7.已知随机变量X的概率分布列如下表:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
m
则P（X=10）= （ ）
A.B.C.D.
【解题提示】利用离散型随机变量的分布列的性质表示m,再利用等比数列的前n项和求得m.
【解析】选C.由题易知:
P（X=1）+P（X=2）+…+P（X=10）=1
⇒++…++m=1⇒
m=1-
=1-2×=1-=.
二、填空题（每小题5分,共15分）
8.设随机变量ξ的分布列为P=ak（k=1,2,3,4,5）,则常数a的值为 ,P= .
【解析】随机变量ξ的分布列为
ξ
1
P
a
2a
3a
4a
5a
由a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.
P=P+P+P（ξ=1）
=3a+4a+5a=12a=.
答案:
【一题多解】本题还可以用如下的方法解决:
随机变量ξ的分布列为
ξ
1
P
a
2a
3a
4a
5a
由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=,
P=1-P-P（ξ=）=.
答案:
9.（xx·太原模拟）一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积X的分布列为 .
【解析】随机变量X的可能取值为0,1,2,4,
P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=2）=,P（X=4）=,
所以分布列为
X
0
1
2
4
P
答案:
X
0
1
2
4
P
10.（xx·成都模拟）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是 .
【解题提示】女生人数服从超几何分布.
【解析】设所选女生人数为X,则X服从超几何分布,其中N=6,M=2,n=3,
则P（X≤1）=P（X=0）+P（X=1）=+=.
答案:
（20分钟 40分）
1.（5分）（xx·衡水模拟）已知随机变量X的概率分别为p1,p2,p3,且依次成等差数列,则公差d的取值范围是 .
【解析】由已知得p1=p2-d,p3=p2+d,由分布列性质知
（p2-d）+p2+（p2+d）=1,得p2=,
又
得-≤d≤.
答案:
2.（5分）为检验某产品的质量,现抽取5件该产品,测量产品中微量元素x,y的含量（单位:
毫克）,测量数据如下:
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
如果产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75,该产品为优等品.
现从上述5件产品中,随机抽取2件,则抽取的2件产品中优等品数X的分布列是 .
【解题提示】X服从超几何分布.
【解析】5件抽测品中有2件优等品,则X的可能取值为0,1,2,P（X=0）==0.3,P（X=1）==0.6,P（X=2）==0.1,所以优等品数X的分布列为
X
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
答案:
X
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
3.（5分）如图所示,A,B两点间有5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X,则P（X≥8）= .
【解析】由已知得X的取值为7,8,9,10.
因为P（X=7）==,
P（X=8）==,
P（X=9）==,P（X=10）==.
所以X的概率分布列为
X
7
8
9
10
P
所以P（X≥8）=P（X=8）+P（X=9）+P（X=10）
=++=.
答案:
4.（12分）（xx·中山模拟）有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入坐编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ,已知ξ=2时,共有6种坐法.
（1）求n的值.
（2）求随机变量ξ的概率分布列.
【解析】
（1）因为当ξ=2时,有种坐法,
所以=6,
即=6,
n2-n-12=0,n=4或n=-3（舍去）,所以n=4.
（2）因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ,
由题意知ξ的可能取值是0,2,3,4,
所以P（ξ=0）==,
P（ξ=2）===,
P（ξ=3）===,
P（ξ=4）=1---=,
所以ξ的概率分布列为
ξ
0
2
3
4
P
【加固训练】一个袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回去,直到取到白球为止,求取球次数的分布列.
【解析】设取球次数为X,则X的可能取值为1,2,3,4,5,
P（X=1）==,P（X=2）==,
P（X=3）==,P（X=4）==,
P（X=5）==,所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
【方法技巧】与离散型随机变量有关的应用题的解题步骤
第一步:
理解以实际问题为背景的概率问题的题意,确定离散型随机变量的所有可能取值;
第二步:
利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率;
第三步:
画出随机变量的分布列;
第四步:
明确规范表述结论.
5.（13分）（xx·湘潭模拟）据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注,为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3600人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计,结果如下表:
态度
调查人群
应该取消
应该保留
无所谓
在校学生
2100人
120人
y人
社会人士
600人
x人
z人
而且已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.
（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
（2）在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人,再平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数ξ的分布列.
【解析】
（1）因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,
所以=0.05,解得x=60,
所以持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720,
所以应在“无所谓”态度抽取720×=72人.
（2）由
（1）知持“应该保留”态度的一共有180人,
所以在所抽取的6人中,在校学生为×6=4人,社会人士为×6=2人,于是第一组在校学生人数ξ=1,2,3.
P（ξ=1）==,P（ξ=2）==,
P（ξ=3）==.
