第8讲全等三角形的性质及判定二教案.docx

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第8讲全等三角形的性质及判定二教案

第8讲全等三角形的性质及判定

（二）教案

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

120

知识点

1.全等三角形的应用

2.全等三角形的判定与性质

教学目标

1.深刻理解“全等”的含义；

2.熟悉组成全等三角形的基本图形，并能在复杂的图形中发现分解出这些基本图形；

3.恰当选择判定三角形全等的方法；

4.掌握证明三角形全等的几个要领。

教学重点

熟悉全等三角形证明中的中点问题、旋转及截长补短的运用

教学难点

证明全等三角形的中点问题、旋转及截长补短的识别

教学过程

一、课堂导入

1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：

法军能命中目标吗？

如果可以，聪明的你能告诉我为什么吗？

用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？

【答案】解：

法军能命中目标．理由：

易知AB=PO，∠A=∠P，又∵AB⊥BO，PO⊥BQ，

∴∠ABO=∠POQ=90°，∵在△ABO和△POQ中，

，∴△ABO≌△POQ（ASA），∴BO=OQ，

按照BO的距离炮轰德军时，炮弹恰好落入德军Q处；如果拿破仑站在O处，只需转过身来仍可用帽舌边缘视线法测出河岸两边的距离．

【解析】根据拿破仑的身高不变可得AB=PO，视线方向不变可得∠A=∠P，然后利用“角边角”证明△ABO和△POQ全等，根据全等三角形对应边相等可得BO=OQ，从而得到能够使炮弹落入德军Q处；同理，转过身来仍然可以测量．

二、复习预习

三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．

应用三角形全等的判别方法注意以下几点：

1.条件充足时直接应用判定定理

在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．

2.条件不足，会增加条件用判定定理

此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：

执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．

3.条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理

证明两个三角形全等时，若边或角的关系不明显，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．

三、知识讲解

考点/易错点1

常见的几种辅助线添加：

①遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；

②遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；

③过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；

④截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．

四、例题精析

【例题1】如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：

CE=2CD．

【答案】证明：

如图，延长CD至点F，使DF=CD，连接BF．

在△ADC和△BDF中，

，∴△ADC≌△BDF（SAS），∴AC=BF，∠1=∠A．

由AC=AB得∠ACB=∠2．∵∠3=∠A+∠ACB，∴∠3=∠CBF．再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，

在△CBE和△CBF中，

，∴△CBE≌△CBF，∴CE=CF，即CE=2CD

【解析】在三角形全等的证明中，我们常会遇到证明某条线段的长度等于另一条线段长度的两倍或者二分之一等，还会遇到两条线段和与另一条线段的不等关系。

如果题目中有中点这个已知条件，运用倍长中线法，可达到事半功倍的效果。

【变式1】在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：

AB+AC＞2AD．

【变式2】如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：

MA⊥BC．

【变式3】如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：

BF=CG．

【变式4】已知：

如图，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：

线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形。

【例题2】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，求证：

AE=CG．

【答案】证明：

∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴DE=DG，AD=CD，

又∠ADE=∠EDG﹣∠ADG=90°﹣∠ADG，同理∠CDG=90°﹣∠ADG，∴∠ADE=∠CDG，

在△ADE和△CDG中，

，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG．

【解析】△ADE可看作△CDG绕点D顺时针旋转90°得到的，根据图形中的两个正方形，及旋转找全等的条件，可证AE=CG．

【变式1】如图，△ABE和△ACD有公共点A，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AE=AD，延长BE分别交AC、CD于点M、F．求证：

（1）△ABE≌△ACD；

（2）BF⊥CD．

【变式2】如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．

（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；

（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？

请说明理由．

【变式3】已知，如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.

求证：

∠BAP+∠BCP=180°。

【变式4】用两个全等的正方形ABCD和DCEF拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按顺时针方向旋转．探究：

当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？

证明你的结论．

【例题3】已知：

如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。

求证：

AB=AC+CD.

【变式1】四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于E，且DE=CE，AB=AD+BC，

求证：

AD∥BC。

【变式2】将矩形纸片

沿其对角线

折叠，使点

落到点

的位置，

与

交于点

．

（1）试找出一个与

全等的三角形，并加以证明；

（2）若

为线段

上任意一点，

于

，

于

．并求

的值．

【变式3】已知：

如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，∠DEB的平分线EF交BC的延长线于点F，且AB=BF，连接DF．求证：

DE=BE+CF．

【变式4】已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．

求证：

AE=BC+CE．

课程小结

1.证明三角形全等常见的隐藏条件有：

①公共边，公共角，对顶角；

②线段的相加减；

③角度的互余，互补，三角形的外角等于与它不相邻的内角和。

2.条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法

不能直接证明一对三角形全等时，一般需要作辅助线来构造全等三角形．