第三章 三角函数解三角形 34 函数yAsinωx+φ的图像及应用.docx

第三章 三角函数解三角形 34 函数yAsinωx+φ的图像及应用.docx

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第三章三角函数解三角形34函数yAsinωx+φ的图像及应用

[方法与技巧]

1．五点法作图及图象变换问题

（1）五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；

（2）图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．

2．由图象确定函数解析式

由图象确定y＝Asin（ωx＋φ）时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．

3．对称问题

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为（x，±A）的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期（或两个相邻对称中心的距离）．

[失误与防范]

1．由函数y＝sinx的图象经过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，如先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来．

2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．

3．函数y＝Asin（ωx＋φ）在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asint的值域．

[解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤]

第一步：

（化简）将f（x）化为asinx＋bcosx的形式；

第二步：

（用辅助角公式）构造f（x）＝·（sinx·＋cosx·）；

第三步：

（求性质）利用f（x）＝sin（x＋φ）研究三角函数的性质；

第四步：

（反思）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．

温馨提醒　

（1）在第

（1）问的解法中，使用辅助角公式

asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）（其中tanφ＝），或asinα＋bcosα＝cos（α－φ）（其中tanφ＝），在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．

（2）求g（x）的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．

[三角函数图象与性质的综合问题]

典例　（14分）已知函数f（x）＝2sin（＋）·cos（＋）－sin（x＋π）．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．

思维点拨　

（1）先将f（x）化成y＝Asin（ωx＋φ）的形式再求周期；

（2）将f（x）解析式中的x换成x－，得g（x），然后利用整体思想求最值．

规范解答

解　

（1）f（x）＝2sin（＋）·cos（＋）－sin（x＋π）＝cosx＋sinx[4分]

＝2sin（x＋），[6分]

于是T＝＝2π.[7分]

（2）由已知得g（x）＝f（x－）＝2sin（x＋），[10分]

∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，

∴sin（x＋）∈[－，1]，[12分]

∴g（x）＝2sin（x＋）∈[－1,2][13分]

故函数g（x）在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]

题型一　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换

例1　已知函数y＝2sin.

（1）求它的振幅、周期、初相；

（2）用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

（3）说明y＝2sin的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．

解　

（1）y＝2sin的振幅A＝2，

周期T＝＝π，初相φ＝.

（2）令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.

列表如下：

x

－

X

0

π

2π

y＝sinX

0

1

0

－1

0

y＝2sin

0

2

0

－2

0

描点画出图象，如图所示：

（3）方法一　把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；

再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y＝sin的图象；

最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y＝2sin的图象．

方法二　将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到y＝sin2x的图象；

再将y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；

再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），即得到y＝2sin的图象．

思维升华　

（1）五点法作简图：

用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．

（2）图象变换：

由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，有两种主要途径：

“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

（1）把函数y＝sin（x＋）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为（　　）

A．x＝－B．x＝－

C．x＝D．x＝

（2）设函数f（x）＝cosωx（ω>0），将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（　　）

A.B．3C．6D．9

答案　

（1）A　

（2）C

解析　

（1）将y＝sin（x＋）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋）；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2（x－）＋]＝sin（2x－），故x＝－是其图象的一条对称轴方程．

（2）由题意可知，nT＝（n∈N*），

∴n·＝（n∈N*），

∴ω＝6n（n∈N*），∴当n＝1时，ω取得最小值6.

题型二　由图象确定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式

例2　

（1）将函数f（x）＝sin（2x＋θ）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P，则φ的值可以是（　　）

A.B.

C.D.

（2）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为__________．

答案　

（1）B　

（2）f（x）＝sin（2x＋）

解析　

（1）∵P在f（x）的图象上，

∴f（0）＝sinθ＝.

∵θ∈，

∴θ＝，

∴f（x）＝sin.

∴g（x）＝sin.

∵g（0）＝，

∴sin＝.