即ξ的分布列为:
ξ
1
2
3
P
【加固训练】（xx·贵阳模拟）设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0,当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.
（1）求概率P（ξ=0）.
（2）求ξ的分布列.
【解析】
（1）若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8对相交棱,因此P（ξ=0）===.
（2）若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,
故P（ξ=）==,
于是P（ξ=1）=1-P（ξ=0）-P（ξ=）=1--=,
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
P
2019-2020年高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量10.8二项分布正态分布及其应用课时提升作业理
一、选择题（每小题5分,共35分）
1.（xx·太原模拟）已知随机变量X服从正态分布N（3,1）,且P（2≤X≤4）=0.6826,则P（X>4）= （ ）
A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585
【解析】选B.因为X～N（3,1）,所以正态分布曲线关于μ=3对称,所以P（X≥3）=0.5,又P（2≤X≤4）=0.6826,所以P（X>4）=0.5-P（2≤X≤4）=0.5-×0.6826=0.1587.
【加固训练】（xx·秦皇岛模拟）在正态分布N中,数值落在
（-∞,-1）∪（1,+∞）内的概率为 （ ）
A.0.097 B.0.046
C.0.03 D.0.0026
【解析】选D.因为μ=0,σ=,所以P（X<-1或X>1）=1-P（-1≤X≤1）=1-P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）=1-0.9974=0.0026.
2.（xx·张家界模拟）如图,元件Ai（i=1,2,3,4）通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立,则电流能在M,N之间通过的概率是 （ ）
A.0.729B.0.8829C.0.864D.0.9891
【解析】选B.电流能通过A1,A2的概率为0.9×0.9=0.81,电流能通过A3的概率为0.9,故电流不能通过A1,A2,且也不能通过A3的概率为（1-0.81）（1-0.9）=0.019,
故电流能通过系统A1,A2,A3的概率为
1-0.019=0.981,
而电流能通过A4的概率为0.9,
故电流能在M,N之间通过的概率是（1-0.019）×0.9=0.8829.
3.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ）
A.0.85B.0.8192C.0.8D.0.75
【解析】选B.P=（0.8）3·0.2+（0.8）4=0.8192.
4.（xx·石家庄模拟）1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱中,然后从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是 （ ）
A.B.C.D.
【解题提示】此问题为从1号箱中取到红球的条件下,从2号箱中也取到红球的条件概率问题.
【解析】选C.设从1号箱中取到红球为事件A,从2号箱中取到红球为事件B,由题意,P（A）==,P（B|A）==,所以P（AB）=P（B|A）P（A）=×=,所以两次都取到红球的概率为.
5.（xx·成都模拟）端午节那天,小明的妈妈为小明煮了5个粽子,其中2个腊肉馅3个豆沙馅,小明随机取出两个,记事件A为“取到的两个为同一种馅”,事件B为“取到的两个都是豆沙馅”,则P（B|A）= （ ）
A.B.C.D.
【解析】选A.由题意,P（A）==,
P（AB）==,所以P（B|A）==.
【加固训练】（xx·平顶山模拟）已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】选D.设事件A为“第1次取到的是螺口灯泡”,事件B为“第2次取到的是卡口灯泡”,则P（A）=,P（AB）=×=.则所求概率为P（B|A）===.
6.（xx·中山模拟）假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-p,且各引擎是否有故障是独立的,已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行,要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全,则p的取值范围是 （ ）
A.B.
C.D.
【解题提示】由题意知各引擎是否有故障是独立的,4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,4引擎飞机可以正常工作的概率是p3（1-p）+p4,2引擎飞机可以正常工作的概率是p2,根据题意列出不等式,解出p的值.
【解析】选B.每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-p,不出现故障的概率是p,
且各引擎是否有故障是独立的,
4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;
4引擎飞机可以正常工作的概率是p3（1-p）+p4,
2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行,
2引擎飞机可以正常工作的概率是p2,
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全,
依题意得到p3（1-p）+p4>p2,
化简得3p2-4p+1<0,
解得7.（xx·洛阳模拟）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为p.若A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,则p的值
为 （ ）
A.B.C.D.
【解题提示】根据A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,得到两个方程,即可求得概率.
【解析】选B.设A中有x个球,B中有y个球,则因为A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,所以=且=.
解得p=.
【误区警示】本题考查概率的计算,考查学生的理解能力,很容易因得不出方程组而无法求解.
二、填空题（每小题5分,共15分）
8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为,用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数,则P（ξ=4）= .
【解析】依题意,ξ～B,
故P（ξ=4）=×=.
答案:
9.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品是相互独立的.则进入该商场的1位顾客仅购买甲、乙两种商品中的一种的概率是 .
