/℃）；
（2）τ=1.4/4.2=1/3（s），
K=9.6/4.2=2.29（mV/Pa）。
1-7设用一个时间常数t=0.1s的一阶传感器检测系统测量输入为x（t）=sin4t+0.2sin40t的信号，试求其输出y（t）的表达式。
设静态灵敏度K=1。
解根据叠加性，输出y（t）为x1（t）=sin4t和x2（t）=0.2sin40t单独作用时响应y1（t）和y2（t）的叠加，即y（t）=y1（t）+y2（t）。
由频率响应特性：
所以
y（t）=y1（t）+y2（t）=0.93sin（4t-21.8°）+0.049sin（40t-75.96°）
1-8试分析传感器系统的频率响应特性。
解传感器系统的时间常数t=A/B，灵敏度K=C/B。
所以，其频率响应为
相频特性为
1-9已知一热电偶的时间常数t=10s，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在540℃至500℃之间接近正弦曲线波动，周期为80s，静态灵敏度K=1。
试求该热电偶输出的最大值和最小值。
以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。
解：
依题意，炉内温度变化规律可表示为
x（t）=520+20sin（wt）℃
由周期T=80s，则温度变化频率f=1/T，其相应的圆频率w=2pf=2p/80=p/40；
温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应y（t）为
y（t）=520+Bsin（wt+j）℃
热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为
因此，热电偶输出信号波动幅值为
B=20A（w）=200.786=15.7℃
由此可得输出温度的最大值和最小值分别为
y（t）|=520+B=520+15.7=535.7℃
y（t）|=520﹣B=520-15.7=504.3℃
输出信号的相位差j为
j（ω）=-arctan（ω）=-arctan（2p/80´10）=-38.2°
相应的时间滞后为
Dt=
1-10一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即
式中，y为输出电荷量，pC；x为输入加速度，m/s2。
试求其固有振荡频率wn和阻尼比z。
解:
由题给微分方程可得
1-11某压力传感器的校准数据如表1-5所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。
（最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录）
表1-5校准数据表
压力
（MPa）
输出值（mV）
第一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
正行程
反行程
正行程
反行程
0
-2.73
-2.71
-2.71
-2.68
-2.68
-2.69
0.02
0.56
0.66
0.61
0.68
0.64
0.69
0.04
3.96
4.06
3.99
4.09
4.03
4.11
0.06
7.40
7.49
7.43
7.53
7.45
7.52
0.08
10.88
10.95
10.89
10.93
10.94
10.99
0.10
14.42
14.42
14.47
14.47
14.46
14.46
解校验数据处理（求校验平均值）：
压力
（MPa）
（设为x）
输出值（mV）
第一次循环
第二次循环
第三次循环
校验平均值
（设为y）
正行程
反行程
正行程
反行程
正行程
反行程
0
-2.73
-2.71
-2.71
-2.68
-2.68
-2.69
-2.70
0.02
0.56
0.66
0.61
0.68
0.64
0.69
0.64
0.04
3.96
4.06
3.99
4.09
4.03
4.11
4.04
0.06
7.40
7.49
7.43
7.53
7.45
7.52
7.47
0.08
10.88
10.95
10.89
10.93
10.94
10.99
10.93
0.10
14.42
14.42
14.47
14.47
14.46
14.46
14.45
（1）端点连线法
设直线方程为
y=a0+kx，
取端点（x1，y1）=（0，-2.70）和（x6，y6）=（0.10，14.45）。
则a0由x=0时的y0值确定，即
a0=y0-kx=y1=-2.70（mV）
k由直线的斜率确定，即
（mV/MPa）
拟合直线方程为
y=-2.70+171.5x
¨求非线性误差：
压力
（MPa）
校验平均值
（mV）
直线拟合值
（mV）
非线性误差
（mV）
最大非线性误差
（mV）
0
-2.70
-2.70
0
-0.12
0.02
0.64
0.73
-0.09
0.04
4.04