验证φ＝π时，

sin＝sin＝sin＝成立．

（2）由题图可知A＝，

＝－＝，

所以T＝π，故ω＝2，

因此f（x）＝sin（2x＋φ），

又为最小值点，

∴2×π＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

∴φ＝2kπ＋，k∈Z，

又|φ|＜π，

∴φ＝.

故f（x）＝sin（2x＋）．

思维升华　确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的步骤和方法：

（1）求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，

则A＝，b＝.

（2）求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.

（3）求φ，常用的方法有：

①代入法：

把图象上的一个已知点代入（此时A，ω，b已知）或代入图象与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．

②特殊点法：

确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：

“最大值点”（即图象的“峰点”）时ωx＋φ＝；“最小值点”（即图象的“谷点”）时ωx＋φ＝.

　函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则φ＝________.

答案　－

解析　∵＝π－π，

∴T＝π.

又T＝（ω＞0），

∴＝π，

∴ω＝2.

由五点作图法可知当x＝π时，

ωx＋φ＝，

即2×π＋φ＝，

∴φ＝－.

题型三　三角函数图象性质的应用

命题点1　三角函数模型的应用

例3　如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P（x，y）．若初始位置为P0，当秒针从P0（注：

此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（　　）

A．y＝sinB．y＝sin

C．y＝sinD．y＝sin

答案　C

解析　由题意可得，函数的初相位是，排除B、D.又函数周期是60（秒）且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－.

命题点2　方程根（函数零点问题）

例4　已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．

答案　（－2，－1）

解析　方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为

m＝1－2sin2x＋sin2x

＝cos2x＋sin2x

＝2sin，x∈.

设2x＋＝t，则t∈，

∴题目条件可转化为

＝sint，t∈，有两个不同的实数根．

∴y＝和y＝sint，t∈的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的范围为（－1，－），

故m的取值范围是（－2，－1）．

引申探究

例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．

答案　[－2,1）

解析　由例4知，的范围是，∴－2≤m<1，

∴m的取值范围是[－2,1）．

命题点3　图象性质综合应用

例5　已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）－cos（ωx＋φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y＝f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为.

（1）求f的值；

（2）求函数y＝f（x）＋f的最大值及对应的x的值．

解　

（1）f（x）＝sin（ωx＋φ）－cos（ωx＋φ）

＝2

＝2sin.

因为f（x）是偶函数，则φ－＝＋kπ（k∈Z），

所以φ＝＋kπ（k∈Z），

又因为0＜φ＜π，所以φ＝，

所以f（x）＝2sin＝2cosωx.

由题意得＝2·，所以ω＝2.

故f（x）＝2cos2x.

因此f＝2cos＝.

（2）y＝2cos2x＋2cos2

＝2cos2x＋2cos

＝2cos2x－2sin2x

＝2sin

＝－2sin

令2x－＝2kπ－（k∈Z），y有最大值2，

所以当x＝kπ－（k∈Z）时，y有最大值2.

思维升华　

（1）三角函数模型的应用体现在两方面：

一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．

（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．（3）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．

　设函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω>0，－<φ<）的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．（填序号）

①f（x）的图象过点（0，）；

②f（x）在[，]上是减函数；

③f（x）的一个对称中心是（，0）；

④将f（x）的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sinωx的图象．

答案　①③

解析　∵周期为π，∴＝π⇒ω＝2，

∴f（x）＝3sin（2x＋φ），f（）＝3sin（＋φ），

则sin（＋φ）＝1或－1.

又φ∈（－，），＋φ∈（，π），

∴＋φ＝⇒φ＝，

∴f（x）＝3sin（2x＋）．

①：

令x＝0⇒f（x）＝，正确．

②：

令2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z

⇒kπ＋

令k＝0⇒

即f（x）在（，）上单调递减，而在（，）上单调递增，错误．

③：

令x＝⇒f（x）＝3sinπ＝0，正确．

④：

应平移个单位长度，错误．