【解析】设“进入该商场的每一位顾客购买甲种商品”为事件A,“购买乙种商品”为事件B,则P（A）=0.5,P（B）=0.6.
设“进入该商场的1位顾客仅购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C,则P（C）=P（A∪B）=P（A）·P（）+P（）·P（B）=0.5×（1-0.6）+（1-0.5）×0.6=0.5,
所以进入该商场的1位顾客仅购买甲、乙两种商品中的一种的概率为0.5.
答案:
0.5
10.（xx·合肥模拟）某工厂在试验阶段生产出了一种零件,该零件有A,B两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:
两项技术指标都达标的零件为合格品,则一个零件经过检测,为合格品的概率是 .
【解题提示】设A,B两项技术指标达标的概率分别为P1,P2,根据题意,可得关于P1,P2的二元一次方程组,可解得P1,P2的值,由题意将P1,P2相乘可得答案.
【解析】设A,B两项技术指标达标的概率分别为P1,P2,一个零件经过检测,为合格品的概率为P;
由题意得:
解可得P1=,P2=,或P1=,P2=,
则P=P1×P2=.
答案:
（15分钟 30分）
1.（5分）（xx·三明模拟）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800,502）的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0= .
【解析】由X～N（800,502）,知μ=800,σ=50,又P（700答案:
0.9772
2.（5分）抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点数为3或6时,则两颗骰子的点数之和大于8的概率为 .
【解析】P（A）==.因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果,点数之和大于8的结果共有10个.
所以P（B）==.
当蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个,故P（AB）=.
所以P（B|A）===.
答案:
【加固训练】（xx·厦门模拟）一盒中放有大小相同的10个小球,其中8个黑球、2个红球,现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球,已知甲取到了2个黑球,则乙也取到2个黑球的概率是 .
【解析】记事件“甲取到2个黑球”为A,“乙取到2个黑球”为B,则有P（B|A）===,即所求事件的概率是.
答案:
3.（5分）在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的最小值为 .
【解析】由题设知p（1-p）3≤p2（1-p）2,
解得p≥0.4,因为0≤p≤1,
所以0.4≤p≤1,所以概率p的最小值为0.4.
答案:
0.4
【方法技巧】n次独立重复试验有k次发生的概率的求法
在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）=
pk（1-p）n-k,k=0,1,2,…,n.在利用该公式时一定要审清公式中的n,k各是多少,解题时注意弄清题意,代入公式时不要弄错数字.
【加固训练】在高三的一个班中,有的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么数学成绩优秀的学生数ξ～B（5,）,则P（ξ=k）取最大值的k值
为 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.依题意,
≥·
且≥
解得≤k≤,所以k=1.
4.（15分）（xx·太原模拟）据统计,某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.3,0.5,0.2.
（1）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率.
（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.
【解析】
（1）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”,
事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”,
所以P（A+B）=P（A）+P（B）=0.3+0.5=0.8.
（2）设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”.
事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”,
事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”,
事件D表示“两个月内被投诉2次”,
所以P（Ai）=0.3,P（Bi）=0.5,P（Ci）=0.2（i=1,2）,
所以两个月中,一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次的概率为P（A1C2+A2C1）,一、二月份均被投诉1次的概率为P（B1B2）,
所以P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2）=P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2）,
由事件的独立性得p（D）=0.3×0.2+0.2×0.3+0.5×0.5=0.37.
【加固训练】1.（xx·武汉模拟）在“出彩中国人”的一期比赛中,有6位歌手（1～6）登台演出,由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星,各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人,其中媒体甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,另在2号至6号中随机地选2名;媒体乙不欣赏2号歌手,他必不选2号;媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至6号歌手中随机地选出3名.
（1）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率.
（2）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列.
【解析】设A表示事件“媒体甲选中3号歌手”,事件B表示“媒体乙选中3号歌手”,事件C表示“媒体丙选中3号歌手”,则
（1）P（A）==,P（B）==,
所以P（A）=P（A）P（）
=×=.
（2）P（C）==,
因为X可能的取值为0,1,2,3.
P（X=0）=P（）=
=××=,
P（X=1）=P（A）+P（B）+P（C）=×+××+××=++=,
P（X=2）=P（AB）+P（AC）+P（CB）
=××+××+××=,
P（X=3）=P（ABC）=××=.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
2.（xx·南阳模拟）某单位有三辆汽车参加某种事故保险,该单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,该单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,,,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中:
（1）获赔的概率.
（2）获赔金额ξ（单位:
元）的分布列.
【解析】设第k辆车在一年内发生此种事故为事件Ak,k=1,2,3,由题意知A1,A2,A3相互独立,且P（A1）=
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