4.16
-0.12
0.06
7.47
7.59
-0.12
0.08
10.93
11.02
-0.09
0.10
14.45
14.45
0
所以，压力传感器的非线性误差为
¨求重复性误差：
压力
（MPa）
输出值（mV）
正行程
反行程
1
2
3
不重复误差
1
2
3
不重复误差
0
-2.73
-2.71
-2.68
0.05
-2.71
-2.68
-2.69
0.03
0.02
0.56
0.61
0.64
0.08
0.66
0.68
0.69
0.03
0.04
3.96
3.99
4.03
0.07
4.06
4.09
4.11
0.05
0.06
7.40
7.43
7.45
0.05
7.49
7.53
7.52
0.04
0.08
10.88
10.89
10.94
0.06
10.95
10.93
10.99
0.04
0.10
14.42
14.47
14.46
0.05
14.42
14.47
14.46
0.05
最大不重复误差为0.08mV，则重复性误差为
¨求迟滞误差：
压力
（MPa）
输出值（mV）
第一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
迟滞
正行程
反行程
迟滞
正行程
反行程
迟滞
0
-2.73
-2.71
0.02
-2.71
-2.68
0.03
-2.68
-2.69
0.01
0.02
0.56
0.66
0.10
0.61
0.68
0.07
0.64
0.69
0.05
0.04
3.96
4.06
0.10
3.99
4.09
0.10
4.03
4.11
0.08
0.06
7.40
7.49
0.09
7.43
7.53
0.10
7.45
7.52
0.07
0.08
10.88
10.95
0.07
10.89
10.93
0.04
10.94
10.99
0.05
0.10
14.42
14.42
0
14.47
14.47
0.0
14.46
14.46
0.0
最大迟滞为0.10mV，所以迟滞误差为
（2）最小二乘法
设直线方程为
y=a0+kx
数据处理如下表所示。
序号
1
2
3
4
5
6
∑
x
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.3
y
-2.70
0.64
4.04
7.47
10.93
14.45
34.83
x2
0
0.0004
0.0016
0.0036
0.0064
0.01
0.022
xy
0
0.0128
0.1616
0.4482
0.8744
1.445
2.942
根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为：
所以，最小二乘法线性回归方程为
y=-2.77+171.5x
求非线性误差：
压力
（MPa）
校验平均值
（mV）
直线拟合值
（mV）
非线性误差
（mV）
最大非线性误差
（mV）
0
-2.70
-2.77
0.07
-0.07
0.02
0.64
0.66
-0.02
0.04
4.04
4.09
-0.05
0.06
7.47
7.52
-0.05
0.08
10.93
10.95
-0.02
0.10
14.45
14.38
0.07
所以，压力传感器的非线性误差为
可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小，所以最小二乘法拟合更合理。
重复性误差dR和迟滞误差dH是一致的。
1-12用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时，如幅值误差限制在5%以内，则其时间常数应取多少?
若用该系统测试50Hz的正弦信号，问此时的幅值误差和相位差为多？
解:
根据题意
（取等号计算）
解出
ωτ=0.3287
所以
=0.523ms
当用该系统测试50Hz的正弦信号时，其幅值误差为
相位差为
j=﹣arctan（wt）=﹣arctan（2π×50×0.523×10-3）=﹣9.3°
1-13一只二阶力传感器系统，已知其固有频率f0=800Hz，阻尼比z=0.14，现用它作工作频率f=400Hz的正弦变化的外力测试时，其幅值比A（w）和相位角j（w）各为多少；若该传感器的阻尼比z=0.7时，其A（w）和j（w）又将如何变化?
解:
所以，当ξ=0.14时
当ξ=0.7时
1-14用一只时间常数t=0.318s的一阶传感器去测量周期分别为1s、2s和3s的正弦信号，问幅值相对误差为多少?
解：
由一阶传感器的动态误差公式
t=0.318s
1-15已知某二阶传感器系统的固有频率f0=10kHz，阻尼比z=0.1，若要求传感器的输出幅值误差小于3%，试确定该传感器的工作频率范围。
解：
由f0=10kHz，根据二阶传感器误
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